2024年普通高等学校春季招生考试数学试卷 上海卷(含答案)

这是一份2024年普通高等学校春季招生考试数学试卷 上海卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．函数的定义域为__________.
2．直线的倾斜角为__________.
3．已知复数z满足，则__________.
4．的展开式中的系数为__________.
5．在中，，，，则__________.
6．已知，则的最小值为__________.
7．已知数列的前n项和为，且，，则c的取值范围为__________.
8．已知三角形三条边长分别为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为__________.
9．已知函数，，若满足，则x的取值范围为__________.
10．如图，已知四棱柱，底面ABCD为平行四边形，，且，则异面直线与BD的夹角为__________.
11．如图，正方形草地ABCD的边长为1.2，点E到AB，AD的距离均为0.2，点F到BC，CD的距离均为0.4，有个圆形通道经过E，F两点，且和AD有且仅有一个交点，则圆形通道的周长为__________.（，结果精确到0.01）
12．已知，，，，对任意的，满足，求有序数列有__________对.
二、选择题
13．已知，，则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
14．已知空间中有两个不重合的平面，和两条不重合的直线m，n，则下列说法中正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
15．有四个礼盒，前三个里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面上述三种礼品都装的有，现从中任选一个礼盒.设事件A为“所选礼盒中有中国结”，事件B为“所选礼盒中有记事本”，事件C为“所选礼盒中有笔袋”，则下列说法中正确的是( )
A.事件A与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立
C.事件A与事件互斥D.事件A与事件相互独立
16．现定义如下：当时，若，则称为延展函数.当时，，.已知和均为延展函数，给出下列结论：①存在直线且与的图象有无穷个交点；②存在直线且与的图象有无穷个交点.则下列说法正确的是( )
A.①②都成立B.①②都不成立C.①成立②不成立D.①不成立②成立
三、解答题
17．已知函数.
（1）设，求函数在上的值域；
（2）若的最小正周期为，，且函数在上恰有3个零点，求a的取值范围.
18．如图，PA，PB，PC为圆锥的三条母线，.
（1）证明：；
（2）若圆锥的侧面积为，为底面直径，，求二面角的大小.
19．从某果园中采摘某种水果共136箱，每箱均装有相同个数的此种水果，此种水果分为一级果和二级果，其中一级果102箱，二级果34箱.
（1）随意挑选2箱此种水果，求恰好选到一级果和二级果各一箱的概率.
（2）若采用分层随机抽样的方法从中抽取8箱此种水果，求一级果和二级果各抽取几箱.
（3）若抽取若干箱此种水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果共48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21.求168个此种水果单果质量的平均数和方差，并预估该果园中此种水果单果的质量.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若点A的横坐标为2，求.
（2）设的上、下顶点分别为，，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围.
（3）若点A在x轴上方，设直线与交于点B，与y轴交于点K，线段的延长线与交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
21．记，.
（1）若，求和；
（2）若，求证：对任意的，都有，且存在a，使得；
（3）已知定义在R上的函数有最小值，求证：“是偶函数”的充要条件是“对任意的正实数c，均有”.
参考答案
1．答案：
解析：由题意知对数函数的定义域为.
2．答案：
解析：由题意知，该直线的斜率为1，因此其倾斜角为.
3．答案：
解析：由已知，得，因此.
4．答案：15
解析：二项展开式的通项，令，得，因此的系数为.
5．答案：
解析：在中，，则，由正弦定理，可得.
6．答案：12
解析：，当且仅当，即，或，时，等号成立，故的最小值为12.
7．答案：
解析：方法一：由题意可知数列是首项为，公差为1的等差数列，则，解得.
方法二：由可判定数列为等差数列，故，解得.
8．答案：3
解析：由题意可知，则，由双曲线的定义可得，则，因此双曲线的离心率.
9．答案：
解析：由已知得，当时，，解得，因此；当时，，不等式恒成立，因此.综上，x的取值范围为.
10．答案：
解析：令，，，并将其作为一组基，则，所以，所以，即异面直线与BD的夹角为.
11．答案：2.73
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，连接EF，则圆心必落在EF的垂直平分线上，垂直平分线的方程为，即，设圆心M的坐标为，，由题意易得该圆的半径为a，过点F作x轴的垂线，过点M作y轴的垂线，两垂线相交于点N，连接MF，易得，即，化简得，解得，又，所以，故圆的周长.
12．答案：48
解析：由题意可知，不妨设，则存在两种情况：一是，此时，，，，，，解得，，，，此时有序数列有（对）；二是，此时，，，，，，解得，，，，此时有序数列有（对）.综上，有序数列共有（对）.
13．答案：B
解析：方法一：当时，，当时，，所以不一定成立，故A错误；
因为，，所以成立，故B正确；
当，时，，当，时，，当时，，这三种情况下都不成立，故C错误；
当时，不成立，故D错误.综上，选B.
方法二：令，，，分别代入选项A，B，C，D可知只有成立，故选B.
14．答案：A
解析：若，，则或，又，所以，故A正确；
若，，则或，又，则或n与斜交或均有可能，故B错误；
若，，则或，又，因此m和n的位置关系可能为平行、相交或异面，故C错误；
若，，，则或，故D错误.
综上，选A.
15．答案：B
解析：由于第四个礼盒中既有中国结，又有记事本，若抽到第四个礼盒，则事件A和事件B就同时发生了，因此事件A与事件B不是互斥事件，故A错误；
由于，，，因此事件A与事件B相互独立，故B正确；
由于第四个礼盒中既有中国结，又有记事本，还有笔袋，若抽到第四个礼盒，则事件A和事件就同时发生了，因此事件A与事件不是互斥事件，故C错误；
由于，，，因此事件A与事件不是相互独立的，故D错误.综上，选B.
16．答案：D
解析：当时，，则时，，…，时，，画出函数，的图象，如图a所示，此时，不存在直线且与的图象有无穷个交点，故①不成立；当时，，则时，，…，时，，的示意图如图b所示，当时，，，令，则该直线与在上的图象重合，此时这一段有无穷个交点，故②成立.综上，选D.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），由，得，
当，即时，单调递增，当，即时，单调递减.
所以当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值1，
因此函数在上的值域为.
（2）由题意可知的最小正周期，因此.
所以.
由，得，
由于在上恰有3个零点，因此.
解得，即a的取值范围是.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，取BC的中点M，连接AM，PM，
因为，所以，
因为PB，PC均是圆锥的母线，所以，所以，
又，平面PMA，
所以平面PMA，
又平面PMA，所以.
（2）设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则，所以.
因为，所以，
因为BC为底面直径，A为底面圆周上一点，，所以.
因为，，，所以，
过点B作，交PA于点H，连接CH，
由对称性可知，，所以即为二面角的平面角，
在中，，
所以，所以，则，
在中，，
故，即二面角的大小为.
19．答案：（1）
（2）抽取一级果的箱数为6；抽取二级果的箱数为2
（3）见解析
解析：（1）设“随意挑选2箱此种水果，恰好选到一级果和二级果各一箱”为事件A，
则.
（2）抽取一级果的箱数为；
抽取二级果的箱数为.
（3）设一级果单果质量的平均数为，二级果单果质量的平均数为，所有水果单果质量的平均数为，
则（克），
设一级果单果质量的方差为，二级果单果质量的方差为，
则，，
设168个此种水果单果质量的方差为，
则
其中，
，
因此，
，
果园中此种水果单果质量的平均数为
（克）.
20．答案：（1）
（2）
（3）存在x轴上方的点C，其坐标为
解析：（1）由题意可知，，故，所以，.
设点A的坐标为，由题意知，则，
所以.
（2）由已知，得，，且，.
由题意可得，则，
又，所以，所以，
解得，
因此.
（3）设直线AB的方程为，
与的方程联立得，消去x，得，
设，由根与系数的关系可得，，
由对称性可知，
因此
，
，
由题意可知，
故，可得，
因此，
则，将其代入，，
所以，
解得，
因为，所以，所以，
则，，所以存在x轴上方的点C，其坐标为.
21．答案：（1），
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1），
.
（2）由题意可知，
记，，
则，
当x变化时，，的变化情况如表：
①当时，，在上单调递增，，；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
因此，，
记，，则，
当时，，在上单调递增，
因此，故；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则，
此时，
所以或，故.
由上述证明易知当时，.
所以存在，使得.
（3）对任意的正实数c，任取，
则存在实数s满足使得，
因为是偶函数，所以，而，
由此可得，
于是有，同理可得，所以.
设函数在时取得最小值.
若，则，此时；
若，则，函数在时取得最小值，
即集合中的最小数是，
函数在时取得最小值，
即集合中的最小数是0，
由正实数使成立可得；
若，则，同理可得集合中的最小数是，
集合中的最小数是0，由正实数使成立可得.
综上所述，函数的最小值点必满足，由此可得，
则和都是该函数的最小值点.
任取，若，则，
函数在时取得最小值，
即集合中的最小数是，
函数在时取得最小值，
即集合中的最小数是，
由可得，于是有；
若，则，同理可得集合中的最小数是，
集合中的最小数是，
由可得，于是有；
若，则有.
所以函数对任意的都有，故函数是偶函数.
x
0
2
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗