河南省驻马店市新蔡县新蔡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

这是一份河南省驻马店市新蔡县新蔡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．计算：的结果是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ）
A．B．10C．D．2
4．设的内角的对边分别为，已知，且，则角（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的母线长为（ ）
A．B．C．D．5
7．已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．学校食堂每天中午都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐概率为，选择套餐概率为；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A．是周期4的周期函数B．图象关于点对称
C．D．图象关于点对称
11．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ）
A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数是圆的一个太极函数；
C．存在圆，使得是圆的太极函数；
D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为 .
13．已知,则曲线在点处的切线斜率为 .
14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角所对的边分别为，，，的外接圆半径为，，且．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长．
16．如图，已知平面ACD，平面ACD，三角形ACD是正三角形，且，F是CD的中点．
(1)求证：平面平面CDE；
(2)求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．
17．在平面直角坐标系中，点在运动过程中，总满足关系式.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线和，分别与交于和，线段和的中点分别为，若，证明直线过定点.
18．已知函数．
(1)若对恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若曲线与x轴交于A，B两点，且线段AB的中点为，求证：．
19．设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.
参考答案：
1．因为集合且，
即又，所以．故选：A．
2．根据复数代数形式的运算法则计算可得.
【详解】.故选：D
3．若向量，，则，
，则，
.故选：B
4.由，得，
由正弦定理，得，
或.又.
故选：B.
5．因为和在上均单调递增，
所以在上单调递增．
因为是定义在上的偶函数，所以可化为，
所以，解得．故选：D
6．设圆台的高为h，则圆台的体积为，解得，
所以圆台的母线长为.故选：D.
7．令，则，
因为对于恒成立，所以，
所以在上递减，所以，
所以，，所以，，故选：C
8．因为，
则，
所以的图象关于对称，因为，此时不成立，
当时，由，即，则，
，，，
在同一平面直角坐标系中画出与，的图象如下所示：
由图可得与在上有且仅有个交点，图象都关于，
所以所有的实根之和为.故选：A
9．因每人每次只能选择两种套餐中的一种，故必有，故A正确；
依题意，，则，
因，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列.
于是，，即故C正确；
因，故，
依题，当时，，故,
则，
因，则，故，故D正确；
因，则，故B错误.故选：ACD.
10．对于A、B，因为为偶函数，所以，即，
所以函数的图象关于对称，又为偶函数，
所以，两边求导得，
所以，即，即，关于对称，
所以，即，所以是周期为4的函数；
故A、B正确；
对于C，由，令，得，令，得，
因为，所以，即，
又周期为4，所以，故C错误；
对于D，又因为周期为4，故，即，
所以，因此，
又，则，
所以，所以，即得，
所以函数的图象关于直线对称，结合A、B结论，选项D错误.故选：AB.
11．对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，

显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误；
对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象，
即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称，
因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确；
对于C，的定义域为，且，
即为奇函数，图象关于对称，

若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上，
因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误；
对于D，直线，即，
由，解得，则直线恒过定点，
显然直线经过圆的圆心，
该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确，故选：BD
12．依题意，抛物线上点到拋物线的准线的距离为，
所以到轴的距离为.故答案为：2
13．,两边求导,,令,
则,,令，故答案为：.
14．根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为；其阳历生日日期是偶数的概率也是，
所以随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有人，
所以200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有人；
所以抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为人，
由此估计此中学学生有A习惯人数的百分比为．
故答案为：5%.
15．（1）解：由，
可得，所以，
又由正弦定理，可得，
即，所以，
可得或，即或（舍去），
因为，可得，
所以．
（2）解：由（1）可得，，
则，
又由正弦定理得，
令，，，其中，
则，解得，
因此的周长为．
16．（1）证明：因为平面ACD，平面CDE，所以平面平面ACD．
在底面ACD中，，平面平面，由面面垂直的性质定理知，平面CDE．
取CE的中点M，连接BM，FM，
由已知可得且，则四边形FMBA为平行四边形，
从而．
所以平面CDE．又平面BCE，则平面平面CDE．
（2）过F作交CE于N，则平面CBE，连接EF，
则就是直线EF与平面CBE所成的角．
设，则，，，，
在中，∴．
故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．
17．（1）由椭圆定义，点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，
所以点的轨迹的方程为；
（2）设直线的方程为 直线 的方程为 因为过点，所以:
联立直线与椭圆的方程，消去 y 整理得
，
设由韦达定理可得：，
所以 ，
联立直线 的方程 和直线GH的方程 ，
可解得 所以
整理得点横坐标所在方程，
同理可得点横坐标所在方程，
因此，是一元二次方程 的两个根，则有
，
又 ，所以 ，整理得：，
所以直线的方程为 ，
故直线过定点.
18．（1）解：因为函数，可得其定义域为，
由，即，化为，
因为对恒成立，即恒成立，
令，则，可得，
设，则，
当时，，当时，，
故在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，
当时，，当时，，
故在区间内单调递减，在区间内单调递增，则，
所以实数a的取值范围是．
（2）证明：令，
由（1）知方程有两个不等实根，且一根小于1，另一根大于1，
不妨设，因为，
所以，
又因为，构造函数，，则，
得在单调递增，，即，
即，即，
要证，即证，
即证，即证，
构造函数，
则，
故在区间内单调递减，则，即，
取，则有，即，故．
19．（1）因为，可知数列是以为首项，公比为的等比数列；
所以，
而，且31与9互质；
易知
，所以；
，
所以； 结合整除性质②可知：；
（2）因为，
且为奇数，所以；
因此能被整除.
（3）易知.
当时，，
，
上式中，由（2）知，能被整除，
另一方面，
，
上式中，所以也能被整除，且与互质，
所以能被整除，即能被整除.
类似可证当时，，
，
显然，由（2）知，能被整除；
另一方面，
，
所以能被整除；且与互质.
能被整除.
综上可知能被整除.