七年级数学暑期精品讲义第5讲.整式的基本概念-满分班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第5讲.整式的基本概念-满分班(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例题精选】
例1(2023•吉州区一模）有2020个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，如果第一个数是a，第二个数是b，那么这2020个数的和是__________．
例2(2023秋•鄄城县期末）如下四种图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•扬州期末）为了贯彻“房住不炒”要求，加快回笼资金，我市甲、乙、丙三家原售价相同的楼盘在年终前搞促销活动，甲楼盘售楼处打出在原价基础上先降价15%，再降价15%；乙楼盘打出一次性降价30%；丙楼盘打出先九折，再降价20%，如果此时小容的父亲想在上述三家楼盘中选择每平米实际售价最低的一处购买，他应选择的楼盘是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．都一样
2．(2023秋•乐亭县期末）某公司在销售一种智能机器人时发现，每月可售出300个，当每个降价1元时，可多售出5个，如果每个降价x元，那么每月可售出机器人的个数是（ ）
A．5xB．305+xC．300+5xD．300+x
2.代数式求值
【例题精选】
例1 (2023•渝中区校级模拟）如图所示，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2020次输出的结果为（ ）
A．125B．25C．1D．5
【随堂练习】
1．(2023秋•沙坪坝区校级期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为﹣4的是（ ）
A．x＝﹣1，y＝﹣2B．x＝1，y＝﹣2C．x＝﹣1，y＝2D．x＝﹣2，y＝1
2．(2023秋•长垣县期末）若x﹣3y＝4，则1+3y﹣x的值是（ ）
A．﹣3B．5C．3D．﹣5
3．(2023秋•石家庄期末）当x＝1时，代数式x2﹣2x+a的值为3，则当x＝﹣1时，代数式x2﹣2x+a＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
3.单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例题精选】
例1(2023秋•郾城区期末）单项式﹣4×103a4b3的次数是_______．
例2(2023秋•东台市期末）单项式的系数是________，次数是________．
【随堂练习】
1．(2023秋•咸丰县期末）单项式的系数是___________．
2．(2023秋•中山区期末）的次数是_______．
3．(2023秋•浦东新区期末）单项式的系数为________．
4．(2023•黄冈一模）单项式﹣的系数是________，次数分别是_______．
4多项式
知识概述
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
【例题精选】
例1 (2023秋•宜宾期末）将多项式5x2y+y3﹣3xy2﹣x3按x的升幂排列____________________
__________．
例2 (2023秋•玉田县期末）已知多项式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与多项式的次数相同，求m，n的值．
【随堂练习】
1．(2023秋•南京期末）单项式的系数是m，多项式a2b+2ab﹣3的次数是n，则m+n＝__________．
2．(2023秋•梁园区期末）如果（n﹣4）x|n﹣1|y2﹣3x2y﹣4x3+3是关于x、y的五次四项式，则n＝________．
3．(2023秋•伊通县期末）在式子：、、、﹣、1﹣x﹣5xy2、﹣x、6xy+1、a2﹣b2中，其中多项式有_______个．
5整式
整式：单项式与多项式统称整式．
【例题精选】
例1(2023秋•诸暨市期中）下列代数式中，整式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
例2(2023秋•花都区期中）对于下列四个式子：①②③④．其中不是整式的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【随堂练习】
1．(2023秋•江阴市期中）在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中，整式的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．(2023秋•静安区月考）在代数式，，，，，，0，y2+6x+9中，整式共有（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
3．(2023秋•金山区校级月考）在代数式中，整式的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
综合练习
一．选择题
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．4
2．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（ ）
A．7B．5C．3D．1
3．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（ ）
A．a＝B．a＝2bC．a＝bD．a＝3b
三．解答题
1．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数： ；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
第5讲 整式的基本概念
1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例题精选】
例1(2023•吉州区一模）有2020个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，如果第一个数是a，第二个数是b，那么这2020个数的和是__________．
分析：根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以得到数字的变化规律，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，这列数为：a，b，b﹣a，﹣a，﹣b，a﹣b，a，b，b﹣a，…，
∴前6个数的和是：a+b+b﹣a﹣a﹣b+a﹣b＝0，
∵2020÷6＝336…4，
∴这2020个数的和是：0×336+（a+b+b﹣a﹣a）＝﹣a+2b．
故答案为：﹣a+2b．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．
例2(2023秋•鄄城县期末）如下四种图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据各个选项中的图形，可以表示出黑色部分与白色部分的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：设正方形的边长为2a，由图可得，
选项A中的图形中白色部分的面积是：πa2，黑色部分的面积是：（2a）2﹣πa2＝4a2﹣πa2＝（4﹣π）a2，πa2≠（4﹣π）a2，故选项A不符合；
选项B中的图形中白色部分的面积是：πa2，黑色部分的面积是：（2a）2﹣πa2＝4a2﹣πa2＝（4﹣π）a2，πa2≠（4﹣π）a2，故选项B不符合；
选项C中的图形中黑色部分的面积是：πa2，白色部分的面积是：（2a）2﹣πa2＝4a2﹣πa2＝（4﹣π）a2，πa2≠（4﹣π）a2，故选项C不符合；
选项A中的图形中白色部分的面积是：[π×（2a）2﹣]×2＝2（π﹣2）a2，黑色部分的面积是：（2a）2﹣2（π﹣2）a2＝2（4﹣π）a2，2（π﹣2）a2与2（4﹣π）a2的数值比较接近，故选项D符合；
故选：D．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，可以用代数式表示出各个选项中黑色部分与白色部分的面积．
【随堂练习】
1．(2023秋•扬州期末）为了贯彻“房住不炒”要求，加快回笼资金，我市甲、乙、丙三家原售价相同的楼盘在年终前搞促销活动，甲楼盘售楼处打出在原价基础上先降价15%，再降价15%；乙楼盘打出一次性降价30%；丙楼盘打出先九折，再降价20%，如果此时小容的父亲想在上述三家楼盘中选择每平米实际售价最低的一处购买，他应选择的楼盘是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．都一样
【解答】解：甲楼盘售楼处：1×（1﹣15%）×（1﹣15%）
＝1×85%×85%
＝0.7225
乙楼盘售楼处：1×（1﹣30%）
＝1×70%
＝0.7
丙楼盘售楼处：1×0.9×（1﹣20%）
＝1×80%×90%
＝0.72
因为0.7＜0.72＜0.7225，
所以应选择的楼盘是乙．
故选：B．
2．(2023秋•乐亭县期末）某公司在销售一种智能机器人时发现，每月可售出300个，当每个降价1元时，可多售出5个，如果每个降价x元，那么每月可售出机器人的个数是（ ）
A．5xB．305+xC．300+5xD．300+x
【解答】解：由题意可得，
如果每个降价x元，那么每月可售出机器人的个数是：300+5x，
故选：C．
2.代数式求值
【例题精选】
例1 (2023•渝中区校级模拟）如图所示，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2020次输出的结果为（ ）
A．125B．25C．1D．5
分析：依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：当x＝125时，x＝25，
当x＝25时，x＝5，
当x＝5时，x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时，x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时，x＝1，
…
(2023﹣2）÷2＝1008…1，
即输出的结果是1，
故选：C．
【点评】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•沙坪坝区校级期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为﹣4的是（ ）
A．x＝﹣1，y＝﹣2B．x＝1，y＝﹣2C．x＝﹣1，y＝2D．x＝﹣2，y＝1
【解答】解：把x＝﹣1，y＝2代入﹣1×22＝﹣4，所以能使输出的结果为﹣4，
故选：A．
2．(2023秋•长垣县期末）若x﹣3y＝4，则1+3y﹣x的值是（ ）
A．﹣3B．5C．3D．﹣5
【解答】解：∵x﹣3y＝4，
∴1+3y﹣x＝1﹣（x﹣3y）＝1﹣4＝﹣3．
故选：A．
3．(2023秋•石家庄期末）当x＝1时，代数式x2﹣2x+a的值为3，则当x＝﹣1时，代数式x2﹣2x+a＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：当x＝1时，代数式x2﹣2x+a的值为3，
即1﹣2+a＝3，得a＝4，
则当x＝﹣1时，代数式x2﹣2x+a＝1+2+4＝7
故选：C．
3.单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例题精选】
例1(2023秋•郾城区期末）单项式﹣4×103a4b3的次数是_______．
分析：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：单项式﹣4×103a4b3的次数是4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了单项式的次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
例2(2023秋•东台市期末）单项式的系数是________，次数是________．
分析：直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【解答】解：单项式的系数是：﹣，次数是：3．
故答案为：﹣，3．
【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•咸丰县期末）单项式的系数是___________．
【解答】解：单项式的系数是：﹣．
故答案为：﹣．
2．(2023秋•中山区期末）的次数是_______．
【解答】解：﹣ab2的次数是：3．
故答案为：3．
3．(2023秋•浦东新区期末）单项式的系数为________．
【解答】解：单项式的系数为：﹣．
故答案为：﹣．
4．(2023•黄冈一模）单项式﹣的系数是________，次数分别是_______．
【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是3，
故答案为：﹣；3．
4多项式
知识概述
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
【例题精选】
例1 (2023秋•宜宾期末）将多项式5x2y+y3﹣3xy2﹣x3按x的升幂排列____________________
__________．
分析：按照字母x的指数从小到大排列即可．
【解答】解：按x的升幂排列为y3﹣3xy2+5x2y﹣x3
故答案为：y3﹣3xy2+5x2y﹣x3．
【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握升幂排列的方法．
例2 (2023秋•玉田县期末）已知多项式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与多项式的次数相同，求m，n的值．
分析：根据多项式与单项式的定义解答即可．
【解答】解：∵多项式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与多项式的次数相同，
∴2+2m+1＝5，n+4m﹣3＝5，
解得m＝1，n＝4．
【点评】本题考查了多项式和单项式的有关内容，能熟记多项式和单项式的次数定义是解此题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•南京期末）单项式的系数是m，多项式a2b+2ab﹣3的次数是n，则m+n＝__________．
【解答】解：∵单项式的系数是m，
∴m＝﹣，
∵多项式a2b+2ab﹣3的次数是n，
∴n＝3，
则m+n＝3﹣＝．
故答案为：．
2．(2023秋•梁园区期末）如果（n﹣4）x|n﹣1|y2﹣3x2y﹣4x3+3是关于x、y的五次四项式，则n＝________．
【解答】解：由于（n﹣4）x|n﹣1|y2﹣3x2y﹣4x3+3是关于x、y的五次四项式，
所以多项式中最高次项（n﹣4）x|n﹣1|y2的次数是5次，故|n﹣1|+2＝5，则n＝﹣2
故答案是：﹣2．
3．(2023秋•伊通县期末）在式子：、、、﹣、1﹣x﹣5xy2、﹣x、6xy+1、a2﹣b2中，其中多项式有_______个．
【解答】解：1﹣x﹣5xy2、6xy+1、a2﹣b2是多项式，共3个，
故答案为：3．
5整式
整式：单项式与多项式统称整式．
【例题精选】
例1(2023秋•诸暨市期中）下列代数式中，整式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
分析：根据整式的定义逐个判断即可．
【解答】解：整式有x2+2，0，，共3个，
故选：B．
【点评】本题考查了整式、多项式、单项式的定义，能熟记定义的内容是解此题的关键．
例2(2023秋•花都区期中）对于下列四个式子：①②③④．其中不是整式的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
分析：根据整式的概念对各个式子进行判断即可．
【解答】解：①，②，④是整式；③不是整式．
故选：C．
【点评】本题考查的是整式的概念，对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
【随堂练习】
1．(2023秋•江阴市期中）在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中，整式的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中，整式的个数是：x+y，0，﹣a，﹣3x2y，共5个．
故选：A．
2．(2023秋•静安区月考）在代数式，，，，，，0，y2+6x+9中，整式共有（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：代数式，，，，，，0，y2+6x+9中，整式有，，，，，0，y2+6x+9共7个．
故选：C．
3．(2023秋•金山区校级月考）在代数式中，整式的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：、3xy、﹣、﹣是整式，
故选：B．
综合练习
一．选择题
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．4
【解答】解：∵2x﹣3y2＝3，
∴x﹣y2＝，
则原式＝1﹣（x﹣y2）
＝1﹣
＝﹣，
故选：B．
2．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（ ）
A．7B．5C．3D．1
【解答】解：由题意知1+1+m＝9，
则m＝7，
∴当x＝﹣1时，x3+x+m
＝﹣1﹣1+7
＝5，
故选：B．
3．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①单项式﹣的系数为﹣，故正确；②x与y的差的平方可表示为（x﹣y）2，原说法错误；
③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+，故正确；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，n+1＝4，m＝2，故n＝3，m＝2，m+n＝5，故正确．
故选：C．
4．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（ ）
A．a＝B．a＝2bC．a＝bD．a＝3b
【解答】解：由图形可知，
，
，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选：B．
三．解答题
1．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数： 115﹣x ；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
乙班人数为：115﹣x，
故答案为：115﹣x；
（2）
＝
＝+805，
即两班捐款的总额是（+805）元；
（3）当x＝60时，
+805＝﹣×60+805＝﹣20+805＝785（元），
答：x＝60时，两班共捐款785元