高考物理一轮复习5,1万有引力定律-(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习5,1万有引力定律-(原卷版+解析)，共49页。

考向一 开普勒定律
考向二 万有引力定律
考向三 万有引力与重力的关系
考向四 天体质量和密度的计算

【典例1】(多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】CD
【解析】在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于eq \f(T0,4)，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。
【典例2】太阳系中的八大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列四幅图是用来描述这些行星运动所遵循的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lgeq \f(T,T0)，纵轴是lgeq \f(R,R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列四幅图中正确的是( )
【答案】B
【解析】根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可得
R3＝kT2，R03＝kT02
两式相除后取对数，得lgeq \f(T2,T02)＝lgeq \f(R3,R03)
整理得2lgeq \f(T,T0)＝3lgeq \f(R,R0)
结合数学知识可知，选项B正确。
练习1、某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
练习2、(多选)(2022湖北荆门统考)如图所示，某次发射远地圆轨道卫星时，先让卫星进入一个近地的圆轨道Ⅰ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R1、周期为T1；然后在经过P点时点火加速，进入椭圆转移轨道Ⅱ，在此轨道运行的卫星的周期为T2；到达远地点Q时再次点火加速，进入远地圆轨道Ⅲ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R3、周期为T3(轨道Ⅱ的近地点为Ⅰ上的P点，远地点为轨道Ⅲ上的Q点)．已知R3＝2R1，则下列关系式正确的是( )
A．T3＝2eq \r(2)T1 B．T2＝eq \f(3\r(6),8)T1
C．T2＝eq \f(3\r(3),8)T3 D．T3＝eq \f(3,4)eq \r(6)T1
考向二 万有引力定律
1.牛顿得出万有引力定律的推导
(1)行星环绕太阳运动理想化质点围绕太阳做匀速圆周运动
太阳对行星的引力是行星做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律 又因为开普勒第三定律 太阳对行星的引力是跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。
(2)由牛顿第三定律
行星对太阳的引力跟太阳的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。即
行星与太阳间的引力大小跟这两者的质量的乘积成正比，而与它们距离 的平方成反比。即
将其写成等式，则为
(3)月地检验。牛顿在研究了太阳与行星间的引力关系后认为，太阳、行星都不是特殊天体，因此他认为这一规律也应适用于其它天体间，其它物体间。
2． 万有引力定律
(1)公式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫做引力常量。
(2)适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。
【典例3】如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)( )
A．0.01 eq \f(GM2,R2) B．0.02 eq \f(GM2,R2)
C．0.05eq \f(GM2,R2) D．0.04eq \f(GM2,R2)
【答案】D
【解析】由题意知，所挖出小球的半径为eq \f(R,2)，质量为eq \f(M,8)，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝Geq \f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋\f(R,2)))2)＝eq \f(GM2,18R2)，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝Geq \f(\f(M,8)×\f(M,8),2R2)＝eq \f(GM2,256R2)，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝Geq \f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq \f(GM2,64R2)，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04eq \f(GM2,R2)，D选项正确。
【典例4】(2022·贵州省贵阳市高三下2月适应性考试)(多选)2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”携带1731克月壤成功回家，标志着我国第一次地外天体采样返回任务顺利完成。假设人类不断把月壤运回地球。经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，月地中心间的距离保持不变，与之前相比( )
A．月球与地球之间的万有引力变大
B．月球绕地球运动的周期变小
C．月球绕地球运动的向心加速度变大
D．月球表面的重力加速度变大
【答案】BC
【解析】设地球质量为M，月球质量为m，地球与月球之间的距离为r，根据万有引力定律有F＝G eq \f(mM,r2)，其中m练习3、（2020年全国普通高等学校招生考试新课标Ⅰ）.火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 2.0D. 2.5
练习4、（2019年高考全国卷Ⅱ试题）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描F随h变化关系的图像是
A. B. C. D.
考向三 万有引力与重力的关系
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg.
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2).所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2).
【典例1】近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段．已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为( )
A.eq \f(R－d,R＋h) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R＋h)))2
C.eq \f(R3,R＋h2R－d) D.eq \f(R－dR＋h,R2)
【答案】C
【解析】设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝eq \f(GM,R2)，由于地球的质量M＝eq \f(4,3)πR3ρ，所以重力加速度的表达式可写成g＝eq \f(4,3)πGρR.根据题意，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，故“蛟龙号”在海里的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)，则eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R).对卫星，根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R＋h2)＝ma，加速度a＝eq \f(GM,R＋h2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,R＋h2)，联立得eq \f(a,g′)＝eq \f(R3,R＋h2R－d)，C正确．
【典例6】一物体在地球表面重16N，地面上重力加速度为10m/s2.它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(忽略地球自转)( )
A．2倍B．3倍C．4倍D．一半
【答案】 B
【解析】设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上物体的视重等于物体受到的支持力FN，物体受到的重力为mg′，g′是h高处的重力加速度，由牛顿第二定律得
FN－mg′＝ma①
其中m＝eq \f(G,g)，代入①式得
mg′＝FN－eq \f(G,g)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(16,10)×5))N＝1N
在距离地面为h处，物体的重力为1N，忽略自转，物体的重力等于万有引力．
在地球表面：mg＝Geq \f(Mm,R\\al(2,地))②
在距地面h高处，mg′＝Geq \f(Mm,R地＋h2)③
②与③相除可得eq \f(mg,mg′)＝eq \f(R地＋h2,R\\al(2,地))，
所以R地＋h＝eq \r(\f(mg,mg′))R地＝eq \r(\f(16,1))R地＝4R地
所以h＝3R地，故选B.
练习5．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图1所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
练习6、假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A． eq \f(3π（g0－g）,GT2g0) B． eq \f(3πg0,GT2（g0－g）)
C． eq \f(3π,GT2) D． eq \f(3πg0,GT2g)
考向四 天体质量和密度的计算
【典例7】．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A.eq \f(3πg0－g,GT2g0) B．eq \f(3πg0,GT2g0－g)
C.eq \f(3π,GT2) D．eq \f(3πg0,GT2g)
【答案】B
【解析】物体在地球的两极时，有mg0＝Geq \f(Mm,R2)，物体在赤道上时，有mg＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R＝Geq \f(Mm,R2)，其中M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，解得地球的密度ρ＝eq \f(3πg0,GT2g0－g)。故B项正确，A、C、D三项错误。
【典例8】（多选）（2019年高考全国卷Ⅰ试题）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则
A. M与N的密度相等
B. Q的质量是P的3倍
C. Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D. Q下落过程中弹簧最大压缩量是P的4倍
【答案】AC
【解析】A、由a-x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：，变形式为：，该图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：，即该星球的质量。又因为：，联立得。故两星球的密度之比为：，故A正确；
B、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，，即：；结合a-x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：，故物体P和物体Q的质量之比为：，故B错误；
C、物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据，结合a-x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足，物体Q的最大速度满足：，则两物体的最大动能之比：，C正确；
D、物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为和，即物体P所在弹簧最大压缩量为2，物体Q所在弹簧最大压缩量为4，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误；
故本题选AC。
练习7、（2019年11月浙江省高考试题）12.20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）
A. F?v?t，v2RG B. F?v?t，v3T2πG C. F?t?v，v2RG D. F?t?v，v3T2πG
练习8、某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A.eq \f(4π2,g1T2) B.eq \f(4π2,g2T2)
C.eq \f(g2－g1T2,4π2) D.eq \f(g1＋g2T2,4π2)
1. （多选）（2021年辽宁省普通高等学校招生适应性考试）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（ ）
A. 月球平均密度为B. 月球平均密度为
C. 月球表面重力加速度为D. 月球表面重力加速度为
2. （2021年重庆市普通高等学校招生适应性考试） 近地卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则（ ）
A. 近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为
B. 近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为
C. 地球表面的重力加速度大小近似为
D. 地球的平均密度近似为
3. （2020年山东省普通高等学校招生考试）7.我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（ ）
A. B. C. D.
4.(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
5.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－eq \f(d,R) B．1＋eq \f(d,R)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))2 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))2
6.(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出( )
A．地球的质量m地＝eq \f(gR2,G)
B．太阳的质量m太＝eq \f(4π2L23,GT22)
C．月球的质量m月＝eq \f(4π2L13,GT12)
D．太阳的平均密度ρ＝eq \f(3π,GT22)
7.假设某探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为( )
A.eq \f(4π2R13M,gR22T2) B.eq \f(gR22T2M,4π2R13) C.eq \f(gR12,G) D.eq \f(gR22,G)
1.(2022·辽宁高三月考)关于万有引力公式F＝G eq \f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
2.(2022·重庆重点中学开学考)如图所示，两个质量均为M的球分别位于半圆环和 eq \f(3,4) 圆环的圆心，半圆环和 eq \f(3,4) 圆环分别是由相同的圆环截去一半和 eq \f(1,4) 所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力为F，则乙图中环对球的万有引力大小为( )
A． eq \f(3,2) F B． eq \f(\r(2),2) F
C． eq \f(1,2) F D． eq \f(\r(3),2) F
3、(2022·东北三省四市教研联合体模拟)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆，如图1.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球( )
A.2042年 B.2052年
C.2062年 D.2072年
4.(多选)(2022·安徽省芜湖市上学期期末)假设宇宙中有两颗相距足够远的行星A和B，半径分别为RA和RB.各自相应的两颗卫星环绕行星运行周期的平方与轨道半径的三次方的关系如图2所示，两颗卫星环绕相应行星表面运行的周期都为T0.则( )
A．行星A的质量大于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度
5.(2022·毕节4月第二次诊断)哈雷彗星是目前人类已知的唯一短周期性彗星。哈雷彗星上一次回归时间是1986年，预测哈雷彗星下次飞近地球将在2061年左右。如图所示，地球的公转轨道可近似看作圆，但哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，彗星在近日点与太阳中心的距离只有地球公转轨道半径的0.6倍。下列说法正确的是( )
A．彗星在回归过程中的机械能在不断增大
B．彗星在远日点加速度等于在近日点加速度
C．地球公转线速度为彗星在近日点线速度的eq \r(0.6) 倍
D．彗星椭圆轨道的半长轴为地球公转半径的5eq \r(3,45) 倍
6.(2022·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上第二次验收考试)密度均匀的球体半径为R、质量为m，现从球体A中挖去直径为R的球体B，将球体B放置在距离球体A的球心O为2R处，如图所示，白色部分为挖去后的空心。已知半径为R的球体的体积为 eq \f(4,3)πR3，引力常量为G，则球体A剩余部分对球体B的万有引力大小为( )
A．G eq \f(7m2,256R2) B．G eq \f(7m2,400R2)
C．G eq \f(23m2,256R2) D．G eq \f(23m2,800R2)
7、(2022·东北三省四市教研联合体3月模拟)科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得它重力的读数为F1，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得它重力的读数为F2，通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，设引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为( )
A． eq \f(3F1ω2,4πG（F1－F2）)， eq \f(F1－F2,mω2)
B． eq \f(3ω2,4πG)， eq \f(F1F2,mω2)
C． eq \f(3F1ω2,4πG（F1－F2）)， eq \f(F1＋F2,mω2)
D． eq \f(3ω2,4πG)， eq \f(F1－F2,ω2)
8.(2022·南平第二次质检)将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为eq \f(gR2,G)
C．地球自转的角速度为ω＝eq \r(\f(g0－g,R))
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR)
9、 (2022·山东淄博市4月第模拟)我国航空航天技术已居于世界前列。如图1所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是( )
A.轨道半径越大，周期越小
B.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
C.若测得周期和张角，可得到星球的质量
D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
10、(2022·东营模拟)若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，运行轨道距地面的高度为h，运行周期为T，已知万有引力常量为G，地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度ρ分别为( )
A．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)
B．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(6πR＋h3,GT2R3)
C．M＝eq \f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)
D．M＝eq \f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq \f(6πR＋h3,GT2R3)
11、（多选）(2022·济南高三模拟)2021年5月15日，“天问一号”火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，地球表面的重力加速度为g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则( )
A．火星表面重力加速度为eq \f(ag,b2)
B．火星表面重力加速度为eq \f(b2g,a)
C．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度为eq \f(ag,2b2)
D．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度为eq \f(ag,4b2)
12、(2022·岳阳质检)2020年12月17日，“嫦娥五号”成功返回，标志着中国全面掌握无人地月往返系列技术。已知地球半径为月球半径的p倍，地球质量为月球质量的q倍。若探测器在地球表面以某一初速度竖直向上射出一物体，忽略空气阻力，其上升的最大高度为h0。忽略星球自转的影响，该探测器在月球表面以相同的初速度竖直向上射出同一物体，其上升的最大高度为( )
A.eq \f(qh0,p2) B.eq \f(h0p2,q) C.eq \f(h0,qp2) D．qp2h0
13、(2022·东北三省三校4月第二次联考)卫星发射进入预定轨道时往往需要进行多次轨道调整。如图所示，某次发射任务中先将卫星送至近地圆轨道，然后卫星从圆轨道上A点加速，控制卫星进入椭圆轨道，最后在B点进入距地高为6R的预定圆形高轨道运动，其中A、B分别是两个圆轨道与椭圆轨道相切之处。已知卫星从A点到B点所需的时间为t0，地球半径为R。假定卫星在两个圆轨道上稳定运行时均做匀速圆周运动，求：
(1)卫星在高轨道上运行时的周期；
(2)地表的重力加速度。
1.（2022年全国高考乙卷物理试题） 2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A. 所受地球引力的大小近似为零
B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
2.（2021年高考全国甲卷）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）
A. 6×105mB. 6×106mC. 6×107mD. 6×108m
3、（2021年全国普通高等学校招生乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A. B. C. D.
4、（2021年福建省普通高中学业水平选择性考试）两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星的位置变化进行了持续观测，记录到的的椭圆轨道如图所示.图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为（太阳到地球的距离为），的运行周期约为16年.假设的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出
A.与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C.在P点与Q点的速度大小之比
D.在P点与Q点的加速度大小之比
5、（2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试） 2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（ ）
A. 核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍
B. 核心舱在轨道上飞行的速度大于
C. 核心舱在轨道上飞行的周期小于
D. 后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
6、（2021年山东省普通高中学业水平选择性考试）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（ ）
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
7、（2021年广东省普通高中学业水平选择性考试） 2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ）
A. 核心舱的质量和绕地半径 B. 核心舱的质量和绕地周期
C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期 D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径
8、（2021年福建省普通高中学业水平选择性考试）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段.在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时.在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点.已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动.求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量.
新课程标准
1．通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
命题趋势
考查的内容多贴近生活实际，万有引力定律在航空航天领域的应用，人造卫星、月球探测、嫦娥系列、北斗系列等。考查考生的情境分析能力，理解和反思质疑能力，提取信息进行物理情境构建的能力，应用基本规律分析、推理和计算的能力。
试题情境
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算

利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
考点14万有引力定律
考向一 开普勒定律
考向二 万有引力定律
考向三 万有引力与重力的关系
考向四 天体质量和密度的计算

【典例1】(多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】CD
【解析】在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于eq \f(T0,4)，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。
【典例2】太阳系中的八大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列四幅图是用来描述这些行星运动所遵循的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lgeq \f(T,T0)，纵轴是lgeq \f(R,R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列四幅图中正确的是( )
【答案】B
【解析】根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可得
R3＝kT2，R03＝kT02
两式相除后取对数，得lgeq \f(T2,T02)＝lgeq \f(R3,R03)
整理得2lgeq \f(T,T0)＝3lgeq \f(R,R0)
结合数学知识可知，选项B正确。
练习1、某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
【答案】D
【解析】据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为eq \f(T,2)，可得tab＝tdaeq \f(T,4)，C错误，D正确．
练习2、(多选)(2022湖北荆门统考)如图所示，某次发射远地圆轨道卫星时，先让卫星进入一个近地的圆轨道Ⅰ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R1、周期为T1；然后在经过P点时点火加速，进入椭圆转移轨道Ⅱ，在此轨道运行的卫星的周期为T2；到达远地点Q时再次点火加速，进入远地圆轨道Ⅲ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R3、周期为T3(轨道Ⅱ的近地点为Ⅰ上的P点，远地点为轨道Ⅲ上的Q点)．已知R3＝2R1，则下列关系式正确的是( )
A．T3＝2eq \r(2)T1 B．T2＝eq \f(3\r(6),8)T1
C．T2＝eq \f(3\r(3),8)T3 D．T3＝eq \f(3,4)eq \r(6)T1
答案：AC 解析：根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，可知eq \f(T\\al(2,3),T\\al(2,1))＝eq \f(R\\al(3,3),R\\al(3,1))＝eq \f(8,1)，解得eq \f(T3,T1)＝2eq \r(2)，即T3＝2eq \r(2)T1，故A正确，D错误．由几何知识可知椭圆轨道Ⅱ半长轴为eq \f(R1＋R3,2)，则有eq \f(T\\al(2,2),T\\al(2,1))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R1＋R3,2)))3,R\\al(3,1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\f(3,2)R1,R1)))3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3，解得T2＝eq \f(3\r(6),4)T1＝eq \f(3\r(3),8)T3，故B错误，C正确．
【巧学妙记】
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
考向二 万有引力定律
1.牛顿得出万有引力定律的推导
(1)行星环绕太阳运动理想化质点围绕太阳做匀速圆周运动
太阳对行星的引力是行星做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律 又因为开普勒第三定律 太阳对行星的引力是跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。
(2)由牛顿第三定律
行星对太阳的引力跟太阳的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。即
行星与太阳间的引力大小跟这两者的质量的乘积成正比，而与它们距离 的平方成反比。即
将其写成等式，则为
(3)月地检验。牛顿在研究了太阳与行星间的引力关系后认为，太阳、行星都不是特殊天体，因此他认为这一规律也应适用于其它天体间，其它物体间。
2． 万有引力定律
(1)公式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫做引力常量。
(2)适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。
【典例3】如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)( )
A．0.01 eq \f(GM2,R2) B．0.02 eq \f(GM2,R2)
C．0.05eq \f(GM2,R2) D．0.04eq \f(GM2,R2)
【答案】D
【解析】由题意知，所挖出小球的半径为eq \f(R,2)，质量为eq \f(M,8)，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝Geq \f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋\f(R,2)))2)＝eq \f(GM2,18R2)，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝Geq \f(\f(M,8)×\f(M,8),2R2)＝eq \f(GM2,256R2)，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝Geq \f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq \f(GM2,64R2)，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04eq \f(GM2,R2)，D选项正确。
【典例4】(2022·贵州省贵阳市高三下2月适应性考试)(多选)2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”携带1731克月壤成功回家，标志着我国第一次地外天体采样返回任务顺利完成。假设人类不断把月壤运回地球。经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，月地中心间的距离保持不变，与之前相比( )
A．月球与地球之间的万有引力变大
B．月球绕地球运动的周期变小
C．月球绕地球运动的向心加速度变大
D．月球表面的重力加速度变大
【答案】BC
【解析】设地球质量为M，月球质量为m，地球与月球之间的距离为r，根据万有引力定律有F＝G eq \f(mM,r2)，其中m练习3、（2020年全国普通高等学校招生考试新课标Ⅰ）.火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 2.0D. 2.5
【答案】B
【解析】设物体质量为m，则在火星表面有
在地球表面有
由题意知有，
故联立以上公式可得
故选B。
练习4、（2019年高考全国卷Ⅱ试题）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描F随h变化关系的图像是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据万有引力定律可得： ，h越大，F越小，故选项D符合题意；
万有引力的“两点理解”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
②地球上的物体(在两极处除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。
万有引力公式只适用于质点间的相互作用
①当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。质量分布均匀的球体可视为质点，其中r是 eq \(□,\s\up3(07))两球心间的距离。
②对于一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力，r为 eq \(□,\s\up3(08))球心到质点的距离。
【巧学妙记】
考向三 万有引力与重力的关系
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg.
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2).所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2).
【典例1】近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段．已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为( )
A.eq \f(R－d,R＋h) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R＋h)))2
C.eq \f(R3,R＋h2R－d) D.eq \f(R－dR＋h,R2)
【答案】C
【解析】设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝eq \f(GM,R2)，由于地球的质量M＝eq \f(4,3)πR3ρ，所以重力加速度的表达式可写成g＝eq \f(4,3)πGρR.根据题意，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，故“蛟龙号”在海里的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)，则eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R).对卫星，根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R＋h2)＝ma，加速度a＝eq \f(GM,R＋h2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,R＋h2)，联立得eq \f(a,g′)＝eq \f(R3,R＋h2R－d)，C正确．
【典例6】一物体在地球表面重16N，地面上重力加速度为10m/s2.它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(忽略地球自转)( )
A．2倍B．3倍C．4倍D．一半
【答案】 B
【解析】设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上物体的视重等于物体受到的支持力FN，物体受到的重力为mg′，g′是h高处的重力加速度，由牛顿第二定律得
FN－mg′＝ma①
其中m＝eq \f(G,g)，代入①式得
mg′＝FN－eq \f(G,g)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(16,10)×5))N＝1N
在距离地面为h处，物体的重力为1N，忽略自转，物体的重力等于万有引力．
在地球表面：mg＝Geq \f(Mm,R\\al(2,地))②
在距地面h高处，mg′＝Geq \f(Mm,R地＋h2)③
②与③相除可得eq \f(mg,mg′)＝eq \f(R地＋h2,R\\al(2,地))，
所以R地＋h＝eq \r(\f(mg,mg′))R地＝eq \r(\f(16,1))R地＝4R地
所以h＝3R地，故选B.
练习5．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图1所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
【答案】A
【解析】因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝eq \f(GM1m,x2)＝eq \f(G·\f(4,3)πx3ρ·m,x2)＝eq \f(4,3)Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当x>R时，F＝eq \f(GMm,x2)＝eq \f(G·\f(4,3)πR3ρ·m,x2)＝eq \f(4GπρmR3,3x2)∝eq \f(1,x2)，故选项A正确．
练习6、假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A． eq \f(3π（g0－g）,GT2g0) B． eq \f(3πg0,GT2（g0－g）)
C． eq \f(3π,GT2) D． eq \f(3πg0,GT2g)
【答案】 B
【解析】物体在地球的两极时，mg0＝G eq \f(Mm,R2) ，物体在赤道上时，mg＋m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2) R＝G eq \f(Mm,R2) ，其中M＝ρ· eq \f(4,3) πR3，解得地球的密度ρ＝ eq \f(3πg0,GT2（g0－g）) 。故选项B正确，A、C、D错误。
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
②推论2：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝Geq \f(M′m,r2)。
【巧学妙记】
考向四 天体质量和密度的计算
【典例7】．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A.eq \f(3πg0－g,GT2g0) B．eq \f(3πg0,GT2g0－g)
C.eq \f(3π,GT2) D．eq \f(3πg0,GT2g)
【答案】B
【解析】物体在地球的两极时，有mg0＝Geq \f(Mm,R2)，物体在赤道上时，有mg＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R＝Geq \f(Mm,R2)，其中M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，解得地球的密度ρ＝eq \f(3πg0,GT2g0－g)。故B项正确，A、C、D三项错误。
【典例8】（多选）（2019年高考全国卷Ⅰ试题）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则
A. M与N的密度相等
B. Q的质量是P的3倍
C. Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D. Q下落过程中弹簧最大压缩量是P的4倍
【答案】AC
【解析】A、由a-x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：，变形式为：，该图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：，即该星球的质量。又因为：，联立得。故两星球的密度之比为：，故A正确；
B、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，，即：；结合a-x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：，故物体P和物体Q的质量之比为：，故B错误；
C、物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据，结合a-x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足，物体Q的最大速度满足：，则两物体的最大动能之比：，C正确；
D、物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为和，即物体P所在弹簧最大压缩量为2，物体Q所在弹簧最大压缩量为4，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误；
故本题选AC。
练习7、（2019年11月浙江省高考试题）12.20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）
A. F∆v∆t，v2RG B. F∆v∆t，v3T2πG C. F∆t∆v，v2RG D. F∆t∆v，v3T2πG
【答案】D
【解析】直线推进时，根据动量定理可得FΔt=mΔv，解得飞船的质量为m=FΔtΔv，绕孤立星球运动时，根据公式GMmr2=m4π2T2r，又GMmr2=mv2r，解得M=v3T2πG，D正确
练习8、某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A.eq \f(4π2,g1T2) B.eq \f(4π2,g2T2)
C.eq \f(g2－g1T2,4π2) D.eq \f(g1＋g2T2,4π2)
【答案】C
【解析】在“极点”处：mg2＝eq \f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处：eq \f(GMm,R2)－mg1＝m(eq \f(2π,T))2R；解得：R＝eq \f(g2－g1T2,4π2)，故选C.
【巧学妙记】
估算天体质量和密度时应注意的问题
1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．
2．区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径．
1. （多选）（2021年辽宁省普通高等学校招生适应性考试）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（ ）
A. 月球平均密度为B. 月球平均密度为
C. 月球表面重力加速度为D. 月球表面重力加速度为
【答案】BD
【解析】AB．根据万有引力定律和牛顿第二定律可得
又
解得A错误，B正确；
CD．由于联立可得C错误，D正确。
故选BD。
2. （2021年重庆市普通高等学校招生适应性考试） 近地卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则（ ）
A. 近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为
B. 近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为
C. 地球表面的重力加速度大小近似为
D. 地球的平均密度近似为
【答案】D
【解析】A．由向心加速度公式可知，近地卫星绕地球运动的向心加速度大小故A错误；
B．近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得
解得近地卫星绕地球运动的线速度大小故B错误；
C．地球表面的重力等于万有引力，所以有
地球表面的重力加速度大小为故C错误；
D．近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得
解得地球的质量为
地球的平均密度近似为故D正确。
故选D。
3. （2020年山东省普通高等学校招生考试）7.我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】忽略星球的自转，万有引力等于重力
则解得
着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知解得
匀减速过程，根据牛顿第二定律得
解得着陆器受到的制动力大小为ACD错误，B正确。
故选B。
4.(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
【解析】根据G eq \f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G eq \f(Mm,R2)＝m eq \f(v2,R)及v＝ eq \f(2πR,T)可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G eq \f(Mm,r2)＝m eq \f(4π2,T2)r可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。
5.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－eq \f(d,R) B．1＋eq \f(d,R)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))2 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))2
【答案】A
【解析】如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重
力近似等于万有引力，故mg＝Geq \f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，故g＝eq \f(4,3)πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝eq \f(4,3)πρG(R－d)，联立解得eq \f(g′,g)＝1－eq \f(d,R)，A正确．
6.(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出( )
A．地球的质量m地＝eq \f(gR2,G)
B．太阳的质量m太＝eq \f(4π2L23,GT22)
C．月球的质量m月＝eq \f(4π2L13,GT12)
D．太阳的平均密度ρ＝eq \f(3π,GT22)
【答案】 AB
【解析】对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝eq \f(Gm地m0,R2)，所以地球质量m地＝eq \f(gR2,G)，故A项正确；地球绕太阳运动，有eq \f(Gm太m地,L22)＝m地eq \f(4π2L2,T22)，则m太＝eq \f(4π2L23,GT22)，故B项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D项错误．
7.假设某探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为( )
A.eq \f(4π2R13M,gR22T2) B.eq \f(gR22T2M,4π2R13) C.eq \f(gR12,G) D.eq \f(gR22,G)
【答案】 A
【解析】 对绕地球表面运动的物体，由牛顿第二定律可知：
Geq \f(Mm,R22)＝mg
对绕火星表面做匀速圆周运动的物体有：
eq \f(GM火m,R12)＝m(eq \f(2π,T))2R1
结合两个公式可解得：M火＝eq \f(4π2R13M,gR22T2)，故A对．
1.(2022·辽宁高三月考)关于万有引力公式F＝G eq \f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【答案】C
【解析】万有引力公式F＝G eq \f(m1m2,r2)适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看做质点，故F＝G eq \f(m1m2,r2)已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪许测得的，D错误。
2.(2022·重庆重点中学开学考)如图所示，两个质量均为M的球分别位于半圆环和 eq \f(3,4) 圆环的圆心，半圆环和 eq \f(3,4) 圆环分别是由相同的圆环截去一半和 eq \f(1,4) 所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力为F，则乙图中环对球的万有引力大小为( )
A． eq \f(3,2) F B． eq \f(\r(2),2) F
C． eq \f(1,2) F D． eq \f(\r(3),2) F
【答案】B
【解析】甲图半圆环对球的引力为F，得到 eq \f(1,4) 圆环对球的引力大小为 eq \f(\r(2),2) F，将乙环分成三个 eq \f(1,4) 圆环，关于圆心对称的两个 eq \f(1,4) 圆环对球的万有引力的合力为零，故乙图中圆环对球的万有引力大小等于 eq \f(\r(2),2) F；故选B。
3、(2022·东北三省四市教研联合体模拟)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆，如图1.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球( )
A.2042年 B.2052年
C.2062年 D.2072年
【答案】C
【解析】根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，可得eq \f(r彗3,T彗2)＝eq \f(r地3,T地2)，且r彗＝18r地，得T彗＝54eq \r(2)T地，又T地＝1年，所以T彗＝54eq \r(2) 年≈76年，故选C.
4.(多选)(2022·安徽省芜湖市上学期期末)假设宇宙中有两颗相距足够远的行星A和B，半径分别为RA和RB.各自相应的两颗卫星环绕行星运行周期的平方与轨道半径的三次方的关系如图2所示，两颗卫星环绕相应行星表面运行的周期都为T0.则( )
A．行星A的质量大于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度
【答案】AD
【解析】Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得M＝eq \f(4π2,G)·eq \f(r3,T2)，从题图中可知斜率越小，eq \f(r3,T2)越大，质量越大，所以行星A的质量大于行星B的质量，A正确；根据题图可知，在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相同，密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(4π2,G)·\f(R3,T02),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT\\al(,02))，所以行星A的密度等于行星B的密度，B错误；第一宇宙速度v＝eq \f(2πR,T0)，A的半径大于B的半径，卫星环绕行星表面运行的周期相同，则A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度，C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝Geq \f(M,r2)，当两行星的卫星轨道半径相同时，A的质量大于B的质量，则行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度，D正确．
5.(2022·毕节4月第二次诊断)哈雷彗星是目前人类已知的唯一短周期性彗星。哈雷彗星上一次回归时间是1986年，预测哈雷彗星下次飞近地球将在2061年左右。如图所示，地球的公转轨道可近似看作圆，但哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，彗星在近日点与太阳中心的距离只有地球公转轨道半径的0.6倍。下列说法正确的是( )
A．彗星在回归过程中的机械能在不断增大
B．彗星在远日点加速度等于在近日点加速度
C．地球公转线速度为彗星在近日点线速度的eq \r(0.6) 倍
D．彗星椭圆轨道的半长轴为地球公转半径的5eq \r(3,45) 倍
【答案】D
【解析】彗星在回归过程中势能减小，动能增大，机械能不变，故A错误；根据万有引力提供向心力，可得Geq \f(mM,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)，则可知彗星在远日点加速度小于在近日点加速度，故B错误；根据牛顿第二定律可得Geq \f(mM,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝ eq \r(\f(GM,r))，则地球公转线速度为彗星在近日点所在圆轨道上线速度的eq \r(0.6)倍，而彗星在近日点要做离心运动，故彗星在近日点的线速度比近日点所在圆轨道上线速度要大，故C错误；根据开普勒第三定律，可得eq \f(a3,T彗2)＝eq \f(r3,T地2)，解得eq \f(a,r)＝eq \r(3,\f(T彗2,T地2))＝eq \r(3,\f(752,12))＝5eq \r(3,45)，故D正确。
6.(2022·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上第二次验收考试)密度均匀的球体半径为R、质量为m，现从球体A中挖去直径为R的球体B，将球体B放置在距离球体A的球心O为2R处，如图所示，白色部分为挖去后的空心。已知半径为R的球体的体积为 eq \f(4,3)πR3，引力常量为G，则球体A剩余部分对球体B的万有引力大小为( )
A．G eq \f(7m2,256R2) B．G eq \f(7m2,400R2)
C．G eq \f(23m2,256R2) D．G eq \f(23m2,800R2)
【答案】 D
【解析】 球体B的质量为m′＝ eq \f(\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))\s\up12(3),\f(4πR3,3))m＝ eq \f(1,8)m，完整的球体A对B的万有引力F′＝G eq \f(mm′,（2R）2)＝ eq \f(Gm2,32R2)，球体A挖去部分对B的万有引力为F″＝ eq \f(Gm′m′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5R,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(Gm2,400R2)，则剩余部分对B的万有引力F＝F′－F″＝G eq \f(23m2,800R2)，故A、B、C错误，D正确。
7、(2022·东北三省四市教研联合体3月模拟)科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得它重力的读数为F1，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得它重力的读数为F2，通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，设引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为( )
A． eq \f(3F1ω2,4πG（F1－F2）)， eq \f(F1－F2,mω2)
B． eq \f(3ω2,4πG)， eq \f(F1F2,mω2)
C． eq \f(3F1ω2,4πG（F1－F2）)， eq \f(F1＋F2,mω2)
D． eq \f(3ω2,4πG)， eq \f(F1－F2,ω2)
【答案】A
【解析】设火星质量为M，半径为R，在火星两极弹簧测力计的读数为F1，则有G eq \f(Mm,R2)＝F1，在火星赤道上弹簧测力计的读数为F2，则有G eq \f(Mm,R2)－F2＝mω2R，联立解得R＝ eq \f(F1－F2,mω2)，M＝ eq \f(F1R2,Gm)，根据M＝ eq \f(4,3)πR3ρ可得火星的密度为ρ＝ eq \f(3F1ω2,4πG（F1－F2）)，故A正确，B、C、D错误。
8.(2022·南平第二次质检)将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为eq \f(gR2,G)
C．地球自转的角速度为ω＝eq \r(\f(g0－g,R))
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR)
【答案】C
【解析】设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力．有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得M＝eq \f(g0R2,G)，故B错误；由Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得ω＝eq \r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g0,4πGR)，故D错误．
9、 (2022·山东淄博市4月第模拟)我国航空航天技术已居于世界前列。如图1所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是( )
A.轨道半径越大，周期越小
B.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
C.若测得周期和张角，可得到星球的质量
D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
【答案】B
【解析】根据开普勒第三定律可知eq \f(r3,T2)＝k，轨道半径越大，飞行器的周期越大，故A错误；设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r，解得星球质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，由几何关系有R＝rsin eq \f(θ,2)，若测得周期和张角，因为星球的半径和轨道半径均未知，则不能得到星球的质量，星球的平均密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))\s\up12(3))，即若测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故B正确，C错误；由上述分析可知，若测得周期和轨道半径可以得到星球质量，不能得到星球的平均密度，故D错误。
10、(2022·东营模拟)若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，运行轨道距地面的高度为h，运行周期为T，已知万有引力常量为G，地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度ρ分别为( )
A．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)
B．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(6πR＋h3,GT2R3)
C．M＝eq \f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)
D．M＝eq \f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq \f(6πR＋h3,GT2R3)
【答案】A
【解析】将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，设卫星的质量为m，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，又有M＝ρeq \f(4,3)πR3，解得ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)，A正确。
11、（多选）(2022·济南高三模拟)2021年5月15日，“天问一号”火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，地球表面的重力加速度为g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则( )
A．火星表面重力加速度为eq \f(ag,b2)
B．火星表面重力加速度为eq \f(b2g,a)
C．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度为eq \f(ag,2b2)
D．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度为eq \f(ag,4b2)
【答案】AC
【解析】在地球表面有Geq \f(Mm,R2)＝mg，在火星表面有Geq \f(aMm,bR2)＝mg′，联立解得火星表面重力加速度为g′＝eq \f(ag,b2)，则A正确，B错误；设火星的密度为ρ，火星的半径为R0，由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内部那部分质量为M′＝ρeq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R0,2)))3＝eq \f(1,8)M火＝eq \f(1,8)aM，火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度为g″，则有Geq \f(\f(1,8)M火m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R0,2)))2)＝mg″，联立解得g″＝eq \f(ag,2b2)，所以C正确，D错误。
12、(2022·岳阳质检)2020年12月17日，“嫦娥五号”成功返回，标志着中国全面掌握无人地月往返系列技术。已知地球半径为月球半径的p倍，地球质量为月球质量的q倍。若探测器在地球表面以某一初速度竖直向上射出一物体，忽略空气阻力，其上升的最大高度为h0。忽略星球自转的影响，该探测器在月球表面以相同的初速度竖直向上射出同一物体，其上升的最大高度为( )
A.eq \f(qh0,p2) B.eq \f(h0p2,q) C.eq \f(h0,qp2) D．qp2h0
【答案】A
【解析】设月球的重力加速度为g′，在月球上抛物体上升的高度为h′，忽略星球自转的影响，则根据eq \f(GMm,R2)＝mg，可得g＝eq \f(GM地,R地2)＝eq \f(GqM月,pR月2)，g′＝eq \f(GM月,R月2)，eq \f(g,g′)＝eq \f(q,p2)，在地球上上升的高度h0＝eq \f(v02,2g)，在月球上上升的高度h′＝eq \f(v02,2g′)，eq \f(h′,h0)＝eq \f(g,g′)，解得h′＝eq \f(qh0,p2)，故选A。
13、(2022·东北三省三校4月第二次联考)卫星发射进入预定轨道时往往需要进行多次轨道调整。如图所示，某次发射任务中先将卫星送至近地圆轨道，然后卫星从圆轨道上A点加速，控制卫星进入椭圆轨道，最后在B点进入距地高为6R的预定圆形高轨道运动，其中A、B分别是两个圆轨道与椭圆轨道相切之处。已知卫星从A点到B点所需的时间为t0，地球半径为R。假定卫星在两个圆轨道上稳定运行时均做匀速圆周运动，求：
(1)卫星在高轨道上运行时的周期；
(2)地表的重力加速度。
【答案】：(1) eq \f(7\r(7),4) t0 (2) eq \f(64π2R,t02)
【解析】(1)当卫星在椭圆轨道上运行时，其半长轴为 eq \f(2R＋6R,2) ＝4R
由开普勒第三定律有 eq \f(（7R）3,T12) ＝ eq \f(（4R）3,T22)
而卫星从A到B的时间为t0＝ eq \f(T2,2)
故T1＝ eq \f(7\r(7),4) t0。
(2)卫星在高轨道上有G eq \f(Mm,（6R＋R）2) ＝m eq \f(4π2,T12) (6R＋R)
质量为m′的物体在地球表面有G eq \f(Mm′,R2) ＝m′g
得g＝ eq \f(64π2R,t02) 。
1.（2022年全国高考乙卷物理试题） 2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A. 所受地球引力的大小近似为零
B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【答案】C
【解析】ABC．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，AB错误；
D．根据万有引力公式
可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
故选C。
2.（2021年高考全国甲卷）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）
A. 6×105mB. 6×106mC. 6×107mD. 6×108m
【答案】C
【解析】忽略火星自转则①
可知
设与为1.8×105s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为，由万引力提供向心力可知②
设近火点到火星中心为③
设远火点到火星中心为④
由开普勒第三定律可知⑤
由以上分析可得故选C。
3、（2021年全国普通高等学校招生乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由1994年到2002年对恒星S2观测位置图可知，恒星S2绕黑洞运动的周期大约为T2=36年，半长轴为a=1000AU，设黑洞的质量为M黑，恒星S2质量为m2，由万有引力提供向心力，可得G=m2a（）2；设地球质量为m，地球绕太阳运动的轨道半径为r=1AU，周期T1=1年，由万有引力提供向心力，可得G=mr（）2，联立解得黑洞质量M黑=106M，选项B正确。
4、（2021年福建省普通高中学业水平选择性考试）两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星的位置变化进行了持续观测，记录到的的椭圆轨道如图所示.图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为（太阳到地球的距离为），的运行周期约为16年.假设的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出
A.与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C.在P点与Q点的速度大小之比
D.在P点与Q点的加速度大小之比
【答案】B D
【解析】设银河系中心超大质量的致密天体质量为M银心，恒星绕银河系中心（银心）做椭圆轨道运动的椭圆半长轴为a，半焦距为c，根据题述Q与O的距离约为，可得a-c=120AU，又有椭圆偏心率（离心率）约为c/a=0.87.联立可以解得a和c，设想恒星S2绕银心做半径为a的匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知周期也为TS2，因此G=mS2a（）2，对地球围绕太阳运动，有G=m地a（）2，而a=120r，TS2=16T1，联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，不能得出与银河系中心致密天体的质量之比，选项A错误B正确；由于远银心点和近银心点轨迹的曲率半径相同，设为ρ,恒星S2在远银心点，由万有引力提供向心力，G=mS2，在近银心点由万有引力提供向心力，G=mS2，联立可解得在P点与Q点的速度大小之比为=，选项C正确；在远银心点和近银心点，由万有引力定律和牛顿第二定律，分别有G=mS2aP，G=mS2 aQ，联立可解得在P点与Q点的加速度大小之比为=，选项D正确。
5、（2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试） 2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（ ）
A. 核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍
B. 核心舱在轨道上飞行的速度大于
C. 核心舱在轨道上飞行的周期小于
D. 后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
【答案】AC
【命题意图】本题以核心舱发射为情景，考查万有引力定律，卫星及其相关知识点。
【解析】由万有引力定律可得，F地=G，在轨道上，F=G，联立解得：F= F地，选项A正确；核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s，飞行的周期小于24h，选项B错误C正确；后续加挂实验舱后，空间站质量增大，轨道半径不变，选项D错误。
6、（2021年山东省普通高中学业水平选择性考试）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（ ）
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
【答案】B
【解析】悬停时，所受着陆平台的作用力大小等于重力。由G=mg可得火星表面的重力加速度与月球表面的重力加速度之比为==9×=，悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为=2×=，选项B正确。
7、（2021年广东省普通高中学业水平选择性考试） 2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ）
A. 核心舱的质量和绕地半径 B. 核心舱的质量和绕地周期
C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期 D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径
【答案】D
【解析】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得
可得可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。
故选D。
8、（2021年福建省普通高中学业水平选择性考试）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段.在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时.在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点.已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动.求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有①
代入题给数据得②
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有③
联立②③式并代入题给数据得④
（2）设火星的质量，半径和表面重力加速度大小分别为，，地球的质量、半径和表面重力，，由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有
⑤
⑥
式中G为引力常量.设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为，由力的平衡条件有⑦
联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得⑧
在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为.
新课程标准
1．通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
命题趋势
考查的内容多贴近生活实际，万有引力定律在航空航天领域的应用，人造卫星、月球探测、嫦娥系列、北斗系列等。考查考生的情境分析能力，理解和反思质疑能力，提取信息进行物理情境构建的能力，应用基本规律分析、推理和计算的能力。
试题情境
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算

利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)