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重庆市八中渝北龙兴中学校2023年小升初数学测试卷
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这是一份重庆市八中渝北龙兴中学校2023年小升初数学测试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，计算题，解决问题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1．定义一种新运算“Δ”：对于任意实数x，y，满足xΔy=2x−y，x≥y2x+y，x2．著名的斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21……，从第3个数起，以后的每个数是它前面两个数之和，这串数列中第2023个数除以3所得的余数是 。
3．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则F（a）=5a+1；若a为偶数，则F（a）=12a，例如：F（5）=5×5+1=26，F（16）=12×16=8，若a1=4，a2=F（a1），a3=F（a2），a4=F（a3），…，依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，…，an（n为正整数），则：2a1−a2+a3−a4+a5−a6+⋅⋅⋅+a2021−a2022= 。
4．一群猴子采摘水蜜桃，猴王不在的时候，一个大猴子一小时可采摘15公斤，一个小猴子一小时可采11公斤；猴王在场监督的时候，大猴子的15和小猴子的15必须停止采摘，去伺候猴王，有一天，采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘3382公斤水蜜桃，那么在这猴群中，大猴子共 个。
5．依次排列的2个整式：x，x+3，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在两整式之间，可以产生一个新整式串：x，3，x+3，这称为第一次操作：将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：以此类推。通过实际操作实验，四个同学分别得出一个结论：①第二次操作后整式串为：x，3−x，3，x，x+3；②第二次操作后，当|x|<3时，所有整式的积为正数；③第四次操作后，整式串中共有17个整式；④第2022次操作后，所有的整式的和为2x+6066。以上说法中正确的序号有 。
二、计算题（共4题，每题5分，共20分）
6．计算下列各题，能简算的要简算。
（1）11×2×3×4+12×3×4×5+13×4×5×6+⋯+197×98×99×100
（2）1−11+2−11+2+3−11+2+3+4−⋯−11+2+3+4+⋅⋅⋅+100
7．解方程
（1）1−4−3x4=5x+36−x
（2）0.1x−−x+10.5=3
三、解决问题（共6题，每题10分，共60分）
8．某快递公司对从A地发往B地的快件的运费收费标准是：快件重量不超过10千克，每千克收费8元：如果超过10千克，超出部分按每千5元收费，已知甲乙二人向该公司各投递一个快件，甲比乙多交了34元，求甲乙的快件的重量。（甲乙的快件的重量都是整千克数）
9．某跨海大桥收费站对于过往的车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该大桥收费站的大客车和小客车数量之比是5：6，小客车与小轿车之比是4：11，收取小轿车的通行费比大客车多2700元。求这天这三种车辆通过的数量。
10．A种酒精中纯酒精的含量为40%，B种酒精中纯酒精的含量为36%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合后得到纯酒精含量为38.5%的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升?
11．甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶，甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米，一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头：一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米?（每一次甲车追上乙车也看作一次相通）
12．南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园，备受重庆人民的喜爱：每到春季，上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“懵懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“惜懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为多少?
13．对任意一个三位数M=abc（1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c为整数），如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位数上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定K（M）=N−M，我们称新数K（M）为M的“格致数”。
例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个N=541，K（154）=541−154=387，所以154的“格致数”为387。
（1）填空：当M=132时，N= ；当M=495时，K（495）= ；
（2）求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”K（M）都能被9整除；
（3）已知某“万象数”M的“格致数”为K（M），K（M）既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M。（完全平方数：如0=02，1=12，4=22，9=32，16=42…，我们称0、1、4、9、16…叫完全平方数）
答案解析部分
1．【答案】6
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：假设a≥3
2a－3=9
2a=9+3
a=12÷2
a=6
符合题意；
假设a<3
2a+3=9
2a=9-3
a=6÷2
a=3
因为a<3，而计算结果是a=3，所以不符合题意。
故答案为：6。
【分析】将x与y的值代入式子计算即可。
2．【答案】1
【知识点】数列中的规律
【解析】【解答】解：1÷3=0……1，
1÷3=0……1，
2÷3=0……2，
3÷3=1……0，
5÷3=1……2，
8÷3=2……2，
13÷3=4……1，
21÷3=7……0，
34÷3=11……1
55÷3=18……1，
89÷3=29……2，
144÷3=48……0，
233÷3=77……2，
377÷3=125……2，
610÷3=209……1，
987÷3=329……0，
结合上述算式余数可知：这些数除以3余数是以1，1，2，0，2，2，1，0八个数为一组重复出现的，
2023÷8=252……7
所以，第2023个数除以3余数为这一组的第7个数即为1。
故答案为：1。
【分析】先根据已知找出这组数除以3的余数，为了准确可以多找几个余数，得出规律：余数是以1，1，2，0，2，2，1，0八个数为一组循环的，用2023除以8找出到第2023个数循环了几次，余数是几就是这一组重复出现的余数中的第几个。
3．【答案】-12
【知识点】数列中的规律
【解析】【解答】解：因为a1=4，
a2=F（4）=2，
a3=F（2）=1，
a4=F（1）=6，
a5=F（6）=3，
a6=F（3）=16，
a7=F（16）=8，
a8=F（8）=4，……
所以运算结果以每7次运算为一组循环重复出现，
因为a1－a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8+a9-a10+a11-a12+a13-a14
=4-2+1-6+3-16+8-4+2-1+6-3+16-8
=0
所以每14次运算结果和为0，
因为2022÷14=144……6，
所以2a1-a2+a3-a4+a5-a6……+a2021-a2022
=4+（4-2+1-6+3-16）
=4-16
=-12
故答案为：-12。
【分析】根据题意计算发现规律是以每7次运算结果循环出现一次，再继续计算发现每14次连续计算结果为0，因此先找出算式中一共出现几组14次运算结果为0的算式：2022÷14，余数是几就是还有几组算式结果不为0，结果从4，2，1，6，3，16，8依次代入计算即可，注意a1是乘了2，即a1计算后还剩下一个4。
4．【答案】15
【知识点】列方程解关于分数问题
【解析】【解答】解：设大猴子有x个，小猴子有y个。
6×15x+6×11y+2×15×（1-15）x+2×11×（1-15）y=3382
90x+66y+24x+8815y=3382
114x+418y×15=3382
3x+115y=89
因为按照题意，有15的大猴子和小猴子去伺候猴王，那么猴子只数就应该是5的倍数，通过尝试找5的倍数代入计算，发现答案是：x=15，y=20。
故答案为：15。
【分析】一天采摘8小时，猴王只在场第一小时和最后一小时，所以猴王只在场2小时，这时有大猴子的45和小猴子的45采摘，不在场的6小时都在采摘，所以采摘数量分段计算：猴王没在场，大猴子只数×采摘速度×采摘时间+小猴子只数×采摘速度×采摘时间，猴王在场，大猴子只数的45×采摘速度×采摘时间+小猴子只数的45×采摘速度×采摘时间，再把两段时间采摘数量相加即为全部采摘数量3382公斤，即大猴子只数×采摘速度×采摘时间+小猴子只数×采摘速度×采摘时间+大猴子只数的45×采摘速度×采摘时间+小猴子只数的45×采摘速度×采摘时间=3382，根据等量关系式分别设大猴子只数为x、小猴子只数为y代入化简即可，最后根据题意发现猴子只数必须是5的倍数，据此可以找到答案。
5．【答案】①③
【知识点】数列中的规律
【解析】【解答】解：①、因为第一次操作后的整式串为：x，3，x+3，所以第二次操作后的整式串为x，3-x，3，x，x+3，即x，3-x，3，x，x+3，故①的结论正确，符合题意；
②、3x（3-x）x（x+3）
=3x2（9-x2）
因为x<3，所以x2<9，即9-x2>0，则3x2（9-x2）≥0，即第二次操作后，当x<3时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意；
③、第三次操作后整式串为x，3-2x，3-x，x，3，x-3，x，3，x+3，第四次操作后整式串为x，3-3x，3-2x，x，3-x，2x-3，x，3-x，3，x-6，x-3，3，x，3-x，3，x，x+3，共17个，故③的说法正确，符合题意；
④、第一次操作后所有整式的和为
x+3+x+3=2x+6，
第二次操作后所有整式的和为
x+3-x+3+x+x+3=2x+9，
第三次操作后所有整式的和为
x+3+2x+3-x+x+3+x-3+x+3+x+3=2x+12，
……
第n次操作后所有整式的和为2x+3（n+1）
所以第2022操作后，所有整式的和为2x+3×（2022+1）=2x+6069，故④的说法错误，不符合题意；
因此正确的说法有①③。
故答案为：①③。
【分析】根据题意代入计算，逐个化简即可判断。
6．【答案】（1）解：11×2×3×4+12×3×4×5+13×4×5×6+⋯+197×98×99×100
=13×（11×2×3−12×3×4+12×3×4−13×4×5+13×4×5−14×5×6……+197×98×99−198×99×100）
=13×（11×2×3−198×99×100）
=13×161699970200
=1616992910600
（2）解：1−11+2−11+2+3−11+2+3+4−⋯−11+2+3+4+⋅⋅⋅+100
=1-（22×3+23×4+24×5+……+2100×101）
=1-2×（12−13+13−14+14−15+……+1100−1101）
=1-2×（12−1101）
=1-1+2101
=2101
【知识点】高斯求和
【解析】【分析】（1）11×2×3×4=13×（11×2×3−12×3×4），12×3×4×5=13×（12×3×4−13×4×5），13×4×5×6=13×（13×4×5−14×5×6）……197×98×99×100=13×（197×98×99−198×99×100），因为有相同因数13，所以利用乘法分配律a（b+c）=ac+bc加上括号，括号里面的数又两两抵消，最后剩下11×2×3−198×99×100的差，先将括号里面的计算出来再与13相乘即可；
（2）因为11+2=22×3，11+2+3=23×4，11+2+3+4=24×5，……，11+2+3+4+……+100=2100×101，再根据连减的性质a-b-c=a-（b+c），将原式改写成1-（22×3+23×4+24×5+……+2100×101），又因为括号里面都有相同因数2，所以利用乘法分配律a（b+c）=ac+bc提取相同因数2，式子可以改写成1-2×（12−13+13−14+14−15+……+1100−1101），括号里面的数两两抵消，最后剩下12−1101，再去掉括号计算即可。
7．【答案】（1） 1−4−3x4=5x+36−x
解：12-12+9x=10x+6-12x
9x+12x=10x+6
21x-10x=6
11x=6
x=6÷11
x=611
（2） 0.1x−−x+10.5=3
解： 0.1x−+x+10.5
0.1x−+x+10.5
（0.1x-0.2）×0.5=（1.5+x+1）×0.02
0.05x-0.1=0.05+0.02x
0.05x-0.02x-0.1=0.05
0.05x-0.02x=0.05+0.1
0.03x=0.15
x=0.15÷0.03
x=5
【知识点】综合应用等式的性质解方程
【解析】【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；
比例的基本性质：两外项的积等于两内项的积；
（1）先根据等式的性质2在等式两边同时乘12化简方程，再根据等式的性质1在等式两边同时加上12x，然后根据等式的性质1在等式两边同时减去10x，最后根据等式的性质2在等式两边同时除以11即可；
（2）先根据等式的性质1在等式两边同时加上x+10.5，然后将等式右边通分后先相加，再根据比例的基本性质将方程改写，然后根据等式的性质1在等式两边同时减去0.02x，再根据等式的性质1在等式两边同时加上0.1，最后根据等式的性质2在等式两边同时除以0.03即可。
8．【答案】解：
8×3+5×2
=24+10
=34（元）
那么甲比乙多的分成两部分：10千克以上的有2千克，10千克以下的有3千克；
甲的重量就是：10+2=12（千克）
乙的重量就是：10-3=7（千克）
答：甲的快件重12千克，乙的快件重7千克。
【知识点】分段计费问题
【解析】【分析】结合题意，我们知道甲比乙多交了的34元既包含了10千克以内的重量费用也包含了超过10千克重量的费用，而因为快件都是整千克，所以尝试后发现34元=8元×3千克+5元×2千克；而根据这个算式不难看出甲比乙多的分成了两部分：10千克以上的有2千克，10千克以内的有3千克。那么甲的重量就是10+2=12（千克），乙的重量就是10-3=7（千克）。
9．【答案】解：因为大客车数量：小客车数量=5：6=10：12，小客车数量：小轿车数量=4：11=12：33，所以大客车数量：小客车数量：小轿车数量=10：12：33，
因此大客车通行费：小客车通行费：小轿车通行费=（30×10）：（15×12）：（10×33）=10：6：11，
2700÷（11-10）
=2700÷1
=2700（元）
大客车：2700×10÷30
=27000÷30
=900（辆）
小客车：2700×6÷15
=16200÷15
=1080（辆）
小轿车：2700×11÷10
=29700÷10
=2970（辆）
答：这天这三种车辆通过的数量分别是大客车900辆、小客车1080辆、小轿车2970辆。
【知识点】比的应用
【解析】【分析】由题意分析不难找出三种车辆数量比是10：12：33，再将每种车的通行费代入计算不难找出三种车辆的通行费之比，然后根据比的应用，找到一份的钱是多少：小轿车比大客车多收取的通行费÷小轿车比大客车多收取通行费所占的份数=一份的钱，再用一份的钱分别去乘三种车辆所占的份数即可解决。
10．【答案】解：3×（38.5%-36%）÷（40%-38.5%）
=3×0.025÷0.015
=0.075÷0.015
=5（升）
11-3-5=3（升）
（36%+35%）÷2=35.5%
（38.5%-35.5%）：（40%-38.5%）
=2：1
3÷（2+1）×2
=3÷3×2
=2（升）
5+2=7（升）
答：A种酒精有7升。
【知识点】浓度问题综合
【解析】【分析】①由于B种酒精比C种酒精多3升，可把B种酒精取出3升，和A种酒精的部分酒精进行混合，得到浓度是38.5%的酒精，需要A种酒精3×（38.5%-36%）÷（40%-38.5%）=5升；②再把剩下的A种酒精和B、C两种酒精混合，总溶液是11-3-5=3升，其中B、C两种酒精的混合浓度是（36%+35%）÷2=35.5%，A和B、C的质量比是2：1，溶液有3÷（2+1）×2=2升，因此含有A种酒精5+2=7升。
11．【答案】解：①6÷（65+55）=0.05（小时），
这时距离A点：55×0.05=2.75（千米）；
②6÷（65-55）=0.6（小时）
55×0.6=33（千米），即5圈又3千米，
这时距离A点：3-2.75=0.25（千米）
所以，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2……3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，即与A点的距离是3000米。
答：第11次相遇的地点距离A点有3000米。
【知识点】环形跑道问题
【解析】【分析】第一次相遇时间是：6÷（65+55）=0.05小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75（千米），然后乙车调头，变为追及问题，追及时间为：6÷（65-55）=0.6小时，乙车在此过程中走的路程是：速度×追及时间，算出路程发现乙车走了5圈多3千米，这时乙车距离A点的距离是多出的3千米减去相遇时距离A点的距离。此时甲车掉头，又成为相遇问题，同样方法计算。然后乙车掉头，成为追及问题，又重复上述步骤，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶方向与最开始相同。所以得出结论，每4次相遇为一个周期，据此可以解答。
12．【答案】解：设C花卉x元一支，则B花卉4x元一支，A花卉y元一支
2y+4×4x+10x=2×（2y+2×4x+4x）
2y+26x=4y+24x
26x-24x=4y-2y
2x=2y
x=y
即C花卉x元一支，B花卉4x元一支，A花卉x元一支
“如沐春风”成本：2x+4×4x+10x=28x
28x×（1+50%）=42x
42x×80%=33.6x
“懵懂少女”成本：2x+2×4x+4x=14x
14x×（1+50%）=21x
21x×80%=16.8x
“粉色回忆”成本：2x+3×4x+6x=20x
20x×（1+50%）=30x
30x×90%=27x
设某周末“如沐春风”和“懵懂少女”各销售了a盒，“粉色回忆”销售了b盒
28xa+14xa+20xb=4[（33.6x-28x）a+（16.8x-14x）a+（27x-20x）b]
28xa+14xa+20xb=4[5.6xa+2.8xa+7xb]
28xa+14xa+20xb=22.4xa+11.2xa+28xb
42xa+20xb=33.6xa+28xb
42xa-33.6xa=28xb-20xb
8.4xa=8xb
b=2120a
因此该周末“粉色回忆”的总利润为
（27x-20x）b
=7x×2120a
=7.35xa
该周末三种礼盒的总利润为
（33.6x-28x）a+(16.8x-14x）a+（27x-20x）b
=5.6xa+2.8xa+7.35xa
=15.75xa
所以该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为（7.35xa）：（15.75xa）=
答：该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值是715。
【知识点】百分数的应用--折扣
【解析】【分析】根据题意把每一种花卉的单价设出来，再根据等量关系式：A种花卉数量×单价+B种花卉数量×单价+C种花卉数量×单价=每种礼盒的总成本，再根据“如沐春风”一盒的总成本=“懵懂少女”一盒总成本×2，列出方程，并逐步化简方程，即可得到A种花卉和C种花卉的单价相等，即A、C种花卉的单价都是x元，B种花卉的单价是4x元，代入计算总成本的关系式即可将每一种礼盒的总成本计算出来，再根据周末给出的条件即可逐步解答。
13．【答案】（1）321；459
（2）解：设万象数M=abc，则N=bca
M=100a + 10b + c N=100b + 10c + a
∵a+c=b
∴K(M)=N-M=90b + 9c - 99a
=9(11c - a)
∴其格致数都能被9整除
（3）解：因为K（M）=9（11c-a）是72的倍数，所以11c-a=8c+3c-a是8的倍数，即3c-a是8的倍数，
又因为1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c为整数 ，所以-9⩽3c-a⩽26，
因为a+c=b，所以1⩽a+c⩽9，所以3c-a=-8，或3c-a=0，或3c-a=8，或3c-a=16，或3c-a=24，所以a=8，c=0，或a=6，c=2，或a=4，c=4，或a=3，c=1，或a=2，c=6，或a=1，c=3，
因为K（M）=9（11c-a），所以K（M）的值为-72，或144，或360，或72，或576，或270，
因为K（M）是完全平方数，所以K（M）的值是144或576，所以M的值是682或286。
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）当M=132时，N=321；当M=495时，K（495）=954-495=459。
故答案为：（1）321，459；（3）682或286。
【分析】（1）根据新定义分别计算即可解答；
（2）根据定义可知N为bca，再计算“格致数”K（M），利用乘法分配律即可证明；
（3）根据第（2）题的结论K（M）=9（11c-a）是72的倍数，可得3c-a是8的倍数，结合a，b，c的取值规定得到符合条件的值，可得K（M），结合K（M）是完全平方数，即可找到答案。
一、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1．定义一种新运算“Δ”：对于任意实数x，y，满足xΔy=2x−y，x≥y2x+y，x
3．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则F（a）=5a+1；若a为偶数，则F（a）=12a，例如：F（5）=5×5+1=26，F（16）=12×16=8，若a1=4，a2=F（a1），a3=F（a2），a4=F（a3），…，依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，…，an（n为正整数），则：2a1−a2+a3−a4+a5−a6+⋅⋅⋅+a2021−a2022= 。
4．一群猴子采摘水蜜桃，猴王不在的时候，一个大猴子一小时可采摘15公斤，一个小猴子一小时可采11公斤；猴王在场监督的时候，大猴子的15和小猴子的15必须停止采摘，去伺候猴王，有一天，采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘3382公斤水蜜桃，那么在这猴群中，大猴子共 个。
5．依次排列的2个整式：x，x+3，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在两整式之间，可以产生一个新整式串：x，3，x+3，这称为第一次操作：将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：以此类推。通过实际操作实验，四个同学分别得出一个结论：①第二次操作后整式串为：x，3−x，3，x，x+3；②第二次操作后，当|x|<3时，所有整式的积为正数；③第四次操作后，整式串中共有17个整式；④第2022次操作后，所有的整式的和为2x+6066。以上说法中正确的序号有 。
二、计算题（共4题，每题5分，共20分）
6．计算下列各题，能简算的要简算。
（1）11×2×3×4+12×3×4×5+13×4×5×6+⋯+197×98×99×100
（2）1−11+2−11+2+3−11+2+3+4−⋯−11+2+3+4+⋅⋅⋅+100
7．解方程
（1）1−4−3x4=5x+36−x
（2）0.1x−−x+10.5=3
三、解决问题（共6题，每题10分，共60分）
8．某快递公司对从A地发往B地的快件的运费收费标准是：快件重量不超过10千克，每千克收费8元：如果超过10千克，超出部分按每千5元收费，已知甲乙二人向该公司各投递一个快件，甲比乙多交了34元，求甲乙的快件的重量。（甲乙的快件的重量都是整千克数）
9．某跨海大桥收费站对于过往的车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该大桥收费站的大客车和小客车数量之比是5：6，小客车与小轿车之比是4：11，收取小轿车的通行费比大客车多2700元。求这天这三种车辆通过的数量。
10．A种酒精中纯酒精的含量为40%，B种酒精中纯酒精的含量为36%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合后得到纯酒精含量为38.5%的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升?
11．甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶，甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米，一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头：一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米?（每一次甲车追上乙车也看作一次相通）
12．南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园，备受重庆人民的喜爱：每到春季，上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“懵懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“惜懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为多少?
13．对任意一个三位数M=abc（1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c为整数），如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位数上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定K（M）=N−M，我们称新数K（M）为M的“格致数”。
例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个N=541，K（154）=541−154=387，所以154的“格致数”为387。
（1）填空：当M=132时，N= ；当M=495时，K（495）= ；
（2）求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”K（M）都能被9整除；
（3）已知某“万象数”M的“格致数”为K（M），K（M）既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M。（完全平方数：如0=02，1=12，4=22，9=32，16=42…，我们称0、1、4、9、16…叫完全平方数）
答案解析部分
1．【答案】6
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：假设a≥3
2a－3=9
2a=9+3
a=12÷2
a=6
符合题意；
假设a<3
2a+3=9
2a=9-3
a=6÷2
a=3
因为a<3，而计算结果是a=3，所以不符合题意。
故答案为：6。
【分析】将x与y的值代入式子计算即可。
2．【答案】1
【知识点】数列中的规律
【解析】【解答】解：1÷3=0……1，
1÷3=0……1，
2÷3=0……2，
3÷3=1……0，
5÷3=1……2，
8÷3=2……2，
13÷3=4……1，
21÷3=7……0，
34÷3=11……1
55÷3=18……1，
89÷3=29……2，
144÷3=48……0，
233÷3=77……2，
377÷3=125……2，
610÷3=209……1，
987÷3=329……0，
结合上述算式余数可知：这些数除以3余数是以1，1，2，0，2，2，1，0八个数为一组重复出现的，
2023÷8=252……7
所以，第2023个数除以3余数为这一组的第7个数即为1。
故答案为：1。
【分析】先根据已知找出这组数除以3的余数，为了准确可以多找几个余数，得出规律：余数是以1，1，2，0，2，2，1，0八个数为一组循环的，用2023除以8找出到第2023个数循环了几次，余数是几就是这一组重复出现的余数中的第几个。
3．【答案】-12
【知识点】数列中的规律
【解析】【解答】解：因为a1=4，
a2=F（4）=2，
a3=F（2）=1，
a4=F（1）=6，
a5=F（6）=3，
a6=F（3）=16，
a7=F（16）=8，
a8=F（8）=4，……
所以运算结果以每7次运算为一组循环重复出现，
因为a1－a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8+a9-a10+a11-a12+a13-a14
=4-2+1-6+3-16+8-4+2-1+6-3+16-8
=0
所以每14次运算结果和为0，
因为2022÷14=144……6，
所以2a1-a2+a3-a4+a5-a6……+a2021-a2022
=4+（4-2+1-6+3-16）
=4-16
=-12
故答案为：-12。
【分析】根据题意计算发现规律是以每7次运算结果循环出现一次，再继续计算发现每14次连续计算结果为0，因此先找出算式中一共出现几组14次运算结果为0的算式：2022÷14，余数是几就是还有几组算式结果不为0，结果从4，2，1，6，3，16，8依次代入计算即可，注意a1是乘了2，即a1计算后还剩下一个4。
4．【答案】15
【知识点】列方程解关于分数问题
【解析】【解答】解：设大猴子有x个，小猴子有y个。
6×15x+6×11y+2×15×（1-15）x+2×11×（1-15）y=3382
90x+66y+24x+8815y=3382
114x+418y×15=3382
3x+115y=89
因为按照题意，有15的大猴子和小猴子去伺候猴王，那么猴子只数就应该是5的倍数，通过尝试找5的倍数代入计算，发现答案是：x=15，y=20。
故答案为：15。
【分析】一天采摘8小时，猴王只在场第一小时和最后一小时，所以猴王只在场2小时，这时有大猴子的45和小猴子的45采摘，不在场的6小时都在采摘，所以采摘数量分段计算：猴王没在场，大猴子只数×采摘速度×采摘时间+小猴子只数×采摘速度×采摘时间，猴王在场，大猴子只数的45×采摘速度×采摘时间+小猴子只数的45×采摘速度×采摘时间，再把两段时间采摘数量相加即为全部采摘数量3382公斤，即大猴子只数×采摘速度×采摘时间+小猴子只数×采摘速度×采摘时间+大猴子只数的45×采摘速度×采摘时间+小猴子只数的45×采摘速度×采摘时间=3382，根据等量关系式分别设大猴子只数为x、小猴子只数为y代入化简即可，最后根据题意发现猴子只数必须是5的倍数，据此可以找到答案。
5．【答案】①③
【知识点】数列中的规律
【解析】【解答】解：①、因为第一次操作后的整式串为：x，3，x+3，所以第二次操作后的整式串为x，3-x，3，x，x+3，即x，3-x，3，x，x+3，故①的结论正确，符合题意；
②、3x（3-x）x（x+3）
=3x2（9-x2）
因为x<3，所以x2<9，即9-x2>0，则3x2（9-x2）≥0，即第二次操作后，当x<3时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意；
③、第三次操作后整式串为x，3-2x，3-x，x，3，x-3，x，3，x+3，第四次操作后整式串为x，3-3x，3-2x，x，3-x，2x-3，x，3-x，3，x-6，x-3，3，x，3-x，3，x，x+3，共17个，故③的说法正确，符合题意；
④、第一次操作后所有整式的和为
x+3+x+3=2x+6，
第二次操作后所有整式的和为
x+3-x+3+x+x+3=2x+9，
第三次操作后所有整式的和为
x+3+2x+3-x+x+3+x-3+x+3+x+3=2x+12，
……
第n次操作后所有整式的和为2x+3（n+1）
所以第2022操作后，所有整式的和为2x+3×（2022+1）=2x+6069，故④的说法错误，不符合题意；
因此正确的说法有①③。
故答案为：①③。
【分析】根据题意代入计算，逐个化简即可判断。
6．【答案】（1）解：11×2×3×4+12×3×4×5+13×4×5×6+⋯+197×98×99×100
=13×（11×2×3−12×3×4+12×3×4−13×4×5+13×4×5−14×5×6……+197×98×99−198×99×100）
=13×（11×2×3−198×99×100）
=13×161699970200
=1616992910600
（2）解：1−11+2−11+2+3−11+2+3+4−⋯−11+2+3+4+⋅⋅⋅+100
=1-（22×3+23×4+24×5+……+2100×101）
=1-2×（12−13+13−14+14−15+……+1100−1101）
=1-2×（12−1101）
=1-1+2101
=2101
【知识点】高斯求和
【解析】【分析】（1）11×2×3×4=13×（11×2×3−12×3×4），12×3×4×5=13×（12×3×4−13×4×5），13×4×5×6=13×（13×4×5−14×5×6）……197×98×99×100=13×（197×98×99−198×99×100），因为有相同因数13，所以利用乘法分配律a（b+c）=ac+bc加上括号，括号里面的数又两两抵消，最后剩下11×2×3−198×99×100的差，先将括号里面的计算出来再与13相乘即可；
（2）因为11+2=22×3，11+2+3=23×4，11+2+3+4=24×5，……，11+2+3+4+……+100=2100×101，再根据连减的性质a-b-c=a-（b+c），将原式改写成1-（22×3+23×4+24×5+……+2100×101），又因为括号里面都有相同因数2，所以利用乘法分配律a（b+c）=ac+bc提取相同因数2，式子可以改写成1-2×（12−13+13−14+14−15+……+1100−1101），括号里面的数两两抵消，最后剩下12−1101，再去掉括号计算即可。
7．【答案】（1） 1−4−3x4=5x+36−x
解：12-12+9x=10x+6-12x
9x+12x=10x+6
21x-10x=6
11x=6
x=6÷11
x=611
（2） 0.1x−−x+10.5=3
解： 0.1x−+x+10.5
0.1x−+x+10.5
（0.1x-0.2）×0.5=（1.5+x+1）×0.02
0.05x-0.1=0.05+0.02x
0.05x-0.02x-0.1=0.05
0.05x-0.02x=0.05+0.1
0.03x=0.15
x=0.15÷0.03
x=5
【知识点】综合应用等式的性质解方程
【解析】【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；
比例的基本性质：两外项的积等于两内项的积；
（1）先根据等式的性质2在等式两边同时乘12化简方程，再根据等式的性质1在等式两边同时加上12x，然后根据等式的性质1在等式两边同时减去10x，最后根据等式的性质2在等式两边同时除以11即可；
（2）先根据等式的性质1在等式两边同时加上x+10.5，然后将等式右边通分后先相加，再根据比例的基本性质将方程改写，然后根据等式的性质1在等式两边同时减去0.02x，再根据等式的性质1在等式两边同时加上0.1，最后根据等式的性质2在等式两边同时除以0.03即可。
8．【答案】解：
8×3+5×2
=24+10
=34（元）
那么甲比乙多的分成两部分：10千克以上的有2千克，10千克以下的有3千克；
甲的重量就是：10+2=12（千克）
乙的重量就是：10-3=7（千克）
答：甲的快件重12千克，乙的快件重7千克。
【知识点】分段计费问题
【解析】【分析】结合题意，我们知道甲比乙多交了的34元既包含了10千克以内的重量费用也包含了超过10千克重量的费用，而因为快件都是整千克，所以尝试后发现34元=8元×3千克+5元×2千克；而根据这个算式不难看出甲比乙多的分成了两部分：10千克以上的有2千克，10千克以内的有3千克。那么甲的重量就是10+2=12（千克），乙的重量就是10-3=7（千克）。
9．【答案】解：因为大客车数量：小客车数量=5：6=10：12，小客车数量：小轿车数量=4：11=12：33，所以大客车数量：小客车数量：小轿车数量=10：12：33，
因此大客车通行费：小客车通行费：小轿车通行费=（30×10）：（15×12）：（10×33）=10：6：11，
2700÷（11-10）
=2700÷1
=2700（元）
大客车：2700×10÷30
=27000÷30
=900（辆）
小客车：2700×6÷15
=16200÷15
=1080（辆）
小轿车：2700×11÷10
=29700÷10
=2970（辆）
答：这天这三种车辆通过的数量分别是大客车900辆、小客车1080辆、小轿车2970辆。
【知识点】比的应用
【解析】【分析】由题意分析不难找出三种车辆数量比是10：12：33，再将每种车的通行费代入计算不难找出三种车辆的通行费之比，然后根据比的应用，找到一份的钱是多少：小轿车比大客车多收取的通行费÷小轿车比大客车多收取通行费所占的份数=一份的钱，再用一份的钱分别去乘三种车辆所占的份数即可解决。
10．【答案】解：3×（38.5%-36%）÷（40%-38.5%）
=3×0.025÷0.015
=0.075÷0.015
=5（升）
11-3-5=3（升）
（36%+35%）÷2=35.5%
（38.5%-35.5%）：（40%-38.5%）
=2：1
3÷（2+1）×2
=3÷3×2
=2（升）
5+2=7（升）
答：A种酒精有7升。
【知识点】浓度问题综合
【解析】【分析】①由于B种酒精比C种酒精多3升，可把B种酒精取出3升，和A种酒精的部分酒精进行混合，得到浓度是38.5%的酒精，需要A种酒精3×（38.5%-36%）÷（40%-38.5%）=5升；②再把剩下的A种酒精和B、C两种酒精混合，总溶液是11-3-5=3升，其中B、C两种酒精的混合浓度是（36%+35%）÷2=35.5%，A和B、C的质量比是2：1，溶液有3÷（2+1）×2=2升，因此含有A种酒精5+2=7升。
11．【答案】解：①6÷（65+55）=0.05（小时），
这时距离A点：55×0.05=2.75（千米）；
②6÷（65-55）=0.6（小时）
55×0.6=33（千米），即5圈又3千米，
这时距离A点：3-2.75=0.25（千米）
所以，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2……3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，即与A点的距离是3000米。
答：第11次相遇的地点距离A点有3000米。
【知识点】环形跑道问题
【解析】【分析】第一次相遇时间是：6÷（65+55）=0.05小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75（千米），然后乙车调头，变为追及问题，追及时间为：6÷（65-55）=0.6小时，乙车在此过程中走的路程是：速度×追及时间，算出路程发现乙车走了5圈多3千米，这时乙车距离A点的距离是多出的3千米减去相遇时距离A点的距离。此时甲车掉头，又成为相遇问题，同样方法计算。然后乙车掉头，成为追及问题，又重复上述步骤，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶方向与最开始相同。所以得出结论，每4次相遇为一个周期，据此可以解答。
12．【答案】解：设C花卉x元一支，则B花卉4x元一支，A花卉y元一支
2y+4×4x+10x=2×（2y+2×4x+4x）
2y+26x=4y+24x
26x-24x=4y-2y
2x=2y
x=y
即C花卉x元一支，B花卉4x元一支，A花卉x元一支
“如沐春风”成本：2x+4×4x+10x=28x
28x×（1+50%）=42x
42x×80%=33.6x
“懵懂少女”成本：2x+2×4x+4x=14x
14x×（1+50%）=21x
21x×80%=16.8x
“粉色回忆”成本：2x+3×4x+6x=20x
20x×（1+50%）=30x
30x×90%=27x
设某周末“如沐春风”和“懵懂少女”各销售了a盒，“粉色回忆”销售了b盒
28xa+14xa+20xb=4[（33.6x-28x）a+（16.8x-14x）a+（27x-20x）b]
28xa+14xa+20xb=4[5.6xa+2.8xa+7xb]
28xa+14xa+20xb=22.4xa+11.2xa+28xb
42xa+20xb=33.6xa+28xb
42xa-33.6xa=28xb-20xb
8.4xa=8xb
b=2120a
因此该周末“粉色回忆”的总利润为
（27x-20x）b
=7x×2120a
=7.35xa
该周末三种礼盒的总利润为
（33.6x-28x）a+(16.8x-14x）a+（27x-20x）b
=5.6xa+2.8xa+7.35xa
=15.75xa
所以该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为（7.35xa）：（15.75xa）=
答：该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值是715。
【知识点】百分数的应用--折扣
【解析】【分析】根据题意把每一种花卉的单价设出来，再根据等量关系式：A种花卉数量×单价+B种花卉数量×单价+C种花卉数量×单价=每种礼盒的总成本，再根据“如沐春风”一盒的总成本=“懵懂少女”一盒总成本×2，列出方程，并逐步化简方程，即可得到A种花卉和C种花卉的单价相等，即A、C种花卉的单价都是x元，B种花卉的单价是4x元，代入计算总成本的关系式即可将每一种礼盒的总成本计算出来，再根据周末给出的条件即可逐步解答。
13．【答案】（1）321；459
（2）解：设万象数M=abc，则N=bca
M=100a + 10b + c N=100b + 10c + a
∵a+c=b
∴K(M)=N-M=90b + 9c - 99a
=9(11c - a)
∴其格致数都能被9整除
（3）解：因为K（M）=9（11c-a）是72的倍数，所以11c-a=8c+3c-a是8的倍数，即3c-a是8的倍数，
又因为1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c为整数 ，所以-9⩽3c-a⩽26，
因为a+c=b，所以1⩽a+c⩽9，所以3c-a=-8，或3c-a=0，或3c-a=8，或3c-a=16，或3c-a=24，所以a=8，c=0，或a=6，c=2，或a=4，c=4，或a=3，c=1，或a=2，c=6，或a=1，c=3，
因为K（M）=9（11c-a），所以K（M）的值为-72，或144，或360，或72，或576，或270，
因为K（M）是完全平方数，所以K（M）的值是144或576，所以M的值是682或286。
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）当M=132时，N=321；当M=495时，K（495）=954-495=459。
故答案为：（1）321，459；（3）682或286。
【分析】（1）根据新定义分别计算即可解答；
（2）根据定义可知N为bca，再计算“格致数”K（M），利用乘法分配律即可证明；
（3）根据第（2）题的结论K（M）=9（11c-a）是72的倍数，可得3c-a是8的倍数，结合a，b，c的取值规定得到符合条件的值，可得K（M），结合K（M）是完全平方数，即可找到答案。
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