七年级数学暑期精品讲义第3讲.有理数的乘除运算-满分班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第3讲.有理数的乘除运算-满分班(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1有理数的乘法
有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：
几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
【例题精选】
例1(2023秋•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【随堂练习】
1.(2023秋•密云区期末）﹣12×（1﹣+）
2.倒数
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．
互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
没有倒数．
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
非零整数可以看作分母为的分数；
带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
【例题精选】
例1(2023秋•贵港期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
【随堂练习】
1．(2023秋•滦南县期中）有一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是1与输入的有理数的倒数差，若第一次输入3，并将显示的结果第二次输入，则此时显示的结果是（ ）
A．3B．﹣C．D．﹣3
2．(2023秋•忻城县期中）下列语句：①两个负数，绝对值大的反而小；②有一个负数，必定有一个与它绝对值相等的正数；③任何一个数a的倒数都是；④任何一个数m的相反数都是﹣m；其中正确的有（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
3．(2023秋•赵县期中）如果a的倒数是﹣1，那a2019等于（ ）
A．1B．﹣1C．2019D．﹣2019
3有理数的除法
有理数的除法
有理数除法法则：
除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．
，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
分数：分数可以理解为分子除以分母．
有理数的乘除混合运算
先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．
【例题精选】
例1(2023秋•大安市期末）阅读下面的解题过程：
计算（﹣15）÷（）×6
解：原式＝（﹣15）×6（第一步）
＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步）
＝﹣15（第三步）
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_______步，错误的原因是______________，第二处是第_______步，错误的原因是______________．
（2）把正确的解题过程写出来．
【随堂练习】
1.(2023秋•卫辉市期末）若ab≠0，则的值不可能是（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
4.加减乘除混合运算
【例题精选】
例1(2023秋•交城县期中）阅读下题解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式＝﹣．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
例2(2023秋•海安市校级月考）计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）﹣；
（3）；
（4）．
【随堂练习】
1．(2023秋•昌平区校级期中）我们知道，，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．
故原式＝．
请你仿照这种方法计算：．
综合练习
一．选择题
1．3x﹣12的值与互为倒数，则x的值为（ ）
A．3B．﹣3C．5D．﹣5
2．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（ ）
A．B．49！C．2450D．2！
3．对于有理数a、b，如果ab＜0，a+b＜0．则下列各式成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0且|b|＜a
C．a＜0，b＞0且|a|＜bD．a＞0，b＜0且|b|＞a
二．填空题
1．计算﹣4÷×（﹣2）＝ ．
2．已知|x|＝3，|y|＝．且xy＜0，则的值等于 ．
三．解答题
1．计算：
2．计算：（）×24．
3．计算：
4．计算：
（+﹣）×（﹣48）
第3讲 有理数的乘除
1有理数的乘法
有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：
几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
【例题精选】
例1(2023秋•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
分析：分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；

（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
【随堂练习】
1.(2023秋•密云区期末）﹣12×（1﹣+）
分析：由于12是3，4，6的公倍数，可利用乘法分配律进行计算，使计算简便．
【解答】解：原式＝﹣12×﹣（﹣12）×+（﹣12）×（2分）
＝﹣16﹣（﹣9）+（﹣10）（5分）
＝﹣17（6分）．
【点评】此题考查了有理数的乘法法则，适时运用乘法分配律是解题的关键．
2.倒数
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．
互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
没有倒数．
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
非零整数可以看作分母为的分数；
带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
【例题精选】
例1(2023秋•贵港期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
分析：（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；
（2）分两种情况讨论，即可解答．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2．
（2）当m＝2时，m+cd+＝2+1+0＝3；
当m＝﹣2时，m+cd+＝﹣2+1+0＝﹣1．
【点评】本题考查了倒数、相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记倒数、相反数、绝对值的意义．
【随堂练习】
1．(2023秋•滦南县期中）有一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是1与输入的有理数的倒数差，若第一次输入3，并将显示的结果第二次输入，则此时显示的结果是（ ）
A．3B．﹣C．D．﹣3
【解答】解：由题意可得：1﹣＝，则输出，
故第二次输入，得到：1﹣＝﹣，输出﹣．
故选：B．
2．(2023秋•忻城县期中）下列语句：①两个负数，绝对值大的反而小；②有一个负数，必定有一个与它绝对值相等的正数；③任何一个数a的倒数都是；④任何一个数m的相反数都是﹣m；其中正确的有（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
【解答】解：①两个负数，绝对值大的反而小，正确；
②有一个负数，必定有一个与它绝对值相等的正数，正确；
③任何一个数a的倒数都是（0除外），故此选项错误；
④任何一个数m的相反数都是﹣m，正确；
故选：D．
3．(2023秋•赵县期中）如果a的倒数是﹣1，那a2019等于（ ）
A．1B．﹣1C．2019D．﹣2019
【解答】解：∵a的倒数是﹣1，
∴a＝﹣1，
∴a2019＝﹣1．
故选：B．
3有理数的除法
有理数的除法
有理数除法法则：
除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．
，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
分数：分数可以理解为分子除以分母．
有理数的乘除混合运算
先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．
【例题精选】
例1(2023秋•大安市期末）阅读下面的解题过程：
计算（﹣15）÷（）×6
解：原式＝（﹣15）×6（第一步）
＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步）
＝﹣15（第三步）
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_______步，错误的原因是______________，第二处是第_______步，错误的原因是______________．
（2）把正确的解题过程写出来．
分析：（1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是得数错误．
（2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是得数错误．
（2）（﹣15）÷（）×6
＝（﹣15）×6
＝（﹣15）×（﹣6）×6
＝90×6
＝540．
故答案为：二、运算顺序错误；三、得数错误．
【点评】（1）此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
（2）此题还考查了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
【随堂练习】
1.(2023秋•卫辉市期末）若ab≠0，则的值不可能是（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
【解答】解：当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
综上，原式的值不可能为1．
故选：B．
4.加减乘除混合运算
【例题精选】
例1(2023秋•交城县期中）阅读下题解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式＝﹣．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
分析：原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）
＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）
＝﹣21+14﹣30+112
＝75，
则原式＝．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例2(2023秋•海安市校级月考）计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）﹣；
（3）；
（4）．
分析：（1）把后两项结合，利用乘法结合律进行计算即可得解；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后进行计算即可得解；
（3）先通分计算括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），
＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，
＝﹣85×100，
＝﹣8500；
（2）﹣2×2÷（﹣2），
＝﹣××（﹣），
＝2；
（3）（﹣）÷（1﹣+），
＝（﹣）÷（﹣+），
＝（﹣）÷，
＝（﹣）×，
＝﹣；
（4）（﹣+﹣）×36，
＝×36﹣×36+×36﹣×36，
＝28﹣30+27﹣14，
＝55﹣44，
＝11．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，（3）需要注意除法没有分配律．
【随堂练习】
1．(2023秋•昌平区校级期中）我们知道，，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．
故原式＝．
请你仿照这种方法计算：．
分析：先计算的值，再求出它的倒数即可求解．
【解答】解：因为
＝
＝
＝﹣7+9﹣28+12
＝﹣14；
所以＝﹣．
【点评】考查了有理数的除法，解题的关键是理解a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．
综合练习
一．选择题
1．3x﹣12的值与互为倒数，则x的值为（ ）
A．3B．﹣3C．5D．﹣5
【解答】解：∵代数式3x﹣12的值与﹣互为倒数，
∴（3x﹣12）×（﹣）＝1，即﹣x+4＝1，
解得，x＝3．
故选：A．
2．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（ ）
A．B．49！C．2450D．2！
【解答】解：＝＝50×49＝2450
故选：C．
3．对于有理数a、b，如果ab＜0，a+b＜0．则下列各式成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0且|b|＜a
C．a＜0，b＞0且|a|＜bD．a＞0，b＜0且|b|＞a
【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b异号．
∵a+b＜0，
∴a、b同负或异号，且负数的绝对值较大．
综上所述，知a、b异号，且负数的绝对值较大．
故选：D．
二．填空题
1．计算﹣4÷×（﹣2）＝ 32 ．
【解答】解：原式＝﹣16×（﹣2）＝32，
故答案为：32．
2．已知|x|＝3，|y|＝．且xy＜0，则的值等于 ﹣15 ．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝．且xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣或x＝﹣3，y＝，
所以，
故答案为：﹣15
三．解答题
1．计算：
【解答】解：原式＝××＝．
2．计算：（）×24．
【解答】解：原式＝×24+×24﹣×24
＝3+16﹣18
＝19﹣18
＝1．
3．计算：
【解答】解：（1）原式＝8﹣6+20＝22；
4．计算：
（+﹣）×（﹣48）
【解答】解：（1）（+﹣）×（﹣48）
＝×（﹣48）+×（﹣48）﹣×（﹣48）
＝﹣40﹣42+46
＝﹣36；