2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 对角互补模型 知识精练(含答案)

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 对角互补模型 知识精练(含答案)，共5页。试卷主要包含了 问题呈现等内容，欢迎下载使用。
1. 问题呈现：已知等边△ABC边BC的中点为D，∠EDF＝120°，且点E，F分别在AB，AC上，现要探究线段BE，CF与BC之间的数量关系．
【特例研究】
(1)如图①，当DE⊥AB，DF⊥AC时，请直接写出BE，CF与BC之间的数量关系：________；
【类比探究】
(2)如图②，当∠DEB≠∠DFC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
(3)若等边△ABC的边长为4，当∠FDC＝45°时，求BE的长和此时△BDE的面积．
图①
图②
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4eq \r(3)，AD＝4，点P为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E.
(1)如图①，求证：PD＝eq \r(3)PE；
(2)如图②，当点P为AC的中点时，连接DE，求证：DE⊥AC；
(3)如图③，若PA平分∠DPE，求PE的长．
图①
图②
图③
第2题图
参考答案与解析
1. 解：(1)BE＋CF＝ eq \f(1,2) BC；
(2)成立．
证明：如解图①，分别过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，
∵∠B＝∠C，∠BGD＝∠CHD＝90°，
BD＝CD，
∴△BDG≌△CDH(AAS)，
∴BG＝CH，DG＝DH.
∵∠A＝60°，∠DGA＝∠DHA＝90°，
∴∠GDH＝120°.
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDG＝∠FDH，
∴△DGE≌△DHF(ASA)，
∴EG＝FH，DE＝DF，
∴CF＋BE＝CH＋FH＋BE＝CH＋EG＋BE＝CH＋BG.由(1)可得，CH＋BG＝ eq \f(1,2) (CD＋BD)＝ eq \f(1,2) BC，
∴BE＋CF＝ eq \f(1,2) BC，即(1)中结论仍然成立；
第1题解图①
(3)如解图②，分别过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，过点F作FM⊥BC于点M.
∵点D是线段BC的中点，
∴BD＝CD＝ eq \f(1,2) BC＝2.
∵∠FDM＝45°，∴DM＝FM.
∵∠FCM＝60°，∴CM＝ eq \f(\r(3),3) FM.
∵CD＝DM＋CM＝FM＋ eq \f(\r(3),3) FM＝2，
∴FM＝3－ eq \r(3) ，
∴CM＝ eq \r(3) －1，CF＝2CM＝2 eq \r(3) －2.
由(2)可知，BE＝ eq \f(1,2) BC－CF＝2－(2 eq \r(3) －2)＝4－2 eq \r(3) ，
∵DG＝DH＝ eq \f(\r(3),2) CD＝ eq \r(3) ，
∴S△BDE＝ eq \f(1,2) BE·DG＝2 eq \r(3) －3.
第1题解图②
2. (1)证明：如解图①，分别过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MAN＝90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∴∠MPN＝90°＝∠DPE，
∴∠DPM＋∠MPE＝∠MPE＋∠EPN，
∴∠DPM＝∠EPN.
∵∠DMP＝∠PNE，
∴△DPM∽△EPN，
∴∠PDA＝∠PEB， eq \f(DP,EP) ＝ eq \f(PM,PN) ＝ eq \f(AN,PN) .
∵PN∥BC，
∴ eq \f(AN,AB) ＝ eq \f(PN,BC) ，
∴ eq \f(AN,PN) ＝ eq \f(AB,BC) ＝ eq \r(3) ，
∴ eq \f(DP,EP) ＝ eq \r(3) ，即PD＝ eq \r(3) PE；
第2题解图①
(2)证明：∵P是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴DP＝AP＝PC.
∵tan ∠DAC＝ eq \f(DC,AD) ＝ eq \r(3) ，
∴∠DAC＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴AD＝DP.
在Rt△DAE和Rt△DPE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DA＝DP,DE＝DE)) ，
∴Rt△DAE≌Rt△DPE(HL)，
∴∠ADE＝∠PDE，∴DE⊥AC；
(3)解：如解图②，过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠DAC＝60°，
∴DF＝ eq \f(\r(3),2) AD＝2 eq \r(3) .
∵PA平分∠DPE，PE⊥PD，
∴∠DPA＝∠APE＝45°，
∴△DFP是等腰直角三角形，且DF＝FP，
∴DP＝ eq \r(2) DF＝2 eq \r(6) .
由(1)得DP＝ eq \r(3) PE，
∴PE＝2 eq \r(2) .
第2题解图②