高中物理重难点96讲专题48用单摆测量重力加速度(原卷版+解析)

这是一份高中物理重难点96讲专题48用单摆测量重力加速度(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了实验器材，实验步骤，数据处理，注意事项等内容，欢迎下载使用。

当摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式可得g＝4π2lT2，则测出单摆的摆长和周期即可测出重力加速度.
二、实验器材
带孔小钢球一个、不易伸长的细丝线一条(长约1 m)、毫米刻度尺一把、停表、游标卡尺、带铁夹的铁架台。
三、实验步骤
1．做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。
2．测摆长：用米尺量出摆线长l0(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l0＋eq \f(D,2)。
3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均一次全振动的时间，即单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。
4．改变摆长，重做几次实验。
四、数据处理
1．公式法
将测得的几次的周期T和摆长l代入g＝eq \f(4π2l,T2)中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即当地的重力加速度的值。
2．图像法
由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得l＝eq \f(g,4π2)T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l－T2图像，是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g的值。eq \f(g,4π2)＝k，k＝eq \f(l,T2)＝eq \f(Δl,ΔT2)。
五、注意事项
1．选择摆线时应尽量选择细、轻且不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的情况。
3．小球在同一竖直面内摆动不要形成圆锥摆，且摆角小于5°.
4．选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数．
5．小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r.
1．（2022·全国·高三课时练习）某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验时，提供了下列部分器材：
①长约1 m的细线 ②直径约为2 cm的带孔匀质小钢球 ③数字停表 ④铁架台（如图） ⑤游标卡尺 ⑥天平
回答下列问题：
（1）为了完成实验，上述器材不需要的是______（填器材前的序号）。
（2）①还需要的器材是______（填器材前的字母）。
A．打点计时器 B．米尺
C．弹簧测力计 D．光电门
②简述该同学选择的器材在本实验中的使用：______。
2．（2022·湖北省罗田县第一中学模拟预测）在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：
（1）该实验中用于测量时间的工具是________；
A． B． C．
（2）如图甲所示小明用游标卡尺测量小球的直径为_______mm；
（3）为了减小测量误差，下列操作正确的是________；
A．摆线的长度应适当长些
B．单摆的摆角应尽量大些
C．测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置
D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期
3．（2023·全国·高三专题练习）在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
（1）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为______；
A．20cm长的结实的细线、小木球、秒表、米尺、铁架台
B．100cm长的结实的细线、小钢球、秒表、米尺、铁架台
C．100cm长的结实的细线、大木球、秒表、50cm量程的刻度尺、铁架台
D．100cm长的结实的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台
（2）利用图方式测量单摆摆长l为______cm；
（3）为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最______（填“高”或“低”）点的位置时开始计时，并计数为1，摆球每次通过该位置时计数加1.当计数为51时，所用的时间为t秒，则单摆周期为______秒；
（4）某同学用一个铁锁代替小球做实验。只改变摆线的长度，测量了摆线长度分别为l1和l2时单摆的周期T1和T2，则可得重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
4．（2023·全国·高三专题练习）实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示。
（1）实验过程有两组同学分别用了图2．图3的两种不同方式悬挂小钢球，你认为___________（选填“图2”或“图3”）悬挂方式较好；
（2）在实验中，某同学用游标卡尺测量金属球的直径，结果如图4所示，读出小球直径为___________cm；
（3）实验中，某同学测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图5所示的坐标系中，图中各坐标点分别对应实验中5种不同摆长的情况。由图像可知重力加速度g = ___________m/s2；（结果保留2位有效数字）
（4）实验中，三位同学作出的T2—L图线分别如图6中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线a和c，下列分析正确的是___________（填选项前的字母）。
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
5．（2023·全国·高三专题练习）一位同学做“用单摆测定重力加速度”的实验，在把摆球悬挂好后，以下步骤正确的是___________。
A．悬挂好单摆后，用米尺量出摆线的长度，得摆长l
B．把摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下停表开始计时，同时把这次通过最低点记为第1次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按停表停止计时，读出这段时间t，算出单摆的周期T=t60
C．把所测得的l和T代入单摆周期公式算出g，并写入实验报告
D．处理数据时，可以画T2−l图像，也可以画l−T2图像
（2）下表是用单摆测定重力加速度的实验中获得的有关数据：
①利用上述数据，在下图的坐标系中描绘出l-T2图像。___________
②利用图像，取T2=4.2s2时，l=___________m，重力加速度g=___________m/s2（结果保留3位有效数字）
6．在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
（1）若完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得的摆线长（悬点到摆球上端的距离）为t0，用刻度尺测得摆球的直径为d，用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g=___________。
（2）实验中某问学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是___________
A．实验室处在高山上，距离海面太高
B．单摆所用的摆球质量太大了
C．实际测出n次全振动的时间t，误作为n+1次全振动的时间
D．以线长作为摆长来计算
（3）甲同学测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2−L图像中的实线OM；乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学做出的T2−L图像为___________（选填：①②③④）
（4）丙同学将单摆固定在力传感器上，得到了拉力随时间的变化曲线，已知摆长L1=0.99m，根据图中的信息可得，重力加速度g=___________m/s2（取π2=9.87，结果保留三位有效数字）
7．（2023·全国·高三专题练习）某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
（1）请选择正确的器材( )
A．体积较小的钢球
B．体积较大的木球
C．无弹性的轻绳子
D．有弹性、质量大的绳子
（2）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图（甲）所示，摆球直径为______mm。利用刻度尺测得摆线长90.10cm，则该单摆的摆长L=__________cm。
（3）用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=60时秒表的示数如图（乙）所示，该单摆的周期是T=____s（结果保留三位有效数字）。
（4）测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2−L图像如图（丙），此图线斜率的物理意义是( )
A．gB．1gC．4π2gD．g4π2
（5）与重力加速度的真实值比较，发现第（4）问中获得的测量结果偏大，分析原因可能是( )
A．振幅偏小
B．将摆线长加直径当成了摆长
C．将摆线长当成了摆长
D．开始计时误记为n=1
（6）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度l，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表达重力加速度为g=___________。
8．在做“探究单摆周期与摆长的关系”实验中。
（1）将摆球悬挂于铁架台上，下列甲、乙丙三图中悬挂方式正确的是________，测量小球直径时游标卡尺如图丁所示，其读数为________mm。
（2）某同学测单摆周期时，在摆球经过平衡位置时开始计时并计1次，测出经过该位置N次所用时间为t，则单摆周期为T=________；
（3）受疫情影响，小明同学在家里重做该实验，他用手机代替停表，用针线作摆线，但是没有合适的摆球，就找了一块外形不规则的小石块代替摆球，如图戊所示。他用摆线长OM代替摆长代入单摆周期公式求得重力加速度，则他的测量值比真实值________（选填“偏大”或“偏小”）；
（4）小明若利用测出的多组摆长l和周期T的数值，作出T2−l图像，如图己所示，由图中数据求重力加速度的表达式是g=________，此图像的斜率与T2关于真实摆长作图的斜率________（选填“相等”或“不相等”）。
9．某学习小组“利用单摆测定重力加速度”的实验装置如图1所示，请在横线上完成相应内容。
（1）若该同学测得的重力加速度值偏大，其原因可能是________。
A．单摆的悬点未固定紧，摆动中出现松动，使摆线增长了
B．把50次摆动的时间误记为49次摆动的时间
C．开始计时，秒表过早按下
D．测摆线长时摆线拉得过紧
（2）若实验过程中没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出T2-l图像，如图2所示。
①实验得到的T2-l图像是________（选填：“a”、“b”或““c”）；
②小球的直径是________cm；
③实验测得当地重力加速度大小是________m/s2。（取三位有效数字）。
10．根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度。如图所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
（1）用分度值为毫米的直尺测得摆线长，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，读数为__________cm。
（2）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是___________。
A．摆线要选择细些的、长度不可改变、并且尽量长一些的
B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C．为了使摆的周期大一些以方便测量，拉开摆球使摆线相距平衡位置有较大的角度
D．在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔△t即为单摆周期T
（3）某同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出L一T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图丙所示。利用图中A、B两点坐标表示当地重力加速度的表达式g=___________。处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样___________（选填“影响”或“不影响”）重力加速度的计算。
11．在“用单摆测重力加速度”的实验中
（1）下面叙述正确的是________（选填选项前的字母）
A．选用长1m左右的细棉线
B．选用长50cm左右的弹性细线
C．选用直径约为2cm的实心钢球
D．选用直径约为2cm的空心木球
E．选用如图甲所示的缠绕悬挂方式
F．选用如图乙所示的夹紧悬挂方式
（2）实验中测出单摆的摆线长为L、摆球直径为d、单摆完成n次全振动所用的时间为t，则重力加速度g＝_______（用L、d、n、t表示）。
（3）实验中，测得重力加速度的值比当地重力加速度的值偏小，可能的原因是_______。
A．摆球的质量偏大
B．单摆振动的振幅偏小
C．计算摆长时没有加上摆球的半径
D．将实际振动次数n次误记成（n＋1）次
12．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时：
（1）单摆做简谐运动应满足的条件是___________。
（2）让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是_______m。为了减小误差，应从摆球经过__________（选填“最低点”或“最高点”）开始计时，若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则单摆摆动周期是________s。（结果保留两位小数）该实验还可以用__________传感器测量周期，用该传感器测周期时单摆__________（选填“需要”或“不需要”）完成多次全振动。
（3）为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点。试根据图丙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2。（结果保留两位小数）
13．（2023·全国·高三专题练习）单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球构成单摆。
（1）某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片。从摆球离开左侧最高点A时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点O时摆线被一把刻度尺挡住。对照片进行分析可知( )
A．A和B位置等高，说明摆球在运动过程中机械能守恒
B．摆球在A点的所受合力大小大于在B点的合力
C．摆球经过O点前后瞬间加速度大小不变
D．摆球从A点到O点的过程中重力做功的功率，等于摆球从O点到B点的过程中克服重力做功的功率
（2）甲乙两位同学利用如图所示的实验器材探究单摆摆长与周期的关系。
（i）关于实验操作，下列说法正确的是______；
A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能适当长一些
B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大
D．用刻度尺测量摆线的长度l，这就是单摆的摆长
E．释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期T=50t
（ii）如图所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径d=______mm；
（iii）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与T的数据，并作出L−T2图线，如图所示，图线上A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则可以得重力加速度g=______；
（iv）本实验用T2−l图像可以计算重力加速度。乙发现计算得到的重力加速度值总是偏大，可能的原因是______；
A．测摆长时，摆线拉得过紧
B．误将29次全振动记数为30次
C．将摆线长度当着摆长来计算
D．摆动的偏角偏小
E．摆球的质量偏大
F．摆球的摆动成为圆锥摆
（3）如图为一单摆的共振曲线，下列说法正确的是( )
A．该单摆的固有周期为2s
B．该单摆的摆长约为2m
C．将该单摆从地球搬到月球上，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将增大
D．若摆长增大，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将增大
14．（1）图（甲）是演示简谐运动图像的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图像。图（乙）是同一个沙漏分别在两块木板。上形成的曲线（图中的虚线表示）。
①图（乙）的P处堆积的细沙比Q处_________（选填“多”、“少”或“一样多”）；
②经测量发现图（乙）中OB=O′B′，若木板1的移动速度v1=6m/s，则木板2的移动速度v2=_______。
（2）有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2−l图像，如图甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是______________（填“A”或“B”）。
另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图像（如图乙），由图可知，两单摆摆长之比la:lb=______________。
15．（2023·全国·高三专题练习）某同学在实验室利用单摆测量当地的重力加速度。
（1）他在组装单摆时，应选择___________。
（2）在摆球自然悬垂的状态下，用毫米刻度尺量取从悬点到摆球最顶端的长度l；用游标卡尺测量摆球的直径，示数如图，则d=___________mm。
（3）有一同学由单摆周期公式直接求得g值偏小，则可能是___________。
A．测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径
B．把N次全振动误计为(N+1)次全振动
C．摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线变长
16．在“用单摆测定重力加速度”实验中，若均匀小球在垂直纸面的平面内做小幅度的摆动，悬点到小球顶点的细线长L，小球直径为d ，将激光器与传感器左右对准，分别置于摆球的平衡位置两侧，激光器连续向左发射激光束。在摆球摆动过程中，当摆球经过激光器与传感器之间时，传感器接收不到激光信号。将其信息输入计算机，经处理后画出相应图线。图甲为该装置示意图，图乙为所接收的光信号I随时间t变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，则：
（1）在实验中，若摆线的长度L可以准确测量，摆球直径忘记测量，现使用同一摆球，多次改变摆线长度L，并测得每一次相应的摆动周期T，用作图法进行数据处理，下列说法中正确的是( )
A．L与T不是直线关系，作图时不能用直线连接各点
B．L与T2是直线关系，图像与纵轴的交点绝对值表示摆球半径
C．L−T2是直线关系，其斜率与准确测量摆长L′和周期T作出L′−T2的图像斜率相同
D．L与T2是直线关系，但不能测出当地重力加速度
（2）由上述已知量（L、d、t0、Δt）可以求出当地的重力加速度大小的计算公式g=___________。
（3）关于上述实验，下列说法正确的是( )
A．为了使实验减小误差，应该让细线偏离竖直位置的夹角尽可能大些
B．实验中若增大摆球半径，时间间隔t0将变大
C．如果将摆球换成质量更小（半径不变）的塑料球，对实验不产生影响
D．如果将实验用的细线换成弹性细橡皮筋，对实验没有影响
17．某实验小组利用图甲所示装置测量当地重力加速度。轻绳一端系住直径为d的小球，另一端固定在铁架台上O点，已知O点到小球球心的距离为l，在O点正下方固定一个光电门，小球运动至最低点时光电门能够记录下小球的遮光时间。实验时，将小球拉起至轻绳和竖直方向夹角为θ，由静止释放小球，小球摆至最低点时光电门光线正好射向小球球心，小球的遮光宽度可近似为d，光电门记录小球的遮光时间为Δt，试回答以下问题：
（1）用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，则小球的直径d=________cm；
（2）小球从释放位置运动至最低点时的速度为v=________；（用题中相关物理量的字母表示）
（3）多次改变θ的数值，重复以上实验过程并测量对应的Δt，得到1Δt2随csθ变化的关系如图丙所示，该图线斜率的绝对值为k，可计算得重力加速度g=________；（用k、l和d表示）
（4）若考虑到实际实验过程中存在阻力，重力加速度g的测量值________。（选填“偏大”或“偏小”）
18．（2023·全国·高三专题练习）在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
（1）下面叙述正确的是______（选填选项前的字母）。
A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选A方式悬挂
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以50作为单摆振动的周期
A． B． C．
（2）利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为______cm。
（3）若测出单摆的周期T、摆线长l、摆球直径d，则当地的重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
（4）某同学用一个铁锁代替小球做实验。只改变摆线的长度，测量了摆线长度分别为l1和l2时单摆的周期T1和T2，则可得重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
（5）另一位同学在利用图甲获得摆长l时，每次都在小球最低点b取数，然后测量了多组实验数据做出了T2-l图像，那么他最有可能得到的图像是______。
A． B． C． D．
（6）在一个实验小组中，得到的T2-l图像是一条倾斜直线。小组成员小牛同学算出图像斜率k，利用k=4π2g，求出g；小爱同学量出直线与横轴l之间的夹角θ，然后利用tanθ=4π2g，求出g。请问两位同学的处理方案，哪一位更合理______，并说明另一位同学方案的不合理原因。______
19．（2022·江苏南通·模拟预测）某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：
（1）组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。这样做的目的有________；
A．保证摆动过程中摆长不变
B．需要改变摆长时便于调节
C．保证摆球在同一竖直平面内摆动
（2）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d=_______mm；
（3）某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的________（选填“最高点”或“最低点”）；
（4）该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如下表，请在图丙中作出T2-L关系图像_______。根据图像算出重力加速度g=_______m/s2；（结果保留3位有效数字）
（5）若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是________（写出一个）。
20．（2022·天津市新华中学一模）（1）如图甲所示为小金在进行“探究单摆摆长和周期关系”实验时，用停表记录下单摆50次全振动所用时间，由图可知该次实验中50次全振动所用时间为___________s；
（2）他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图乙所示，这样做的目的是___________（填选项前的字母）；
A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量更加准确
C．需要改变摆长时便于调节 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
（3）小金同学以摆线的长度（L）作为纵坐标，以单摆周期的平方（T2）作为横坐标，作出L-T2的图像如图丙所示，则其作出的图线是___________（选填“图线1”“图线2”或“图线3”）。若作出的图线的斜率为k，则能否根据图像得到当地的重力加速度？___________。（若不可以求出，则填“否”；若可以求出，则写出其表达式）
摆长l/m
0.5
0.6
0.8
1.1
周期T2/s2
2.0
2.4
3.2
4.4
次数
1
2
3
4
5
L/m
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
T/s
1.43
1.55
1.67
1.78
1.90
T2/s2
2.04
2.40
2.79
3.17
3.61
专题48 用单摆测量重力加速度
一．实验思路：
当摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式可得g＝4π2lT2，则测出单摆的摆长和周期即可测出重力加速度.
二、实验器材
带孔小钢球一个、不易伸长的细丝线一条(长约1 m)、毫米刻度尺一把、停表、游标卡尺、带铁夹的铁架台。
三、实验步骤
1．做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。
2．测摆长：用米尺量出摆线长l0(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l0＋eq \f(D,2)。
3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均一次全振动的时间，即单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。
4．改变摆长，重做几次实验。
四、数据处理
1．公式法
将测得的几次的周期T和摆长l代入g＝eq \f(4π2l,T2)中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即当地的重力加速度的值。
2．图像法
由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得l＝eq \f(g,4π2)T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l－T2图像，是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g的值。eq \f(g,4π2)＝k，k＝eq \f(l,T2)＝eq \f(Δl,ΔT2)。
五、注意事项
1．选择摆线时应尽量选择细、轻且不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的情况。
3．小球在同一竖直面内摆动不要形成圆锥摆，且摆角小于5°.
4．选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数．
5．小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r.
1．（2022·全国·高三课时练习）某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验时，提供了下列部分器材：
①长约1 m的细线 ②直径约为2 cm的带孔匀质小钢球 ③数字停表 ④铁架台（如图） ⑤游标卡尺 ⑥天平
回答下列问题：
（1）为了完成实验，上述器材不需要的是______（填器材前的序号）。
（2）①还需要的器材是______（填器材前的字母）。
A．打点计时器 B．米尺
C．弹簧测力计 D．光电门
②简述该同学选择的器材在本实验中的使用：______。
【答案】 ⑥ B 让悬挂小球的细线竖直静止，让米尺零刻度线对准摆线的悬点，读出悬点到小球上端的距离，即为摆线长
【解析】（1）[1]根据“用单摆测量重力加速度”的实验器材可知，不需要测小钢球的质量，故天平是不需要的。
（2）①[2]根据单摆的振动周期公式 T=2πlg
只要测出摆长和振动周期，就可算出重力加速度，用停表测出周期，而题中没有给出测摆线长的器材，故还需要的测量器材为米尺。
故选B。
②[3]米尺的使用：让悬挂小球的细线竖直静止，让米尺零刻度线对准摆线的悬点，读出悬点到小球上端的距离，即为摆线长，再加上小球的半径，就是摆长。
2．（2022·湖北省罗田县第一中学模拟预测）在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：
（1）该实验中用于测量时间的工具是________；
A． B． C．
（2）如图甲所示小明用游标卡尺测量小球的直径为_______mm；
（3）为了减小测量误差，下列操作正确的是________；
A．摆线的长度应适当长些
B．单摆的摆角应尽量大些
C．测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置
D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期
【答案】 B 14.4 AD##DA
【解析】（1）[1]该实验中用于测量时间需要准确的时间，则选用秒表，所以B正确；AC错误； 故选B。
（2）[2]游标卡尺的读数为 主尺读数＋游标尺的读数×精度值＝14mm+4×0.1mm=14.4mm
（3）[3]A．摆线的长度应适当长些，测量长度时误差减小，所以A正确；
B．单摆的摆角不能过大，需要满足摆角θ<5∘，所以B错误；
C．测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，所以C错误；
D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，所以D正确；
故选AD。
3．（2023·全国·高三专题练习）在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
（1）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为______；
A．20cm长的结实的细线、小木球、秒表、米尺、铁架台
B．100cm长的结实的细线、小钢球、秒表、米尺、铁架台
C．100cm长的结实的细线、大木球、秒表、50cm量程的刻度尺、铁架台
D．100cm长的结实的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台
（2）利用图方式测量单摆摆长l为______cm；
（3）为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最______（填“高”或“低”）点的位置时开始计时，并计数为1，摆球每次通过该位置时计数加1.当计数为51时，所用的时间为t秒，则单摆周期为______秒；
（4）某同学用一个铁锁代替小球做实验。只改变摆线的长度，测量了摆线长度分别为l1和l2时单摆的周期T1和T2，则可得重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
【答案】 B 91.60 低 t25 4π2l2−l1T22−T12
【解析】（1）[1]实验中应采用长1m左右，不能形变的细线，小球选用体积小质量大小的金属球；故选B。
（2）[2]刻度尺的最小刻度为1mm，由图读出悬点到球心之间的距离为91.60cm，则单摆摆长l为91.60cm。
（3）[3]摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测的周期误差最小，所以为了减小测量周期的误差，摆球应选经过最低点的位置时开始计时。
[4]由题分析可知，单摆全振动的次数为 N=n−12=25
周期为 T=t25
（4）[5]由 T=2πLg
可得 T1=2πL1g T2=2πL2g
解得 g=4π2l2−l1T22−T12
4．（2023·全国·高三专题练习）实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示。
（1）实验过程有两组同学分别用了图2．图3的两种不同方式悬挂小钢球，你认为___________（选填“图2”或“图3”）悬挂方式较好；
（2）在实验中，某同学用游标卡尺测量金属球的直径，结果如图4所示，读出小球直径为___________cm；
（3）实验中，某同学测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图5所示的坐标系中，图中各坐标点分别对应实验中5种不同摆长的情况。由图像可知重力加速度g = ___________m/s2；（结果保留2位有效数字）
（4）实验中，三位同学作出的T2—L图线分别如图6中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线a和c，下列分析正确的是___________（填选项前的字母）。
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
【答案】 图3 2.240 9.9 B
【解析】（1）[1]单摆稳定摆动时，要求摆长不发生变化，用图2方式悬挂时在小球摆动过程摆长会发生变化，图3方式悬挂时，绳子末端固定，避免摆长发生变化，故图3悬挂方式较好。
（2）[2]根据游标卡尺读数规则，可读出小球直径为 d = 22mm + 8 × 0.05mm = 22.40mm = 2.240cm
（3）[3]根据单的周期公式T=2πLg，变形得 T2=4π2g⋅L
可知T2—L图像斜率为 k=4π2g
由图5可求得 k=
联立可得 g = π2 = 9.9m/s2
（4）[4]A．若误将悬点到小球下端的距离记为摆长L，则应满足 T2=4π2g⋅(L−d2)
图线应与b平行且在b的下方，A错误；
B．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，则图线c的斜率偏小，图线c符合题意，B正确；
C．由（3）解析可得，当地的重力加速度的表达式为 g=4π2k
由图可知，图线c对应的斜率k偏小，则图线c对应的g值大于图线b对应的g值，C错误。
故选B。
5．（2023·全国·高三专题练习）一位同学做“用单摆测定重力加速度”的实验，在把摆球悬挂好后，以下步骤正确的是___________。
A．悬挂好单摆后，用米尺量出摆线的长度，得摆长l
B．把摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下停表开始计时，同时把这次通过最低点记为第1次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按停表停止计时，读出这段时间t，算出单摆的周期T=t60
C．把所测得的l和T代入单摆周期公式算出g，并写入实验报告
D．处理数据时，可以画T2−l图像，也可以画l−T2图像
（2）下表是用单摆测定重力加速度的实验中获得的有关数据：
①利用上述数据，在下图的坐标系中描绘出l-T2图像。___________
②利用图像，取T2=4.2s2时，l=___________m，重力加速度g=___________m/s2（结果保留3位有效数字）
【答案】 D 1.05 9.86
【解析】（1）[1] A．用游标卡尺测出摆球直径D，摆长为L+D2，故A错误；
B．按下停表开始计时，并且把这次过最低点记为第1次，在时间t内，单摆经过了59个半周期，周期应为T=2t60−1
故B错误；
C．g应测量多次，然后取g的平均值作为实验结果，故C错误；
D．处理数据时，可以画T2−l图像也可以画出l−T2图像，但要注意两种图像的斜率不同，故D正确。
故选D。
（2）①[2]由 T=2πlg
得 l=g4π2T2
所以l-T2图像是过原点且斜率为g4π2的一条直线，图像如图所示。
②[3]T2=4.2s2时，从图中可读出其摆长 l=1.05m
[4]将T2和l代入l=g4π2T2，得 g=9.86m/s2
6．在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
（1）若完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得的摆线长（悬点到摆球上端的距离）为t0，用刻度尺测得摆球的直径为d，用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g=___________。
（2）实验中某问学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是___________
A．实验室处在高山上，距离海面太高
B．单摆所用的摆球质量太大了
C．实际测出n次全振动的时间t，误作为n+1次全振动的时间
D．以线长作为摆长来计算
（3）甲同学测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2−L图像中的实线OM；乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学做出的T2−L图像为___________（选填：①②③④）
（4）丙同学将单摆固定在力传感器上，得到了拉力随时间的变化曲线，已知摆长L1=0.99m，根据图中的信息可得，重力加速度g=___________m/s2（取π2=9.87，结果保留三位有效数字）
【答案】 4π2n2(L0+d2)t2 C ② 9.77
【解析】（1）[1]根据 T=2πLg
可得 g=4π2LT2=4π2(L0+d2)(tn)2=4π2n2(L0+d2)t2
（2）[2]测得的重力加速度偏大，根据 g=4π2LT2
A.实验室处在高山上，距离海面太高，则重力加速度会偏小，A错误；
B.单摆所用的摆球质量大小与周期无关，B错误；
C.实际测出n次全振动的时间t，误作为（n+1）次全振动的时间，则周期测量值偏小，计算出的重力加速度偏大，C正确；
D.以摆线长作为摆长来计算，则摆长计算偏小，测得的重力加速度偏小，D错误； 故选C。
（3）[3]根据 T=2πLg 可得 T2=4π2gL 可知 k=4π2g 解得 g=4π2k
根据单摆的周期公式 T=2πLg 得 T2=4π2gL
实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，摆长L=0时，纵轴截距不为零，加上摆球半径后图像应该到正确位置，即M位置，由于重力加速度不变，则图线的斜率不变，故图像应该为②。
（4）[4]由图像可知，单摆的周期为T=2s，则根据 T=2πLg
可得 g=4π2LT2=4×9.87×0.9922m/s2=9.77m/s2
7．（2023·全国·高三专题练习）某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
（1）请选择正确的器材( )
A．体积较小的钢球
B．体积较大的木球
C．无弹性的轻绳子
D．有弹性、质量大的绳子
（2）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图（甲）所示，摆球直径为______mm。利用刻度尺测得摆线长90.10cm，则该单摆的摆长L=__________cm。
（3）用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=60时秒表的示数如图（乙）所示，该单摆的周期是T=____s（结果保留三位有效数字）。
（4）测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2−L图像如图（丙），此图线斜率的物理意义是( )
A．gB．1gC．4π2gD．g4π2
（5）与重力加速度的真实值比较，发现第（4）问中获得的测量结果偏大，分析原因可能是( )
A．振幅偏小
B．将摆线长加直径当成了摆长
C．将摆线长当成了摆长
D．开始计时误记为n=1
（6）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度l，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表达重力加速度为g=___________。
【答案】AC##CA 20.6 91.13 2.25 C BD##DB 4π2lT12−T22
【解析】（1）[1]AB．为减小实验误差，应选择密度大而体积小的球作为摆球，B错误，A正确；
CD．实验过程单摆摆长应保持不变，摆线应选用无弹性的轻绳子，D错误，C正确。 故选AC。
（2）[2]由图甲可知，游标卡尺的游标为10分度，且第6个小格与主尺对齐，则摆球直径为 d=20mm+6×0.1mm=20.6mm
[3]该单摆的摆长为 L=l+d2=91.13cm
（3）[4]由图乙可知，秒表的读数为 t=67.35s
根据题意可知，共经历了30个周期，则单摆的周期是 T=t30≈2.25s
（4）[5]由单摆的周期公式T=2πLg可得 T2=4π2gL
则T2−L图像的斜率的物理意义是4π2g。 故选C。
（5）[6]由（4）分析可得，重力加速度为 g=4π2LT2
A．重力加速度的测量值与振幅无关，振幅偏小，不影响测量结果，A错误；
B．将摆线长加直径当成了摆长，则L偏大，g值偏大，B正确；
C．将摆线长当成了摆长，则L偏小，g值偏小，C错误；
D．开始计时误记为n=1，则周期偏小，g值偏大，D正确。
故选BD。
（6）[7]根据题意，由单摆的周期公式T=2πLg可得 T1=2πLg T2=2πL−lg
联立解得 g=4π2lT12−T22
8．在做“探究单摆周期与摆长的关系”实验中。
（1）将摆球悬挂于铁架台上，下列甲、乙丙三图中悬挂方式正确的是________，测量小球直径时游标卡尺如图丁所示，其读数为________mm。
（2）某同学测单摆周期时，在摆球经过平衡位置时开始计时并计1次，测出经过该位置N次所用时间为t，则单摆周期为T=________；
（3）受疫情影响，小明同学在家里重做该实验，他用手机代替停表，用针线作摆线，但是没有合适的摆球，就找了一块外形不规则的小石块代替摆球，如图戊所示。他用摆线长OM代替摆长代入单摆周期公式求得重力加速度，则他的测量值比真实值________（选填“偏大”或“偏小”）；
（4）小明若利用测出的多组摆长l和周期T的数值，作出T2−l图像，如图己所示，由图中数据求重力加速度的表达式是g=________，此图像的斜率与T2关于真实摆长作图的斜率________（选填“相等”或“不相等”）。
【答案】 丙 20.6 2tN−1 偏小 4π2cb−a 相等
【解析】（1）[1]悬点要固定，故丙正确，甲乙错误。故选丙。
[2] 游标卡尺读数为 20mm+0.1×6mm=20.6mm
（2）[3]N次经过平衡位置时的全振动次数为N−12，所以单摆周期为 T=tN−12=2tN−1
（3）[4] 用摆线长OM代替摆长则摆长偏小，由T=2πlg 得 g=4π2lT2 知测量值偏小。
（4）[5]由T=2πlg可得 T2=4π2lg
解得T2−l图可知 4π2g=k=b−ac
解得 g=4π2cb−a
[6]实际摆长为l+Δd，则 T=2πl+Δdg
解得 T2=4π2(l+Δd)g=4π2l真g
可知T2关于真实摆长作图的斜率仍为4π2g，故相等。
9．某学习小组“利用单摆测定重力加速度”的实验装置如图1所示，请在横线上完成相应内容。
（1）若该同学测得的重力加速度值偏大，其原因可能是________。
A．单摆的悬点未固定紧，摆动中出现松动，使摆线增长了
B．把50次摆动的时间误记为49次摆动的时间
C．开始计时，秒表过早按下
D．测摆线长时摆线拉得过紧
（2）若实验过程中没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出T2-l图像，如图2所示。
①实验得到的T2-l图像是________（选填：“a”、“b”或““c”）；
②小球的直径是________cm；
③实验测得当地重力加速度大小是________m/s2。（取三位有效数字）。
【答案】 D c 1.0 9.86
【解析】（1）[1]根据T=2πLg可得 g=4π2LT2
A．单摆的悬点未固定紧，摆动中出现松动，使摆线增长了，则摆长的测量值偏小，测得的重力加速度偏小，故A错误；
B．把50次摆动的时间误记为49次摆动的时间，则测得的周期偏大，重力加速度测量值偏小，故B错误；
C．开始计时，秒表过早按下，则测得的周期偏大，重力加速度测量值偏小，故C错误；
D．测摆线长时摆线拉得过紧，则摆长的测量值偏大，重力加速度测量值偏大，故D正确。
故选D。
（2）[2]由于无法测小球的直径d，则实际摆长为 L=l−d2
因此 T=2πl−d2g
解得 T2=4π2gl−2π2dg
故实验得到的T2-l图像是c；
[3][4]由图横轴截距为0.5cm，即 4π2g×0.005−2π2dg=0
解得 d=2×0.005m=1.0cm
纵轴截距为−2cm，即 −2π2dg=−2cm
解得 g≈9.86m/s2
10．根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度。如图所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
（1）用分度值为毫米的直尺测得摆线长，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，读数为__________cm。
（2）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是___________。
A．摆线要选择细些的、长度不可改变、并且尽量长一些的
B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C．为了使摆的周期大一些以方便测量，拉开摆球使摆线相距平衡位置有较大的角度
D．在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔△t即为单摆周期T
（3）某同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出L一T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图丙所示。利用图中A、B两点坐标表示当地重力加速度的表达式g=___________。处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样___________（选填“影响”或“不影响”）重力加速度的计算。
【答案】 2.050 AB##BA g=4π2(LB−LA)TB2−TA2 不影响
【解析】（1）[1]游标卡尺测得摆球直径读数为2cm+0.05mm×10=2.050cm。
（2）[2]A．摆线要选择细些的、长度不可改变、并且尽量长一些的，选项A正确；
B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的，以减小阻力的影响，选项B正确；
C．为了使摆球做简谐振动，则摆角不应该大于5°，选项C错误；
D．当摆球在最低点时开始计时，让摆球振动至少30次全振动，用振动的总时间t除以振动次数即为单摆周期T，选项D错误。
故选AB。
（3）[3]根据 T=2πLg
解得 L=g4π2T2
由图像可知 g4π2=LB−LATB2−TA2
解得 g=4π2(LB−LA)TB2−TA2
[4]在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，则图线的斜率不变，这样不影响重力加速度的测量；
11．在“用单摆测重力加速度”的实验中
（1）下面叙述正确的是________（选填选项前的字母）
A．选用长1m左右的细棉线
B．选用长50cm左右的弹性细线
C．选用直径约为2cm的实心钢球
D．选用直径约为2cm的空心木球
E．选用如图甲所示的缠绕悬挂方式
F．选用如图乙所示的夹紧悬挂方式
（2）实验中测出单摆的摆线长为L、摆球直径为d、单摆完成n次全振动所用的时间为t，则重力加速度g＝_______（用L、d、n、t表示）。
（3）实验中，测得重力加速度的值比当地重力加速度的值偏小，可能的原因是_______。
A．摆球的质量偏大
B．单摆振动的振幅偏小
C．计算摆长时没有加上摆球的半径
D．将实际振动次数n次误记成（n＋1）次
【答案】 ACF 2n2π2(2L+d)t2 C
【解析】（1）[1]由单摆周期公式 T=2πlg
可得 g=4π2lT2
即摆长越长，单摆的周期越大，则测量摆长、周期时产生的相对误差就越小，故摆线要选择较长的、没有弹性的棉线；摆球的质量越大，空气阻力的影响就越小，摆动就越稳定，有利于测量单摆的周期，顾选择直径约为2cm的实心钢球；图甲所示的缠绕悬挂方式在摆动时会导致摆长变化，产生系统误差，所以要选择如图乙所示的夹紧悬挂方式。
故选ACF。
（2）[2]悬挂点到摆心的距离为 l=L+d2
单摆周期为 T=tn
则重力加速度为 g=4π2(L+d2)(tn)2=2n2π2(2L+d)t2
（3）[3]根据 g=2n2π2(2L+d)t2
AB．摆球的质量、单摆振动的振幅，对计算结果没有影响，AB不符合题意；
C．如果计算摆长时没有加上摆球的半径，则会导致计算出的g偏小，C符合题意；
D．如果将实际振动次数n次误记成（n＋1）次，会导致计算出的g偏大，D不符合题意。
故选C。
12．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时：
（1）单摆做简谐运动应满足的条件是___________。
（2）让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是_______m。为了减小误差，应从摆球经过__________（选填“最低点”或“最高点”）开始计时，若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则单摆摆动周期是________s。（结果保留两位小数）该实验还可以用__________传感器测量周期，用该传感器测周期时单摆__________（选填“需要”或“不需要”）完成多次全振动。
（3）为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点。试根据图丙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2。（结果保留两位小数）
【答案】 单摆的最大偏角θ≤5° 0.8750 最低点 1.88 光电门 不需要 9.80~9.90
【解析】（1）[1]单摆做简谐运动应满足的条件是：单摆的最大偏角θ≤5°。
（2）[2]如图甲，单摆摆长为 l=88.50−88.50−86.502cm=87.50cm=0.8750m
[3]摆球经过最低点速度最大，为了减小误差，应从摆球经过最低点开始计时。
[4]如图乙40次全振动的时间为 t=60+15.2s=75.2s
故单摆摆动周期是 T=t40=1.88s
[5][6]该实验还可以用光电门传感器测量周期，即当光电门被挡住时，计时仪开始计时；当光电门被再次挡光时，计时终止。计时仪显示的是两次挡光之间的时间间隔。故用该传感器测周期时单摆不需要完成多次全振动。
（3）[7]由T=2πlg可得 T2=4π2g⋅l
所以图像斜率为 k=4π2g≈4.0−2.41.0−0.6=4 解得 g≈9.85m/s2
13．（2023·全国·高三专题练习）单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球构成单摆。
（1）某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片。从摆球离开左侧最高点A时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点O时摆线被一把刻度尺挡住。对照片进行分析可知( )
A．A和B位置等高，说明摆球在运动过程中机械能守恒
B．摆球在A点的所受合力大小大于在B点的合力
C．摆球经过O点前后瞬间加速度大小不变
D．摆球从A点到O点的过程中重力做功的功率，等于摆球从O点到B点的过程中克服重力做功的功率
（2）甲乙两位同学利用如图所示的实验器材探究单摆摆长与周期的关系。
（i）关于实验操作，下列说法正确的是______；
A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能适当长一些
B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大
D．用刻度尺测量摆线的长度l，这就是单摆的摆长
E．释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期T=50t
（ii）如图所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径d=______mm；
（iii）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与T的数据，并作出L−T2图线，如图所示，图线上A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则可以得重力加速度g=______；
（iv）本实验用T2−l图像可以计算重力加速度。乙发现计算得到的重力加速度值总是偏大，可能的原因是______；
A．测摆长时，摆线拉得过紧
B．误将29次全振动记数为30次
C．将摆线长度当着摆长来计算
D．摆动的偏角偏小
E．摆球的质量偏大
F．摆球的摆动成为圆锥摆
（3）如图为一单摆的共振曲线，下列说法正确的是( )
A．该单摆的固有周期为2s
B．该单摆的摆长约为2m
C．将该单摆从地球搬到月球上，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将增大
D．若摆长增大，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将增大
【答案】 A AB##BA 18.5 4π2⋅y2−y1x2−x1 ABF A
【解析】（1）[1]A．A和B位置等高，机械能相等，说明摆球在运动过程中机械能守恒，故A正确；
B．摆球在A点的速度为零，向心力为零，即沿绳子方向的合力为零，摆球的合力等于重力沿圆弧切线方向的分力，由于在A点绳子偏离竖直方向的夹角小于在B点偏离竖直方向的夹角，可知，在A点重力沿圆弧切线方向的分力小于在B点重力沿圆弧切线方向的分力，故摆球在A点的所受合力大小小于在B点的合力，故B错误；
C．摆球经过O点前后瞬间速度大小不变，半径变化，根据 an=v2r
可知摆球经过O点前后瞬间加速度大小是变化的，故C错误；
D．摆球从A点到O点与从O点到B点的过程中重力做功相同，摆球从O点到B点运动过程中摆长变短，时间变小，重力做功功率变大，故D错误。
故选A。
（2）[2]A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些，故A正确；
B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的，以减小振动过程中的阻力影响，故B正确；
C．单摆摆动时摆角不超过5°，故C错误；
D．用刻度尺测量摆线的长度l，加小球的半径就是单摆的摆长，故D错误；
E．释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期 T=t50
故E错误。
故选AB。
[3]摆球直径为 d=18mm+5×0.1mm=18.5mm
[4]由周期公式T=2πLg，可得 L=gT24π2
则 g4π2=y2−y1x2−x1
可得 g=4π2⋅y2−y1x2−x1
[5]根据单摆周期公式 T=2πLg
得 g=4π2LT2
A．测摆长时，摆线拉得过紧，使摆长测量值偏大，重力加速度测量值偏大，A正确；
B．误将29次全振动记数为30次，使得周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，B正确；
C．将摆线长度当着摆长来计算，使摆长测量值偏小，重力加速度测量值偏小，C错误；
D．摆动的偏角偏小，不影响重力加速度测量值，D错误；
E．摆球的质量偏大，不影响重力加速度测量值，E错误；
F．摆球的摆动成为圆锥摆，设摆线与竖直方向的夹角为θ，有 mgtanθ=m4π2T2Lsinθ
解得 T′=2πL⋅csθg<2πLg
可知周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，F正确。
故选ABF。
（3）[6]A．根据图像可知，0.5Hz即为此单摆的固有频率，所以固有周期为 T=1f=2s
故A正确；
B．根据单摆固有周期公式可知，则有 T=2πLg
可得 L=gT24π2
解得摆长约为1m，故B错误；
C．根据固有周期公式可知，从地球搬到月球上，重力加速度减小，固有周期增加，固有频率降低，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将减小，故C错误；
D．根据固有周期公式可知，若摆长增加，固有周期增加，固有频率降低，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将减小，故D错误。
故选A。
14．（1）图（甲）是演示简谐运动图像的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图像。图（乙）是同一个沙漏分别在两块木板。上形成的曲线（图中的虚线表示）。
①图（乙）的P处堆积的细沙比Q处_________（选填“多”、“少”或“一样多”）；
②经测量发现图（乙）中OB=O′B′，若木板1的移动速度v1=6m/s，则木板2的移动速度v2=_______。
（2）有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2−l图像，如图甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是______________（填“A”或“B”）。
另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图像（如图乙），由图可知，两单摆摆长之比la:lb=______________。
【答案】 多 8m/s B 49
【解析】（1）①[1]在图（乙）中P处，沙摆的速度最小，Q处沙摆的速度最大，所以P处堆积的细沙比Q处多；
②[2]依题意，设该单摆的周期为T，木板长度为L。由图（乙）可知木板1在运动OB段，所用时间为 t1=2T
木板2在运动O′B′段，所用时间为 t2=32T
可得木板1、2拉动的速度大小为 v1=Lt1 v2=Lt2
联立求得 v2=43v1=8m/s
（2）[3][4]北京大学处于北方，重力加速度g值较大，由单摆周期公式可得 T=2πlg⇒T2=4π2gl
T2−l图像直线的斜率表示4π2g，由图像知B的斜率小，重力加速度g值大，说明直线B为北大测得的，根据图乙可看出周期之比为 TaTb=432=23
则摆长之比为 lalb=(TaTb)2=49
15．（2023·全国·高三专题练习）某同学在实验室利用单摆测量当地的重力加速度。
（1）他在组装单摆时，应选择___________。
（2）在摆球自然悬垂的状态下，用毫米刻度尺量取从悬点到摆球最顶端的长度l；用游标卡尺测量摆球的直径，示数如图，则d=___________mm。
（3）有一同学由单摆周期公式直接求得g值偏小，则可能是___________。
A．测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径
B．把N次全振动误计为(N+1)次全振动
C．摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线变长
【答案】 D 18.8 AC##CA
【解析】（1）[1]摆线选择长约1m的细绳，摆球选择体积小质量大的球。故选D。
（2）[2]10分度游标卡尺的精确值为0.1mm，摆球的直径为
d=18mm+8×0.1mm=18.8mm。
（3）[3]根据 T=2πlg
解得 g=4π2lT2
A．测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径，使得摆长测量值偏小，则g值偏小，A正确；
B．据T=tN，N次全振动误计为(N+1)次全振动，则测得的周期变小，则g值偏大，B错误；
C．摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线变长，即摆长测量值偏小，则g值偏小，C正确。
故选AC。
16．在“用单摆测定重力加速度”实验中，若均匀小球在垂直纸面的平面内做小幅度的摆动，悬点到小球顶点的细线长L，小球直径为d ，将激光器与传感器左右对准，分别置于摆球的平衡位置两侧，激光器连续向左发射激光束。在摆球摆动过程中，当摆球经过激光器与传感器之间时，传感器接收不到激光信号。将其信息输入计算机，经处理后画出相应图线。图甲为该装置示意图，图乙为所接收的光信号I随时间t变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，则：
（1）在实验中，若摆线的长度L可以准确测量，摆球直径忘记测量，现使用同一摆球，多次改变摆线长度L，并测得每一次相应的摆动周期T，用作图法进行数据处理，下列说法中正确的是( )
A．L与T不是直线关系，作图时不能用直线连接各点
B．L与T2是直线关系，图像与纵轴的交点绝对值表示摆球半径
C．L−T2是直线关系，其斜率与准确测量摆长L′和周期T作出L′−T2的图像斜率相同
D．L与T2是直线关系，但不能测出当地重力加速度
（2）由上述已知量（L、d、t0、Δt）可以求出当地的重力加速度大小的计算公式g=___________。
（3）关于上述实验，下列说法正确的是( )
A．为了使实验减小误差，应该让细线偏离竖直位置的夹角尽可能大些
B．实验中若增大摆球半径，时间间隔t0将变大
C．如果将摆球换成质量更小（半径不变）的塑料球，对实验不产生影响
D．如果将实验用的细线换成弹性细橡皮筋，对实验没有影响
【答案】 ABC π2（2L+d）2t02 B
【解析】（1）[1]由单摆周期公式 T=2πlg=2πL+d2g
整理得 L=g4π2T2−d2
可见L与T不是直线关系，作图时不能用直线连接各点；L与T2是直线关系，图像与纵轴的交点绝对值表示摆球半径，其斜率 k=g4π2
与准确测量摆长L′和周期T作出L′−T2的图像斜率相同，并可求出当地重力加速度。 故选ABC；
（2）[2]在摆球摆动过程中，当摆球经过激光器与传感器之间时，传感器接收不到激光信号,结合图乙可知
T=2t0
又 T=2πL+d2g
可得当地的重力加速度大小的计算公式为 g=π2（2L+d）2t02
（3）[3]A．在摆角较小时，摆球的运动可以看作简谐运动，所以摆线偏离竖直方向的角度应小于5°，选项A错误；
B．实验中若增大摆球半径，则摆长变大，根据T=2πlg可知周期将变大，时间间隔t0将变大，选项B正确；
C．如果将摆球换成质量更小（半径不变）的塑料球，阻力变大，对实验会产生影响，选项C错误；
D．如果将实验用的细线换成弹性细橡皮筋，摆长会发生变化，会对实验有影响，选项D错误。
故选B。
17．某实验小组利用图甲所示装置测量当地重力加速度。轻绳一端系住直径为d的小球，另一端固定在铁架台上O点，已知O点到小球球心的距离为l，在O点正下方固定一个光电门，小球运动至最低点时光电门能够记录下小球的遮光时间。实验时，将小球拉起至轻绳和竖直方向夹角为θ，由静止释放小球，小球摆至最低点时光电门光线正好射向小球球心，小球的遮光宽度可近似为d，光电门记录小球的遮光时间为Δt，试回答以下问题：
（1）用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，则小球的直径d=________cm；
（2）小球从释放位置运动至最低点时的速度为v=________；（用题中相关物理量的字母表示）
（3）多次改变θ的数值，重复以上实验过程并测量对应的Δt，得到1Δt2随csθ变化的关系如图丙所示，该图线斜率的绝对值为k，可计算得重力加速度g=________；（用k、l和d表示）
（4）若考虑到实际实验过程中存在阻力，重力加速度g的测量值________。（选填“偏大”或“偏小”）
【答案】1.225 dΔt kd22l 偏大
【解析】（1）[1]小球的直径 d=1.2cm+5×0.05mm=1.225cm
（2）[2]小球从释放位置运动至最低点时的速度为 v=dΔt
（3）[3]由动能定理 mgl(1−csθ)=12mv2
可得 1Δt2=2gld2−2gld2csθ
图丙中图线斜率的绝对值为k，则可得 k=2gld2
可得 g=kd22l
（4）[4]考虑空气阻力作用，小球运动时克服空气阻力做功W，可得 1Δt2=2mgl−2Wmd2−2gld2csθ
可得1Δt2随csθ变化的关系如图中1所示
可知重力加速度g的测量值比真实值偏大。
18．（2023·全国·高三专题练习）在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
（1）下面叙述正确的是______（选填选项前的字母）。
A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选A方式悬挂
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以50作为单摆振动的周期
A． B． C．
（2）利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为______cm。
（3）若测出单摆的周期T、摆线长l、摆球直径d，则当地的重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
（4）某同学用一个铁锁代替小球做实验。只改变摆线的长度，测量了摆线长度分别为l1和l2时单摆的周期T1和T2，则可得重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
（5）另一位同学在利用图甲获得摆长l时，每次都在小球最低点b取数，然后测量了多组实验数据做出了T2-l图像，那么他最有可能得到的图像是______。
A． B． C． D．
（6）在一个实验小组中，得到的T2-l图像是一条倾斜直线。小组成员小牛同学算出图像斜率k，利用k=4π2g，求出g；小爱同学量出直线与横轴l之间的夹角θ，然后利用tanθ=4π2g，求出g。请问两位同学的处理方案，哪一位更合理______，并说明另一位同学方案的不合理原因。______
【答案】AB##BA 91.60（91.50-91.70） 2π22l+dT2 4π2l2−l1T22−T12 C 小牛 小爱同学用k=tanθ 求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小爱同学方案不合理。
【解析】（1）A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线，A正确；
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球，B正确；
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，为了使摆长不变，选C方式悬挂，C错误；
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，相邻两次经过平衡位置的时间是半个周期，正确的方法是用此时间除以25作为单摆振动的周期，D错误。
故选AB。
利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为91.60cm。
（3） 根据单摆的周期公式 T=2πl+d2g
解得 g=2π22l+dT2
（4） 设摆线下端到锁的重心的距离为x，根据单摆的周期公式得 T1=2πl1+xg T2=2πl2+xg
解得 g=4π2l2−l1T22−T12
（5）设球半径为r，根据单摆的周期公式得 T=2πl−rg
解得 T2=4π2gl−4π2rg
他最有可能得到的图像是C。
（6）小牛同学的方案更合理；
小爱同学用k=tanθ 求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小爱同学方案不合理。
19．（2022·江苏南通·模拟预测）某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：
（1）组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。这样做的目的有________；
A．保证摆动过程中摆长不变
B．需要改变摆长时便于调节
C．保证摆球在同一竖直平面内摆动
（2）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d=_______mm；
（3）某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的________（选填“最高点”或“最低点”）；
（4）该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如下表，请在图丙中作出T2-L关系图像_______。根据图像算出重力加速度g=_______m/s2；（结果保留3位有效数字）
（5）若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是________（写出一个）。
【答案】 AB##BA 18.9 最低点 9.86（9.83～9.89范围内均可） 见解析
【解析】（1） 用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变。上述做法并不能保证摆球在同一竖直平面内摆动。
故选AB。
由题图乙可知摆球直径为 d=18mm+9×0.1mm=18.9mm
摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大。摆球在最低点附近速度较大，由位置判断的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时开始计时。
作出T2-L关系图像如图所示。
[5]根据单摆周期公式T=2πLg变形可得 T2=4π2Lg
所以图像的斜率为 k=4π2g=
解得 g≈9.86m/s2
（5）①本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n次全振动的总时间t，从而求得周期，若计算时不慎将n的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g的测量值偏大。
②实验时，摆球有时不一定严格在竖直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为θ的情况下，小球向心力为F=mgtanθ=m4π2T2Lsinθ
解得 T=2πLcsθg
由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g的测量值偏大。
③实验过程中，铁夹处摆线出现了松动，使摆长的真实值比测量值偏大，从而造成g的测量值偏大。
20．（2022·天津市新华中学一模）（1）如图甲所示为小金在进行“探究单摆摆长和周期关系”实验时，用停表记录下单摆50次全振动所用时间，由图可知该次实验中50次全振动所用时间为___________s；
（2）他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图乙所示，这样做的目的是___________（填选项前的字母）；
A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量更加准确
C．需要改变摆长时便于调节 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
（3）小金同学以摆线的长度（L）作为纵坐标，以单摆周期的平方（T2）作为横坐标，作出L-T2的图像如图丙所示，则其作出的图线是___________（选填“图线1”“图线2”或“图线3”）。若作出的图线的斜率为k，则能否根据图像得到当地的重力加速度？___________。（若不可以求出，则填“否”；若可以求出，则写出其表达式）
【答案】 99.7 AC##CA 图线2 4π2k
【解析】（1） 由图甲可知，小表盘分度值为30s，大表盘分度值为0.1s，秒表指针所指位置即为该时刻对应位置，不需要估读，此时小表盘指针指在1.5和2之间，读数记为90s，则大表盘读数应为9.7s，所以该次实验中50次全振动所用时间为99.7s。
用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变。上述做法并不能使周期测量更加准确，也无法保证摆球在同一竖直平面内摆动。 故选AC。
（3）设摆球的半径为r，根据单摆周期公式可得 T=2πL+rg
整理得 L=gT24π2−r
由上式可知小金同学作出的图线应具有横截距，即图线2。
图线的斜率为 k=g4π2
解得 g=4π2k
摆长l/m
0.5
0.6
0.8
1.1
周期T2/s2
2.0
2.4
3.2
4.4
次数
1
2
3
4
5
L/m
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
T/s
1.43
1.55
1.67
1.78
1.90
T2/s2
2.04
2.40
2.79
3.17
3.61