2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 遇到中点如何添加辅助线 知识精练(含答案)

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第1题图
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为________．
第2题图
3. 如图，AD是△ABC的中线，点E是AB上一点，且BE＝2AE，连接CE交AD于点F，若CF＝3，则EF的长为________．
第3题图
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，连接DF.若DF⊥BE，则tan∠DBE的值为________．

第4题图
5. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，过点A作AE⊥CD于点E，F为BC的中点，连接EF，若∠B＝70°，则∠BFE的度数为________．
第5题图
6. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝2BA＝6，M，N分别是BC，CD的中点，连接AM，AN，MN.若△CMN的面积为eq \f(3,2)，则△AMN的面积为________．
第6题图
7. 如图，在▱ABCD中，E为AD的中点，F是CD边上一点，连接EF交BD于点G，若DF＝2，CF＝4，DG＝3，则BG的长为________．
第7题图
8. 如图，已知△ABC和△CEF是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CEF＝90°，且E是中线AD的中点，连接BF，若AB＝4，则线段BF的长度为________．

第8题图
9. 如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，连接DE，CE，且EC平分∠DEB，点F为CE的中点，连接AF，BF.求证：AF⊥BF.
第9题图
参考答案与解析
1. 2 【解析】如解图，连接EF，AE.∵E，F分别为BC，AC的中点，∴BE＝EC，AF＝CF，∴EF∥AB，EF＝ eq \f(1,2) AB.∵AD＝ eq \f(1,2) AB，∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，∵∠BAC＝90°，∴AE＝ eq \f(1,2) BC＝2，∴DF＝AE＝2.
第1题解图
2. eq \f(12,5) 【解析】如解图，连接AM，∵AB＝AC，点M为BC的中点，∴AM⊥CM(三线合一)，BM＝CM.∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得AM＝ eq \r(AB2－BM2) ＝ eq \r(52－32) ＝4.∵S△AMC＝ eq \f(1,2) MN·AC＝ eq \f(1,2) AM·CM，∴MN＝ eq \f(AM·CM,AC) ＝ eq \f(4×3,5) ＝ eq \f(12,5) .
第2题解图
一题多解
3. 1 【解析】解法一：如解图①，过点D作DG∥AB交CE于点G，则∠EAF＝∠GDF.∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，∴DG是△BCE的中位线，∴BE＝2DG，CG＝EG.∵BE＝2AE，∴AE＝DG.∵∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF，∴EF＝GF，∴EF＝ eq \f(1,3) CF＝ eq \f(1,3) ×3＝1.
解法二：如解图②，过点D作DH∥CE交AB于点H，∵AD是△ABC的中线，∴DH是△BCE的中位线，∴DH＝ eq \f(1,2) CE，BH＝EH.∵BE＝2AE，∴AE＝EH，∴EF是△ADH的中位线，∴EF＝ eq \f(1,2) DH，∴EF＝ eq \f(1,4) CE，∴EF＝ eq \f(1,3) CF＝ eq \f(1,3) ×3＝1.
图①

图②
第3题解图
4. eq \f(\r(3),3) 【解析】如解图，连接CE，设CD＝a，∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD＝a.∵点F为BE的中点，∴EF＝BF.∵DF⊥BE，∴BD＝ED＝a.∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝ED＝CD＝a，∴△CED为等边三角形，即∠CDE＝60°.又∵BD＝ED，∴∠DEF＝∠DBF＝ eq \f(1,2) ∠CDE＝30°，∴tan ∠DBE＝ eq \f(\r(3),3) .
第4题解图
5. 165° 【解析】 如解图，延长EF交AB的延长线于点M，连接AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C＝∠MBF.∵F为BC的中点，∴BF＝CF.在△BFM和△CFE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠MBF＝∠C，,BF＝CF，,∠BFM＝∠CFE，)) ∴△BFM≌△CFE(ASA)，∴MF＝EF，∠CEF＝∠M.∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠EAB＝90°.∵MF＝EF，∴AF＝EF＝MF，∴∠M＝∠MAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠ABC＝70°，∠BCD＝110°.∵BC＝2AB，∴AB＝BF，∴∠MAF＝(180°－70°)÷2＝55°，∴∠M＝55°，∴∠CEF＝55°，∴∠CFE＝180°－110°－55°＝15°，∴∠BFE＝180°－15°＝165°.
第5题解图
6. 6 【解析】如解图，连接AC，BD.∵M，N分别是BC，CD的中点，∴MN＝ eq \f(1,2) BD，MN∥BD，S△ACN＝S△DAN，S△ABM＝S△AMC，S△CMN＝ eq \f(1,4) ·S△DBC.∵S△CMN＝ eq \f(3,2) ，∴S△DBC＝6.∵∠BAD＝90°，AD＝2BA＝6，∴S△ABD＝ eq \f(1,2) AD·AB＝9，∴S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝15，∴S△ACN＋S△ACM＝ eq \f(1,2) S四边形ABCD＝ eq \f(15,2) ，∴S△AMN＝S△ACN＋S△ACM－S△CMN＝6.
第6题解图
7. 12 【解析】如解图，延长FE交BA的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠H＝∠DFE，∠HAE＝∠FDE.∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△AEH≌△DEF，∴AH＝DF＝2，∴BH＝AB＋AH＝CD＋AH＝4＋2＋2＝8.又∵AB∥CD，∴△BGH∽△DGF，∴ eq \f(BG,DG) ＝ eq \f(BH,DF) ，即 eq \f(BG,3) ＝ eq \f(8,2) ，解得BG＝12.
第7题解图
8. eq \r(2) 【解析】如解图，过点E作EG∥BC交AC于点G，连接BG，∵点E是AD的中点，∴点G是AC的中点．∵△ABC和△CEF是等腰直角三角形，∠ABC＝∠CEF＝90°，∴AB＝BC，CE＝EF，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，CB＝ eq \r(2) CG，CF＝ eq \r(2) CE，∴∠GCE＝∠BCF， eq \f(CG,CB) ＝ eq \f(CE,CF) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴△GCE∽△BCF，∴ eq \f(GE,BF) ＝ eq \f(\r(2),2) .∵BC＝AB＝4，AD是中线，∴BD＝CD＝2.∵点E，G分别是AD，AC的中点，∴EG是△ADC的中位线，∴GE＝ eq \f(1,2) CD＝1，∴BF＝ eq \r(2) .
第8题解图
9. 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB.
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC＝∠CEB，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC.
如解图，连接DF，
∵DE＝DC，F为CE的中点，
∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°.
在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝90°，
∴BF＝CF＝EF＝ eq \f(1,2) EC，
∴∠ABF＝∠CEB.
∵∠DCE＝∠CEB，
∴∠ABF＝∠DCF.
在△ABF和△DCF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BF＝CF，,∠ABF＝∠DCF，,AB＝DC，))
∴△ABF≌△DCF(SAS)，
∴∠AFB＝∠DFC＝90°，
∴AF⊥BF.
第9题解图