2024年广东省河源市龙川县登云中学中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省河源市龙川县登云中学中考数学一模试卷，共14页。
1．（3分）如果收入3万元，记作+3万元，那么﹣2万元表示（ ）
A．收入2万元B．支出﹣2万元
C．支出2万元D．利润是2万元
2．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2
C．a8÷a4＝a4D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（ ）
A．57°B．47°C．67°D．33°
5．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则下列三角函数值不正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）将抛物线y＝2（x+1）2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣1B．y＝2x2﹣1
C．y＝2（x+2）2+1D．y＝2（x﹣1）2﹣1
7．（3分）一组数据0，1，1，2，若添加一个数1后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个B．6个C．7个D．8个
10．（3分）下列关于等边三角形的说法不成立的是（ ）
A．等边三角形的三条边相等，三个角相等
B．等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴
C．角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形
D．有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若一个正数的平方根是3a+1和a﹣5，那么a＝ ．
12．（3分）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为 ．
13．（3分）一个布袋中放有4个黑球和6个黄球，除颜色外其余均相同，从布袋中任取一个球，取出黄球的概率为 ．
14．（3分）如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB＝40°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，则∠ACB的度数为 ．
15．（3分）如图，量筒的液面A﹣C﹣B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点C（点E、C、B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm，则平视点C，点C的高度为 mm．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（5a2﹣3b2）+2（2b2﹣3a2），其中a＝﹣1，b＝2．
17．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．若该方程的一个根为1，求a的值及另一个根．
18．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，仅用无刻度的直尺作图：
（1）在BC上取点M，使四边形ABME为平行四边形；
（2）在CD的延长线上取一点F，使四边形BDFA为平行四边形．
19．（9分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如图所示两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
20．（9分）某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下：
销售商购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件．
（1）若销售商购进A品牌的儿童玩具为x（件），求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式；
（2）若想使得销售完这30件儿童玩具获得的总利润为1300元，则应购进A品牌的儿童玩具多少件？
21．（9分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
22．（12分）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：收入和支出是互为相反意义的量．若收入记作“+”，那么支出用“﹣”表示．
﹣2万元表示支出2万元．
故选：C．
2． 解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，不符合题意；
C．图形是轴对称图形，符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
3． 解：A、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
B、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此选项错误；
C、a8÷a4＝a4，正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：C．
4． 解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠1＝33°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣33°＝57°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝57°，
故选：A．
5． 解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴，
，，．
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
6． 解：抛物线y＝2（x+l）2的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y＝2（x+2）2﹣1．
故选：A．
7． 解：原数据的平均数为＝1，中位数为＝1，众数为1，方差为×[（0﹣1）2+2×（1﹣1）2+（2﹣1）2]＝0.5；
新数据的平均数为＝1，中位数为1，众数为1，方差为×[（0﹣1）2+3×（1﹣1）2+（2﹣1）2]＝0.4；
所以前后两组数据的统计量会变小的是方差，
故选：D．
8． 解：根据题意，可列方程组为．
故选：C．
9． 解：如图所示：
或，
故组成该几何体的小正方体的个数最少为：2+2+1+1＝6（个）．
故选：B．
10． 解：等边三角形的三条边相等，三个角相等，A不符合题意；
等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴，B不符合题意；
角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形或者等腰三角形，C符合题意；
有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形，D不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：∵一个正数的平方根是3a+1和a﹣5，
∴3a+1+a﹣5＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
12． 解：
∵在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AB＝16，
∴CD＝AB＝8，
故答案为：8．
13． 解：∵一个布袋中放有4个黑球和6个黄球，它们除了颜色外其余都相同，
∴从布袋中任意摸出一个球是黄球的概率为：＝．
故答案为：．
14． 解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝40°，
∴在四边形OAPB中，∠AOB＝360°﹣∠APB﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°．
①若C点在优弧AB上，则∠ACB＝∠AOB＝70°；
②若C点在劣弧AB上，则∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：70°或110°．
15． 解：如图，连接BD、OA、OB、OC，OC交AB于点G，
∵∠DAB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
由垂径定理得AG＝BG，
∴OG是△BAD的中位线，
∴OC∥DE，
∴，
∴BC＝CE，
∴，
∴⊙O的直径为14，
∵AB＝10，
∴，
∴，
∵CF∥AB，
∴，
∴，
∴点F的高度即点C的高度为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝5a2﹣3b2+4b2﹣6a2
＝b2﹣a2；
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝22﹣（﹣1）2＝4﹣1＝3．
17． 解：把x＝1代入x2+ax+a﹣3＝0，得12+a+a﹣3＝0．
解得a＝1．
设该方程的另一根为x2，则1•x2＝﹣3．
故x2＝﹣3．
综上所述，a的值为1，另一个根是﹣3．
18． 解：（1）如图，点M即为所求．
（2）如图，点F即为所求．
19． 解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）1800×＝1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
20． 解：（1）由题意可得：y＝（200﹣150）x+（150﹣120）（30﹣x）＝20x+900，
∴销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式y＝20x+900；
（2）当y＝1300，则1300＝20x+900，
解得x＝20，
答：应购进A品牌的儿童玩具20件．
21． 解：（1）连接OC，如图：
∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴＝2，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD•AD，
∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为．
22． 解：（1）猜想，证明如下：
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，AB，AC的中点分别为D，E，
∴，，
∴，则，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴，
∴，
将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，
根据旋转的性质可得：
∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴；
（2）∵AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，
∴DE∥BC，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∵，
解得：．
23． 解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
所以，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3．
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，即△ABC的面积是6；
（3）设BC的解析式为y＝kx+t，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝．
A品牌
B品牌
进价（元/件）
150
120
售价（元/件）
200
150