2024常州一中高二下学期6月月考试题数学含解析

这是一份2024常州一中高二下学期6月月考试题数学含解析，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
已知，，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.设，且，则的（ ）
A．最小值为-3B．最小值为3
C．最大值为-3D．最大值为3
4.函数在区间的图象大致为( )
5.设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝（ ）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝EQ \F(λ\S(k),k!)eEQ \S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（ ）
A．EQ \F(2,e\S(4)) B．EQ \F(4,e\S(4)) C．EQ \F(6,e\S(4)) D．EQ \F(8,e\S(4))
已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则=（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
9.下列说法正确的是 （ ）
A．“x>2”是“eq \f(1,x)0 B=xlgx+2>0，则 QUOTE （ ）
A. QUOTE B. QUOTE 0,1 0,1 C. QUOTE 1 1D.
【答案】B
已知 QUOTE ， QUOTE ，且 QUOTE ，则（ ）
A． QUOTE x=13 x=13， QUOTE y=1 y=1B． QUOTE x=12 x=12， QUOTE y=−4 y=−4
C．， QUOTE y=−14 y=−14D． QUOTE x=1 x=1， QUOTE y=−1 y=−1
【答案】B
【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.
【详解】因为 QUOTE ， QUOTE ，
所以 QUOTE ， QUOTE
由 QUOTE ，可得 QUOTE ，解之得 QUOTE x=12y=−4 x=12y=−4
故选：B
3.设 QUOTE a>0,b>0 a>0,b>0，且 QUOTE a+2b=1 a+2b=1，则 QUOTE lg2a+lg2b lg2a+lg2b的（ ）
A．最小值为-3B．最小值为3
C．最大值为-3D．最大值为3
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式先求 QUOTE ab ab的范围，然后结合对数的运算性质即可求解.
【详解】因为 QUOTE a>0,b>0 a>0,b>0，且 QUOTE a+2b=1 a+2b=1，
所以 QUOTE ，即 QUOTE ，
当且仅当 QUOTE a=2b a=2b时取等号，
所以 QUOTE ，
即 QUOTE .
故选：C.
4.函数 QUOTE y=(3x−3−x)csx y=(3x−3−x)csx在区间的图象大致为( )
答案 A
5.设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝（ ）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
若过点 QUOTE 1,b 1,b可以作曲线 QUOTE y=lnx+1 y=lnx+1的两条切线，则（ ）
A． QUOTE ln20 ┄ ┄ 13分
设函数 QUOTE f(x)=−2x+a2x+1+b(a>0,b>0). f(x)=−2x+a2x+1+b(a>0,b>0).
若函数 QUOTE f(x) f(x)是奇函数，求 QUOTE a a与 QUOTE b b的值；
在（1）的条件下，判断并证明函数 QUOTE f(x) f(x)的单调性，并求不等式 QUOTE f(x)>−16 f(x)>−16的解集．
解析： （1）由函数 QUOTE f(x) f(x)是奇函数，得 QUOTE f(−x)=−f(x) f(−x)=−f(x)，
即 QUOTE −2x+a2x+1+b −2x+a2x+1+b对定义域内任意实数 QUOTE x x都成立，化简整理得
QUOTE ，它对定义域内任意实数 QUOTE x x都成立，
所以 QUOTE 2a−b=0,2ab−4=0, 2a−b=0,2ab−4=0,所以 QUOTE a=−1,b=−2 a=−1,b=−2或 QUOTE a=1,b=2. a=1,b=2.
经检验 QUOTE a=1,b=2, a=1,b=2,符合题意． ………………………7分
（3）由（2）可知 QUOTE f(x)=−2x+12x+1+2, f(x)=−2x+12x+1+2,由 QUOTE f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1) f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1)
易判断 QUOTE f(x) f(x)为 QUOTE 上的减函数。证明略（定义法或导数法）
由 QUOTE f(1)=−16 f(1)=−16，不等式 QUOTE f(x)>−16 f(x)>−16即为 QUOTE f(x)>f(1) f(x)>f(1)，由 QUOTE f(x) f(x)为 QUOTE 上的减函数
可得 QUOTE x−16即 QUOTE ，
所以 QUOTE 所以 QUOTE x/x0，
设平面 QUOTE BCB1 BCB1法向量为 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ，
QUOTE ，取 QUOTE x=3 x=3，则 QUOTE y=0 y=0， QUOTE z=1 z=1，得 QUOTE ，
QUOTE ，由已知 QUOTE ，
解得： QUOTE b=1 b=1，可得点 QUOTE B0,1,0 B0,1,0，
设为平面的法向量， QUOTE ，
由 QUOTE ，取 QUOTE x1=3 x1=3，则 QUOTE y1=3 y1=3， QUOTE z1=1 z1=1，可得 QUOTE ，
QUOTE ，
由图可知，二面角 QUOTE A1−BB1−C A1−BB1−C为锐角，所以，二面角 QUOTE A1−BB1−C A1−BB1−C的余弦值为.
………………………15分
18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 QUOTE ， QUOTE 1−伪 1−伪；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 QUOTE f伪 f伪，求 QUOTE f伪 f伪的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 QUOTE x1,x2,x3,x4 x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 QUOTE X X（ QUOTE x1,x2,x3,x4 x1,x2,x3,x4中任意相邻的数字均不相同时，令 QUOTE X=1 X=1），若 QUOTE 尾=23 尾=23，求 QUOTE X X的分布列和数学期望．
【答案】(1) QUOTE 14 14
(2)分布列见解析；期望为 QUOTE 20881 20881
【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数 QUOTE f伪 f伪表达式，进一步即可求解最小值；
（2） QUOTE X X的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望.
【详解】（1）由题可知 QUOTE ，
因为 QUOTE 0