新九年级数学时期讲义第8讲与圆有关的位置关系-提高班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第8讲与圆有关的位置关系-提高班(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 点与圆的位置关系
1．点和圆的三种位置关系：
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有




【例题精选】
例1 (2023•武汉模拟）在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定
例2 (2023秋•义乌市期末）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（ ）
A．在⊙O上B．在⊙O内
C．在⊙O外D．在⊙O上或在⊙O内
【随堂练习】
1．(2023秋•亭湖区期末）已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定
2直线与圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

【例题精选】
例1 (2023秋•新吴区期末）若直线l与半径为5的⊙O相离，则圆心O与直线l的距离d为（ ）
A．d＜5B．d＞5C．d＝5D．d≤5
例2 (2023•硚口区模拟）平面直角坐标系中，M点坐标为（﹣2，3），以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是（ ）
A．⊙M与x轴相交，与y轴相切
B．⊙M与x轴相切，与y轴相离
C．⊙M与x轴相离，与y轴相交
D．⊙M与x轴相离，与y轴相切
【随堂练习】
1．(2023•武汉模拟）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
2．(2023•武汉模拟）已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l上某点的距离为8cm，则直线1与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0B．1或0C．0或2D．1或2
3．(2023秋•利川市期末）已知⊙O的直径是8，直线l与⊙O有两个交点，则圆心O到直线l的距离d满足（ ）
A．0＜d＜4B．0≤d＜4C．0＜d≤4D．0≤d≤4

3正多边形和圆
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
【例题精选】
例1 (2023•麒麟区一模）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形
例2 (2023•裕华区校级一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝1cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（ ）cm．
A．6B．3C．D．
【随堂练习】
1.(2023•浦东新区二模）如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
2．(2023•和平区一模）在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（ ）
A．90°，4B．90°，1C．45°，4D．45°，1
综合应用
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为（3，5），则B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（0，7）C．（0，8）D．（0，9）
2．已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
3．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
4．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
二．解答题
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长
6．如图已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．
（1）探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明．
（2）当AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面积．
7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．
8．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半径的长．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，点E在AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE＝2，求△ABC的面积．
第8讲 与圆有关的位置关系
1 点与圆的位置关系
1．点和圆的三种位置关系：
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有




【例题精选】
例1 (2023•武汉模拟）在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定
分析：先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为10相比较即可．
【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣10，1），
∴OP＝/＝．
∵⊙O的半径为10，
∴＞10，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
例2 (2023秋•义乌市期末）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（ ）
A．在⊙O上B．在⊙O内
C．在⊙O外D．在⊙O上或在⊙O内
分析：直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径是5，线段OP的长为4，
即点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【随堂练习】
1．(2023秋•亭湖区期末）已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定
【解答】解：∵r＝4，d＝4.5，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
2直线与圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

【例题精选】
例1 (2023秋•新吴区期末）若直线l与半径为5的⊙O相离，则圆心O与直线l的距离d为（ ）
A．d＜5B．d＞5C．d＝5D．d≤5
分析：直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论即可．
【解答】解：∵直线l与⊙O的位置关系是相离，
∴d＞r，
∴r＝5，
∴d＞5，
故选：B．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
例2 (2023•硚口区模拟）平面直角坐标系中，M点坐标为（﹣2，3），以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是（ ）
A．⊙M与x轴相交，与y轴相切
B．⊙M与x轴相切，与y轴相离
C．⊙M与x轴相离，与y轴相交
D．⊙M与x轴相离，与y轴相切
分析：根据M点坐标为（﹣2，3），求得点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，根据点与圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：∵M点坐标为（﹣2，3），
∴点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∵⊙P的半径为2，
∴圆心M到x轴的距离大于半径，到y轴的距离等于半径，
故⊙M与x轴相离，与y轴相切，
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，正确的理解题意是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•武汉模拟）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：＝4.8，
∴d＝4.8cm＝r＝4.8cm，
∴圆与该直线AB的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
2．(2023•武汉模拟）已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l上某点的距离为8cm，则直线1与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0B．1或0C．0或2D．1或2
【解答】解：∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为8cm，
即圆心O到直线l的距离小于或等于圆的半径，
∴直线l和⊙O相切或相交，
∴直线l与⊙O公共点的个数为1或2．
故选：D．
3．(2023秋•利川市期末）已知⊙O的直径是8，直线l与⊙O有两个交点，则圆心O到直线l的距离d满足（ ）
A．0＜d＜4B．0≤d＜4C．0＜d≤4D．0≤d≤4
【解答】解：∵⊙O的直径为8，
∴⊙O的半径为4，
∵直线L与⊙O相交，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
即0≤d＜4．
故选：B．

3正多边形和圆
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
【例题精选】
例1 (2023•麒麟区一模）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形
分析：一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：由题意可得：
边数为360°÷36°＝10，
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题．
例2 (2023•裕华区校级一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝1cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（ ）cm．
A．6B．3C．D．
分析：根据题意可得动点P到这个正六边形六条边的距离之和，即为当点P为正六边形的中心时，点P到六条边的距离之和，即可解答．
【解答】解：如图，当点P是正六边形的中心时，
连接PB、PC，过点P作PH⊥BC于点H，延长HP交EF于点G，
则点P到这个正六边形六条边的距离之和即为6PH的长．
根据正六边形的性质可知：
△BPC是等边三角形，
∴∠BPC＝60°，
∵PH⊥BC，
∴∠BPH＝30°，BH＝BC＝（cm），
∴PH＝（cm），
∴6PH＝3（cm）．
∴点P到这个正六边形六条边的距离之和为3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是理解点P到这个正六边形六条边的距离之和即为当点P为正六边形的中心到六条边的距离之和．
【随堂练习】
1.(2023•浦东新区二模）如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【解答】解：这个多边形的边数是360÷72＝5，
所以内角和为（5﹣2）×180°＝540°
故选：B．
2．(2023•和平区一模）在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（ ）
A．90°，4B．90°，1C．45°，4D．45°，1
【解答】解：∵正方形的边长为8，
由中心角只有四个可得出＝90°，
∴中心角是90°，
正方形的外接圆半径是：sin∠AOC＝，
∵AC＝＝4，∠AOC＝45°，
∴OC＝AC＝4，
∴边心距为：4．
故选：A．
综合应用
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为（3，5），则B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（0，7）C．（0，8）D．（0，9）
【解答】解：过M作MN⊥y轴，连接BM，
∵圆M与x轴相切，M（3，5），
∴ON＝AM＝5，MN＝3，
设BC＝x，则BN＝OB﹣ON＝x﹣5，BM＝AM＝5，
在Rt△BMN中，
根据勾股定理得：52＝32+（x﹣5）2，
解得：x＝9（x＝1不符合题意，舍去），
则B（0，9），
故选：D．
2．已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
【解答】解：∵点P到圆心的距离为3cm，
而⊙O的半径为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在圆内，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，交DE于点N，
∴CM×AB＝AC×BC，
∴CM＝＝4.8，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∴CN＝MN＝CM，
∴MN＝2.4，
∵以DE为直径的圆半径为2.5，
∴r＝2.5＞2.4，
∴以DE为直径的圆与AB的位置关系是：相交．
故选：B．
4．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
【解答】解：∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，
∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠MBA，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，
故选：D．
二．解答题
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长
【解答】（1）证明：连接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAB＝30°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴AC＝AB＝3．
6．如图已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．
（1）探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明．
（2）当AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面积．
【解答】（1）当AC满足平分∠BAD条件时，有AD⊥CD，
证明：连接BC，
则∠ACB＝90°，即∠ABC+∠BAC＝90°，
∵CD是圆O的切线，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
即∠ADC＝90°，AD⊥CD；
（2）解：连结OC、OF．
∵CD切⊙O于C点，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC．
∴AC平分∠BAD，
∴CD＝CE，
∵OA＝5，CD＝4，
∴OC＝OA＝5，CE＝4，
∵CF⊥AB，
∴CF＝2CEOE＝＝＝3，
∴CF＝2×4＝8CF×OE÷2＝8×3÷2＝12，
故△OCF面积为12cm2．
7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵＝，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC＝30°，
∵△AEC为直角三角形，AE＝3，
∴AC＝2，
连接OF，
∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC+∠EAC＝60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF＝OA＝AB，
在Rt△ACB中，AC＝2，∠CBA＝60°，
∴AB＝＝＝4，
∴AF＝2．
8．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半径的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C为弧BF的中点，
∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：由勾股定理得AD＝5，
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∠D＝∠D，
∴△OCD∽△AED，
∴，
即，
解得r＝，
∴⊙O的半径长为．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，点E在AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）
连接OD．
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠B+∠BAD＝90°
∵AO＝DO
∴∠BAD＝∠ADO
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADO+∠ADE＝∠BAD+∠B＝90°，
即∠ODE＝90°．
∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线．
（2）由（1）知，∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC
∵AB＝AC
∴AD是△ABC的中线
∴点D是BC的中点
又∵OB＝OA
∴DO是△ABC的中位线
∵⊙O的半径为5
∴AC＝2DO＝10
∵CE＝2
∴AE＝AC﹣CE＝8
∵DO是△ABC的中位线
∴DO∥AC
∴∠EDO+∠AED＝180°
∴∠AED＝90°
∴∠AED＝∠DEC＝90°
∴∠EDC+∠C＝90°
∵ADC＝180°﹣∠ADB＝90°
∴∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠C
∵∠AED＝∠DEC，∠ADE＝∠C
∴△AED～△DEC
∴即
∴DE＝4
∴S△ADC＝AC•DE＝20
∵AD是△ABC的中线
∴S△ABC＝2S△ADC＝40