2024年福建省中考真题数学试题（含答案）

这是一份2024年福建省中考真题数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．B．0C．D．
2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得D．无论实数取什么值，都有
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．因式分解：______．
12．不等式的解集是______．
13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分）
14．如图，正方形的面积为4，点分别为边的中点，则四边形的面积为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______．
16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
计算：．
18．（8分）
如图，在菱形中，点分别在边和上，且．
求证：．
19．（8分）
解方程：．
20．（8分）
已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
（1）求A地考生的数学平均分；
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．
21．（8分）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
22．（10分）
如图，已知直线．
（1）在所在的平面众求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．
23．（10分）
已知实数满足．
（1）求证：为非负数；
（2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
24．（12分）
在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A．B．
C．D．
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
25．（14分）
如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求证：与互相平分．
数学试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识与基本技能。每小题4分，满分40分。
1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．A 8．A 9．B 10．C
二、填空题：本题考查基础知识与基本技能。每小题4分，满分24分。
11． 12． 13．90 14．2 15． 16．128
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17．本小题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，考查运算能力．满分8分．
解：原式．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
18．本小题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等．满分8分．
证明：四边形是菱形，
．
在和中，
，．．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
19．本小题考查分式方程的解法等基础知识，考查运算能力．满分8分．
解：方程两边都乘，得．
解得．
经检验，是原方程的根．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考
20．本小题考查加权平均数等基础知识，考查数据观念、抽象能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想．满分8分．
解：（1）由题意，得A地考生的数学平均分为．
（2）不能．
举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为
．
因为，所以不能判断B地考生数学平均分一定比地考生数学平均分高．
注：本题答案不唯一，只要学生能作出正确判断，并且所举的例子能说明其判断即可．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
21，本小题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分8分．
解：（1）将代入，得
解得
所以，二次函数的表达式为．
（2）设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
22．本小题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数、线段的垂直平分线、勾股定理等基础知识，考查推理能力、几何直观等，考查分类与整合思想等．满分10分．
解：（1）
所以直线就是所求作的直线．
（2）①当时，
，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：，
，
．
（2）当时，
分别过点作直线的垂线，垂足为，
．
，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，
．
，，
，，
．
在中，由勾股定理得，
．
．
（3）当时，同理可得，．
综上所述，的面积为1或．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
23．本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，考查综合应用所学知识分析、解决问题的能力：考查化归与转化思想、分类与整合思想等．满分10分．
解：（1）因为，
所以．
则
．
因为是实数，所以，
所以为非负数．
（2）不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
24．本小题考查展开与折叠等基础知识；考查空间观念、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识等，考查应用所学知识分析、解决问题的综合实践能力；考查特殊与一般思想等．满分12分．
解：（1）2．
（2）C．
（3）
说明：本小题第（3）问为开放性试题，依据“满意原则”和“加分原则”的要求，采用“分层给分”．根据考生答题情况，分为下列四个等级，按等级赋分．
A．展开图正确，并能合理利用型号Ⅲ的卡纸，同时考虑“大张优先原则”，且总费用最省．
B．展开图正确，并能合理利用型号Ⅲ的卡纸，基本上能考虑“大张优先原则”，但总费用没有最省．
C．展开图正确，基本上能考虑“大张优先原则”，但未必能合理利用型号Ⅲ的卡纸．
D．所选卡纸能完成制作27个礼品盒的任务，正确求出所用卡纸的总费用．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
25．本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等．满分14分．
解：（1），且是的直径，
．
，
在中，．
，
在中，．
，．
（2）过点作，交延长线于点．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，，
．
（3）连接．
是的直径，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张）
1
3
2
所用卡纸总费用（单位：元）
58