江苏省南京市鼓楼区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省南京市鼓楼区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. “顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件
B. “在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C. “从一副扑克牌含大小王中抽一张，恰好是红心”是不可能事件
D. 可能性是的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
3.某煤矿原计划天生产煤，由于采用新的技术，每天增加生产，因此提前天完成，列出的方程为( )
A. B. C. D.
4.顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是矩形，则原四边形一定是( )
A. 平行四边形B. 对角线相等的四边形
C. 对角线互相垂直的四边形D. 矩形
5.如图，，、分别为、的中点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，正方形的边长为，点从点出发沿着线段向点运动不与点、重合，同时点从点出发沿着线段向点运动不与点、重合，点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点，则有下列结论：
是定值；
平分；
当运动到中点时，；
当时，四边形的面积是．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.当____时，分式的值为零．
8.任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为______面朝上的点数小于；面朝上的点数大于；面朝上的点数是奇数．
9.一个样本的个数据分别落在个组内，第、、、组数据的个数分别是、、、，则第组数据的频数为______，频率为______．
10.若分式的值为，当和都变为原来的倍，那么分式的值是______．
11.，求的值______．
12.如图，将▱沿对角线折叠，使点落在处，若，则______．
13.如图所示，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______．
14.▱的周长是，的平分线交所在直线于点，且：：，则的长为______．
15.如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______．
16.如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
；
18.本小题分
甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买千克大米，而乙家庭每次用去元，商店也按价计算卖给乙家庭设前后两次的米价分别是每千克元和元，请问谁的购买方式合算？
19.本小题分
某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间单位：，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表．
课外阅读时间频数分布表
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
______，______；
将频数分布直方图补充完整；
若全校共名学生，估计有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于？
20.本小题分
六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有个红球和若干个白球每个球除颜色外其他相同的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为人次，公园游戏场发放的福娃玩具为个．
求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；
请你估计袋中白球接近多少个？
21.本小题分
如图，已知在四边形中，，，、是对角线上两点，且求证：．
22.本小题分
如图，已知的三个顶点坐标为、、．
请画出关于坐标原点的中心对称图形，并写出点的对应点的坐标：______；
将绕坐标原点顺时针旋转，直接写出点的对应点的坐标：______；
请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标：______．
23.本小题分
如图，已知，平分，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹．
作菱形，使点，分别在边、上，并根据你的作法证明你的结论；
若，，，求中所作菱形的面积．
24.本小题分
如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上以每秒个单位长的速度由点向点运动．
当四边形是平行四边形时，求的值；
在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求处当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
为等腰三角形时，写出点的坐标请直接写出答案，不必写过程．
25.本小题分
阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式的和的形式根据以上阅读材料，解答问题：
将下列分式化为一个整式和一个分式此分式的分子为整数的形式：
______； ______；
利用分离常数法，求分式的最大值．
已知：，，设，若，均为非零整数，求的值．
26.本小题分
数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点探索与之间的数量关系，并说明理由．
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图，当是对角线的中点时，他发现与之间的数量关系是______若点在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．
请你按照小明的思路，完成解题过程；
你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．
答案和解析
1.
解析：解：、、中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.
解析：解：、“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件，故A符合题意；
B、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故B不符合题意；
C、“从一副扑克牌含大小王中抽一张，恰好是红心”是随机事件，故C不符合题意；
D、可能性是的事件，是指这个事件发生的可能性是，故D不符合题意；
故选：．
根据中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3.
解析：
本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键设出天数，以工作效率作为等量关系列方程．设原计划天生产煤，则实际天生产煤，等量关系为：原计划工作效率实际工作效率，依此可列出方程．
解：设原计划天生产煤，则实际天生产煤，
根据题意得，．
故选D．
4.
解析：解：如图，连接、．
四边形是矩形，
，
又点、分别是、各边的中点，
是三角形的中位线，
，
，
又点、分别是、各边的中点，
是三角形的中位线，
，
，
即，
故原图形一定是：对角线互相垂直的四边形．
故选：．
连接、根据矩形的性质、三角形中位线定理，只要证明即可解决问题．
本题考查中点四边形、矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.
解析：解：连接并延长交于，如图所示：
，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
是中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
连接并延长交于，由证得≌，得出，，则是的中位线，再根据中位线的性质即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形中位线定理等知识；关键是正确画出辅助线，证明≌．
6.
解析：解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是定值；故正确；
根据题意无法判断与的大小，平分；
故错误；
当运动到中点时，
当运动到中点，
，
，
为中点，
；故正确；
≌，
四边形的面积的面积，
当时，
，
，
，
，
，
四边形的面积是故正确．
故其中正确的是．
故选：．
根据全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理逐一进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7.
解析：
本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
要使分式的值为，必须分式分子的值为并且分母的值不为．
解：要使分式为，则分子，解得：．
而时，分母．
时分母，分式没有意义．
所以的值为．
故答案为：．
8.
解析：解：任意掷一枚质地均匀的骰子，共有种等可能结果，
其中面朝上的点数小于的有种结果，其概率为；
面朝上的点数大于的有种结果，其概率为；
面朝上的点数是奇数的有种结果，其概率为；
所以按事件发生的可能性大小，按从小到大排列为，
故答案为：．
根据概率公式分别求出每种情况发生的概率，然后比较出它们的大小即可．
此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
9.；
解析：解：根据题意可得：第、、、组数据的个数分别是、、、，
共，
样本总数为，
故第小组的频数是，
频率是．
故答案为，．
总数减去其它四组的数据就是第组的频数，用频数除以数据总数就是频率．
本题考查频率、频数的关系．
10.
解析：解：由题意，，
．
故答案为：．
判断出，利用整体代入的思想解决问题．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
11.
解析：解：，
，
；
故答案为：．
由可得，结合，再代入计算即可得到答案．
本题考查的是分式的基本性质，分式的求值，熟记分式的基本性质是解本题的关键．
12.
解析：解：四边形
，
将▱沿对角线折叠
故答案为：
由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
13.
解析：解：、分别是的边、的中点，
为的中位线，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
故答案为：．
先证明为的中位线，得到四边形为平行四边形，求出，再根据中位线定理即可求解．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形判定与性质等知识，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
14.或
解析：解：分两种情况：
角平分线在▱内部，如图，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
的平分线交所在的直线于点，
，
，
，
：：，
：：，
平行四边形的周长为．
的长为：．
角平分线在▱外部，如图，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
的平分线交所在的直线于点，
，
，
，
：：，
：：，
平行四边形的周长为．
的长为：；
故答案为：或．
证是等腰三角形，分两种情况，分别求得答案即可．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论．
15.
解析：解：菱形的周长为，面积为，
，，
分别作点到直线、的垂线段、，
，
，
．
故答案为：．
直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确得出是解题关键．
16.
解析：解：如图，过点作于，过点作，
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，
，，
，
又，
≌，
，
点在平行且到距离为的直线上运动，
当与重合时，有最小值，此时，
的最小值，
故答案为：．
过点作于，过点作，由“”可证≌，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当与重合时，有最小值，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点的运动轨迹是本题的关键．
17.解：原式


；
原式

．
解析：先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解；
先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解．
本题主要考查了异分母分式相加减，掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
18.解：甲的平均单价：每千克元，
乙的平均单价：每千克元，
．
，，
，
所以乙家庭合算．
解析：根据甲的消费额除以甲的购买数量，可得甲的单价，乙的消费额除以甲的购买数量，可得乙的单价，根据分式的减法，可得答案．
本题考查了分式的加减，利用消费额除以购买数量等于单价得出甲、乙的单价是解题关键．
19.
补全图形如下：
估计平均每天的课外阅读时间不少于的学生有人．
解析：解：、，
故答案为：、；
见答案；
见答案．
利用百分比，计算即可；
根据的值计算即可；
用一般估计总体的思想思考问题即可．
本题考查表示频数分布直方图、频数分布表、总体、个体、百分比之间的关系等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．
20.解：，
参加一次这种活动得到的福娃玩具的概率为；
试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论概率，
估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为．
设袋中白球有个，根据题意得
解得，经检是方程的解，
估计袋中白球接近个．
解析：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
符合条件的情况数目；
全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小；
用中求得的概率和概率公式列出有关白球个数的方程即可求解．
21.证明：，，
四边形是平行四边形．
．
．
又，
≌．
．
解析：先证四边形是平行四边形，再证≌，即可证明．
本题主要考查平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22. 或或
解析：解：，如图所示，．
如图所示，．
满足条件的点的坐标为或或．
故答案为：，，或或．
分别作出，，的对应点，，即可．
作出点的对应点即可解决问题．
分三种情形，画出图形，写出坐标即可．
本题考查作图旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.解：作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、得四边形即为所求菱形，

证明：是的垂直平分线，
，，，
平分，
，

≌，
，
，
四边形是菱形；
四边形是菱形，
，，
，，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
，即，
解得：，
，
菱形的面积．
解析：作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、得四边形即为所求菱形，通过证明四条边相等即可证明；
由四边形是菱形、，可得为直角三角形，通过勾股定理求得、、的长度，再由相似三角形求得的长度，最后由求得的面积．
本题考查了尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，菱形面积的求法等知识，掌握菱形的判定方法，利用勾股定理求出菱形的边长是解决本题的关键．
24.解：四边形是平行四边形，
，
，
．
为菱形，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
点的坐标为．
当时，由勾股定理可以求得，
时，作，
；
当时，作，由勾股定理，得，
；
当时，作，由勾股定理，得
，
．
，，，．

解析：根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值．
要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值．
当或或或时分别作于，于，于，利用勾股定理，，，的值，就可以求出的坐标．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．解决本题的关键是熟记平行四边形、菱形的判定．
25.
解析：解：将下列分式化为一个整式和一个分式此分式的分子为整数的形式：
；
．
故答案为：，；
，
，当时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大，
当时，分母的值越大，分式的值越小，
当时，，
即当时，分式有最大值，最大值为．
，，，
，
、均为非零整数，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，的值为或．
根据题意，，，由此即可求解；
用分离常数法，分式得，由此即可求解．
先计算得到，由、均为非零整数，即可得到答案．
本题主要考查分式的综合运用，解题的关键是运用“分离常数法”对分式化为一个整式和一个分式此分式的分子为整数的形式．
26.
解析：解：，理由如下：
四边形是正方形，是对角线的中点，
，．
，
，
点与点重合，
，
；
如图，延长，作，交的延长线于点，连接，
四边形是正方形，
，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
．
，，
，，
，
，
，
．
．
≌．
，．
，
是等腰直角三角，
，
，
，
故答案为：．
如图，作，并截取，连接、，
四边形是正方形，
，，
，
同理，，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
．
，
，
，
四边形为平行四边形，
．
．
延长，作，交的延长线于点，连接，证明四边形为平行四边形，从而证明得到是等腰直角三角形，得到，故可求解；
作，并截取，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，，再得到四边形为平行四边形，则，故可求解．
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．课外阅读时间
频数
百分比
合计