七年级数学暑期精品讲义第5讲.整式的基本概念-提高班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第5讲.整式的基本概念-提高班(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例题精选】
例1(2023秋•南山区期末）一件商品的进价是a元，提价30%后出售，则这件商品的售价是（ ）
A．0.7a元B．1.3a元C．a元D．3a元
例2(2023秋•潍坊期末）初一年级14个班举行了篮球联赛，规则如下：（1）每一个班都要和其他13个班打一场比赛，且每一场比赛一定分出胜负；（2）胜一场积2分，负一场积，1分；（3）比赛结束后按照班级总积分高低颁发奖项．若一个班已经完成了所有的比赛，胜m场，则该班总积分为（ ）
A．2mB．13﹣mC．m+13D．m+14
【随堂练习】
1．(2023秋•桥东区期末）列式表示“比m的平方的3倍大1的数”是（ ）
A．（3m）2+1B．3m2+1C．3（m+1）2D．（3m+1）2
2．(2023秋•新宾县期末）全校学生总数为a，其中女生占总数的48%，则男生人数是（ ）
A．48aB．0.48aC．0.52aD．a﹣48
3．(2023秋•东台市期末）把一个数a增加2，然后再扩大2倍，其结果应是（ ）
A．a+2×2B．2（a+2）C．a+2+4aD．a+2+2（a+2）
4．(2023秋•赣州期末）a的平方与b的和，用式子表示，正确的是（ ）
A．a+b2B．a2+bC．a2+b2D．（a+b）2
2.代数式求值
【例题精选】
例1 (2023秋•南海区期末）若代数式x﹣2y+8的值为18，则代数式3x﹣6y+4的值为（ ）
A．30B．﹣26C．﹣30D．34
例2 (2023秋•北碚区校级期末）按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（ ）
A．x＝3，y＝1B．x＝2，y＝2C．x＝2，y＝3D．x＝0，y＝1.5
【随堂练习】
1．(2023秋•乐亭县期末）当x＝﹣1时，3x2+9x﹣1的值为（ ）
A．0B．﹣7C．﹣9D．3
2．(2023秋•承德县期末）已知x2+3x+5的值是7，则式子﹣3x2﹣9x+2的值是（ ）
A．0B．﹣2C．﹣4D．﹣6
3．(2023秋•大名县期末）当x＝2时，代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．4D．6
3.单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例题精选】
例1(2023秋•连山区期末）在代数式﹣15a3b，，4a2b2﹣2ab﹣6，﹣a，，0中，单项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【随堂练习】
1．(2023秋•呼伦贝尔期末）单顶式的系数与次数分别是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023秋•温岭市期末）单项式﹣2x3y的系数与次数依次是（ ）
A．﹣2，3B．﹣2，4C．2，3D．2，4
3．(2023秋•黄陂区期末）单项式﹣2ab2的系数是（ ）
A．﹣2B．2C．3D．4
4多项式
知识概述
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
【例题精选】
例1(2023秋•雨花区校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．abc的系数是0
B．1﹣3x2﹣x中二次项系数是1
C．﹣ab3c的次数是5
D．的次数是5
例2(2023秋•确山县期末）下列说法正确的是（ ）
A．4π是一次单项式B．+x﹣3是二次三项式
C．﹣的系数是﹣2D．﹣x的系数是﹣1
【随堂练习】
1．(2023秋•呼和浩特期末）下列说法错误的是（ ）
A．单项式的系数是
B．单项式3a2b2的次数是4
C．多项式a3﹣1的常数项是1
D．多项式4x2﹣3是二次二项式
2．(2023秋•承德县期末）下列说法正确的是（ ）
A．﹣的系数是﹣2B．x2+x﹣1的常数项为1
C．22ab3的次数是6次D．2x﹣5x2+7是二次三项式
3．(2023秋•定州市期末）下列说法不正确的是（ ）
A．0是单项式
B．单项式﹣的系数是﹣
C．单项式a2b的次数为2
D．多项式1﹣xy+2x2y是三次三项式
5整式
整式：单项式与多项式统称整式．
【例题精选】
例1(2023秋•桥西区校级月考）下列式子：2x2，，，，﹣5x，0中，整式有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
例2(2023秋•凤山县期中）式子﹣7，x，m2+，x2y+5，，﹣5ab3c2，中，整式的个数是（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【随堂练习】
1．(2023秋•惠城区校级期中）代数式：，﹣xy，0，x+2y，，中，属于整式的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．(2023秋•禹州市期中）对于下列四个式子①，②；③；④，其中不是整式的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．(2023秋•丰南区期中）下列各式﹣xy，0，，2x+1，中，整式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．(2023秋•昌图县期中）代数式：；，5xy+x2，，，﹣3中，不是整式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
综合练习
一．选择题
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．4
2．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（ ）
A．7B．5C．3D．1
3．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（ ）
A．a＝B．a＝2bC．a＝bD．a＝3b
三．解答题
1．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数： ；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
第5讲 整式的基本概念
1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例题精选】
例1(2023秋•南山区期末）一件商品的进价是a元，提价30%后出售，则这件商品的售价是（ ）
A．0.7a元B．1.3a元C．a元D．3a元
分析：根据题意可以用含a的代数式表示出这件商品的售价，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
这件商品的售价是：（1+30%）a＝1.3a（元），
故选：B．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
例2(2023秋•潍坊期末）初一年级14个班举行了篮球联赛，规则如下：（1）每一个班都要和其他13个班打一场比赛，且每一场比赛一定分出胜负；（2）胜一场积2分，负一场积，1分；（3）比赛结束后按照班级总积分高低颁发奖项．若一个班已经完成了所有的比赛，胜m场，则该班总积分为（ ）
A．2mB．13﹣mC．m+13D．m+14
分析：根据题意胜一场积2分，负一场积1分即可求出总积分．
【解答】解：根据题意，得
每个班级都与其它13个班进行比赛，
所以2m+（13﹣m）＝m+13
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解题意准确列出代数式．
【随堂练习】
1．(2023秋•桥东区期末）列式表示“比m的平方的3倍大1的数”是（ ）
A．（3m）2+1B．3m2+1C．3（m+1）2D．（3m+1）2
【解答】解：由题意可得：3m2+1．
故选：B．
2．(2023秋•新宾县期末）全校学生总数为a，其中女生占总数的48%，则男生人数是（ ）
A．48aB．0.48aC．0.52aD．a﹣48
【解答】解：由于学生总数是a人，其中女生人数占总数的48%，则男生人数是（1﹣48%）＝0.52a；
故选：C．
3．(2023秋•东台市期末）把一个数a增加2，然后再扩大2倍，其结果应是（ ）
A．a+2×2B．2（a+2）C．a+2+4aD．a+2+2（a+2）
【解答】解：一个数a增加2为：a+2，再扩大2倍，
则为：2（a+2），
故选：B．
4．(2023秋•赣州期末）a的平方与b的和，用式子表示，正确的是（ ）
A．a+b2B．a2+bC．a2+b2D．（a+b）2
【解答】解：a的平方与b的和可以表示为：a2+b，
故选：B．
2.代数式求值
【例题精选】
例1 (2023秋•南海区期末）若代数式x﹣2y+8的值为18，则代数式3x﹣6y+4的值为（ ）
A．30B．﹣26C．﹣30D．34
分析：因代数式x﹣2y+8＝18所含未知数x、y的系数分别为1，﹣2，计算出x﹣2y＝10，所求代数式3x﹣6y+4的未知数x、y的系数分别为3，﹣6，根据乘法分配律的逆用提出3后得3（x﹣2y）+4，代入求值得34．
【解答】解：∵x﹣2y+8＝18，
∴x﹣2y＝10，
∴3x﹣6y+4＝3（x﹣2y）+4＝3×10+4＝34
故选：D．
【点评】本题综合考查了用整体法代入求值，等式的性质和有理数的混合运算，重点掌握整体代入求值法．
例2 (2023秋•北碚区校级期末）按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（ ）
A．x＝3，y＝1B．x＝2，y＝2C．x＝2，y＝3D．x＝0，y＝1.5
分析：把各项中的x与y的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、把x＝3，y＝1代入运算程序中得：输出结果为9+2＝11，符合题意；
B、把x＝2，y＝2代入运算程序中得：4﹣4＝0，不符合题意；
C、把x＝2，y＝3代入运算程序中得：4﹣6＝﹣2，不符合题意；
D、把x＝0，y＝1.5代入运算程序得：0﹣3＝﹣3，不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•乐亭县期末）当x＝﹣1时，3x2+9x﹣1的值为（ ）
A．0B．﹣7C．﹣9D．3
【解答】解：把x＝﹣1代入3x2+9x﹣1得：
原式＝3×（﹣1）2+9×（﹣1）﹣1
＝3﹣9﹣1
＝﹣7，
故选：B．
2．(2023秋•承德县期末）已知x2+3x+5的值是7，则式子﹣3x2﹣9x+2的值是（ ）
A．0B．﹣2C．﹣4D．﹣6
【解答】解：∵x2+3x+5＝7，
∴x2+3x＝7﹣5＝2，
∴﹣3x2﹣9x+2
＝﹣3（x2+3x）+2
＝﹣3×2+2
＝﹣6+2
＝﹣4
故选：C．
3．(2023秋•大名县期末）当x＝2时，代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．4D．6
【解答】解：当x＝2时，
原式＝22﹣×2+1
＝4﹣1+1
＝4，
故选：C．
3.单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例题精选】
例1(2023秋•连山区期末）在代数式﹣15a3b，，4a2b2﹣2ab﹣6，﹣a，，0中，单项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
分析：直接利用单项式的定义分析得出答案．
【解答】解：在代数式﹣15a3b，，4a2b2﹣2ab﹣6，﹣a，，0中，单项式有：﹣15a3b，，﹣a，0共4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•呼伦贝尔期末）单顶式的系数与次数分别是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：的系数与次数分别是：﹣π，4，
故选：D．
2．(2023秋•温岭市期末）单项式﹣2x3y的系数与次数依次是（ ）
A．﹣2，3B．﹣2，4C．2，3D．2，4
【解答】解：单项式﹣2x3y的系数与次数依次是：﹣2，4．
故选：B．
3．(2023秋•黄陂区期末）单项式﹣2ab2的系数是（ ）
A．﹣2B．2C．3D．4
【解答】解：单项式﹣2ab2的系数是：﹣2．
故选：A．
4多项式
知识概述
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
【例题精选】
例1(2023秋•雨花区校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．abc的系数是0
B．1﹣3x2﹣x中二次项系数是1
C．﹣ab3c的次数是5
D．的次数是5
分析：根据多项式和单项式的次数和系数的定义即可作出判断．
【解答】解：A、abc的系数是1，选项错误；
B、1﹣3x2﹣x中二次项系数是﹣3，选项错误；
C、﹣ab3c的次数是5，选项正确；
D、的次数是6，选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查的是多项式和单项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
例2(2023秋•确山县期末）下列说法正确的是（ ）
A．4π是一次单项式B．+x﹣3是二次三项式
C．﹣的系数是﹣2D．﹣x的系数是﹣1
分析：利用单项式与多项式的性质判断即可．
【解答】解：A、4π是数字，是零次单项式，不符合题意；
B、+x﹣3不是整式，不符合题意；
C、﹣的系数为﹣，不符合题意；
D、﹣x的系数是﹣1，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了多项式，以及单项式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•呼和浩特期末）下列说法错误的是（ ）
A．单项式的系数是
B．单项式3a2b2的次数是4
C．多项式a3﹣1的常数项是1
D．多项式4x2﹣3是二次二项式
【解答】解：A、单项式的系数是，不符合题意；
B、单项式3a2b2的次数是4，不符合题意；
C、多项式a3﹣1的常数项是﹣1，符合题意；
D、多项式4x2﹣3是二次二项式，不符合题意，
故选：C．
2．(2023秋•承德县期末）下列说法正确的是（ ）
A．﹣的系数是﹣2B．x2+x﹣1的常数项为1
C．22ab3的次数是6次D．2x﹣5x2+7是二次三项式
【解答】解：A．﹣的系数是﹣，此选项错误；
B．x2+x﹣1的常数项为﹣1，此选项错误；
C．22ab3的次数是4次，此选项错误；
D．2x﹣5x2+7是二次三项式，此选项正确；
故选：D．
3．(2023秋•定州市期末）下列说法不正确的是（ ）
A．0是单项式
B．单项式﹣的系数是﹣
C．单项式a2b的次数为2
D．多项式1﹣xy+2x2y是三次三项式
【解答】解：A．0是单项式，此选项正确；
B．单项式﹣的系数是﹣，此选项正确；
C．单项式a2b的次数为3，此选项错误；
D．多项式1﹣xy+2x2y是三次三项式，此选项正确；
故选：C．
5整式
整式：单项式与多项式统称整式．
【例题精选】
例1(2023秋•桥西区校级月考）下列式子：2x2，，，，﹣5x，0中，整式有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
分析：直接利用整式的定义分析得出答案．
【解答】解：2x2，，，，﹣5x，0整式有2x2，，﹣5x，0共4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．
例2(2023秋•凤山县期中）式子﹣7，x，m2+，x2y+5，，﹣5ab3c2，中，整式的个数是（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
分析：根据整式的概念分析各个式子即可解答．
【解答】解：整式有﹣7，x，x2y+5，，﹣5ab3c2，共有5个．
故选：C．
【点评】主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，分母中含有字母的式子一定不是整式．
【随堂练习】
1．(2023秋•惠城区校级期中）代数式：，﹣xy，0，x+2y，，中，属于整式的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：整式有，﹣xy，0，x+2y，，共5个，
故选：C．
2．(2023秋•禹州市期中）对于下列四个式子①，②；③；④，其中不是整式的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：①，②；③；④中，①不是整式．
故选：A．
3．(2023秋•丰南区期中）下列各式﹣xy，0，，2x+1，中，整式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：﹣xy，0，，2x+1，中，整式有﹣xy，0，2x+1，共4个．
故选：D．
4．(2023秋•昌图县期中）代数式：；，5xy+x2，，，﹣3中，不是整式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：代数式6x2y+，5xy+y2，﹣y2+xy，，﹣3中，不是整式的为代数式有6x2y+，，共2个，
故选：C．
综合练习
一．选择题
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．4
【解答】解：∵2x﹣3y2＝3，
∴x﹣y2＝，
则原式＝1﹣（x﹣y2）
＝1﹣
＝﹣，
故选：B．
2．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（ ）
A．7B．5C．3D．1
【解答】解：由题意知1+1+m＝9，
则m＝7，
∴当x＝﹣1时，x3+x+m
＝﹣1﹣1+7
＝5，
故选：B．
3．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①单项式﹣的系数为﹣，故正确；②x与y的差的平方可表示为（x﹣y）2，原说法错误；
③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+，故正确；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，n+1＝4，m＝2，故n＝3，m＝2，m+n＝5，故正确．
故选：C．
4．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（ ）
A．a＝B．a＝2bC．a＝bD．a＝3b
【解答】解：由图形可知，
，
，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选：B．
三．解答题
1．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数： 115﹣x ；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
乙班人数为：115﹣x，
故答案为：115﹣x；
（2）
＝
＝+805，
即两班捐款的总额是（+805）元；
（3）当x＝60时，
+805＝﹣×60+805＝﹣20+805＝785（元），
答：x＝60时，两班共捐款785元