2024年广东省河源市龙川县龙母中学中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省河源市龙川县龙母中学中考数学一模试卷，共18页。
1．（3分）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（ ）
A．25.28千克B．25.18千克C．24.69千克D．24.25千克
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．a6÷a2＝a4
C．（a+b）2＝a2+b2D．3a3﹣a2＝2a
4．（3分）如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（ ）
A．57°B．47°C．67°D．33°
5．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠B的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣3（x＝1）2﹣3D．y＝﹣3（x+1）2﹣1
7．（3分）一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小立方体的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（ ）
A．中线、角平分线、高线B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线D．角平分线、中线、高线
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若一个正数a的平方根是2x﹣2与7﹣x，则a的值是 ．
12．（3分）掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是 ．
13．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是 ．
15．（3分）如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮⊙O的直径为AB，车架AC经过圆心O，地面水平线CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．小明测出车轮的直径AB＝1米，BC＝2米，则AD的长为 米
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：2（3x2y﹣xy2）﹣（﹣xy2+3x2y）．其中x＝2，y＝﹣1．
17．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．若该方程的一个根为1，求a的值及另一个根．
18．（8分）已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE＝EF＝FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD＝AC．所以点C，D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵EH＝BG，BH＝EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∴EH∥BG，即EC∥BG．
∴AC： ＝AE：AG．
AE＝EF＝FG，
∴AE＝ AG．
∴AC＝AB＝CD．
∴DB＝AB．
∴AC＝CD＝DB．
19．（9分）某校开设街舞、唱歌、吉他三项延时活动课程，随机抽取了部分学生对这三项活动课程的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢吉他的人数．
20．（9分）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接DB，AC，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点F，且∠ABD＝2∠BDC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，tan∠BDC＝，求线段OE的长．
22．（12分）已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F为BC中点，D为BC边上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，连接CE、DE．
（1）如图1，若，AC＝4，求AD的长；
（2）如图2，过点F作FG⊥AC于点G，延长FG交DE于点H，求证：EH＝DH；
（3）如图3，在（1）的条件下，K为线段BC上一点，连接AK，将△AKC沿AK翻折得△AKC′，点C对应点C′，点M为线段AC′与线段BC的交点，当△C′MK为等腰三角形时，直接写出的值．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，
∴合格面粉的质量的取值范围是：（25﹣0.25）千克～（25+0.25）千克，
即合格面粉的质量的取值范围是：24.75千克～25.25千克，
故选项A不合格，选项C不合格，选项B合格，选项D不合格．
故选：B．
2． 解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
3． 解：（a3）2＝a6，则A不符合题意；
a6÷a2＝a4，则B符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则C不符合题意；
3a3与a2不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：B．
4． 解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠1＝33°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣33°＝57°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝57°，
故选：A．
5． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴csB＝＝．
故选：D．
6． 解：将抛物线y＝﹣3x2+2向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）2+2；
再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+1）2+2﹣3，即y＝﹣3（x+1）2﹣1．
故选：D．
7． 解：A、原来数据的平均数是，添加数字6后平均数为，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是4，添加数字6后中位数仍为4，故符合题意；
C、原来数据的众数是4，添加数字6后众数为4和6，故不符合题意；
D、原来数据的方差＝[（3﹣）2+2×（4﹣）2+（6﹣）2]＝，
添加数字6后的方差＝[（3﹣）2+2×（4﹣）2+2×（6﹣）2]＝，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：B．
8． 解：根据题意，可列方程组为．
故选：C．
9． 解：根据主视图与俯视图可知，搭成该几何体的小立方体的个数是1+1+2＝4（个）．
故选：D．
10． 解：由题知，
由图①的折叠方式可知，
∠BAD＝∠CAD，
所以AD是△ABC的角平分线．
由图②的折叠方式可知，
∠ADB＝∠ADB′，
又因为∠ADB+∠ADB′＝180°，
所以∠ADB＝∠ADB′＝90°，
即AD⊥BC，
所以AD是△ABC的高线．
由图③的折叠方式可知，
CD＝BD，
所以AD是△ABC的中线．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：∵一个正数a的平方根是2x﹣2与7﹣x，
∴2x﹣2+7﹣x＝0，
解得：x＝﹣5，
则7﹣x＝7﹣（﹣5）＝12，
那么a＝144，
故答案为：144．
12． 解：根据题意不大于4的面有1，2，3，4，
则向上一面的数不大于4的概率是＝，
故答案为：．
13． 解：根据题意得：阴影部分的面积为，
∴新正方形的边长是．
故答案为：．
14． 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣62°＝28°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝，CE＝BC，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCE＝62°，
故答案为：62°．
15． 解：如图所示，连接OD，延长CD，作AE⊥CD延长线于点E，
∵CD与⊙O切与点D，
∴OD⊥CD，且AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴△COD∽△CAE，
∴，
∵AB＝1m是直径，
∴，则，AC＝AB+BC＝1+2＝3，
∴，
在Rt△COD中，，
在Rt△ACE中，，
∴，
∴在Rt△AED中，，
∴AD的长为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝6x2y﹣2xy2+xy2﹣3x2y
＝3x2y﹣xy2，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝3×22×（﹣1）﹣2×（﹣1）2＝﹣12﹣2＝﹣14．
17． 解：把x＝1代入x2+ax+a﹣3＝0，得12+a+a﹣3＝0．
解得a＝1．
设该方程的另一根为x2，则1•x2＝﹣3．
故x2＝﹣3．
综上所述，a的值为1，另一个根是﹣3．
18． 解：（1）依作法补全图形如下：
（2）证明：∵EH＝BG，BH＝EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据），
∴EH∥BG，即EC∥BG．
∴AC：AB＝AE：AG．
AE＝EF＝FG，
∴AE＝AG．
∴AC＝AB＝CD．
∴DB＝AB．
∴AC＝CD＝DB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，AB，．
19． 解：（1）10÷20%＝50（人），50+30+6+14＝100（人），
故答案为：100；
（2）样本中选择“唱歌”的女生人数为：50﹣10﹣16＝24（人）
补全条形统计图如图所示：
（3）1200×＝360（人），
答：该校有1200名学生中喜欢吉他的学生大约有360人．
20． 解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套，
由题意可得：，
解得，
答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20，
∴w随m的增大而减小，
∵10≤m≤20，
∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19，
答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．
21． （1）证明：连接OC，则∠BOC＝2∠BDC，
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BOC＝∠ABD，
∴OC∥DB，
∵CF⊥DB，
∴∠F＝90°，
∴∠OCF＝180°﹣∠F＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为，
∴∠ACB＝90°，OC＝OB＝，AB＝2，
∵∠A＝∠BDC，
∴＝tanA＝tan∠BDC＝，
∴AC＝2BC，
∴AB＝＝＝BC＝2，
∴BC＝2，
∴∠FCB+∠OCB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，且∠OCB＝∠ABC，
∴∠FCB＝∠A＝∠BDC，
∴＝tan∠FCB＝tan∠BDC＝＝，
∴CF＝2BF，
∴BC＝＝＝BF＝2，
∴BF＝，
∴DF＝2CF＝4BF＝4×＝，
∴BD＝DF﹣BF＝﹣＝，
∵OC∥DB，
∴△OCE∽△BDE，
∴＝＝＝，
∴OE＝OB＝×＝，
∴线段OE的长是．
22． 解：（1）∵∠BAC＝120°，将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝120°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点F为BC中点，AC＝4，
∴∠B＝∠ACF＝30°，AF⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点E作EM∥BC交FH的延长线于点M，交EC于点N，连接AN，AH，
∵FG⊥AC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AF⊥BC
∴∠FAC＝60°，∠AGF＝90°，∠B＝∠ACF＝30°，
∴∠AFG＝30°，∠HFD＝60°，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ECA＝∠B＝30°，∠NCD＝60°，
∵EM∥BC，
∴∠NFC＝∠NCF＝∠M＝∠MEC＝60°，
∴△EMN与△CFN为等边三角形，
∴EN＝NM＝ME，NF＝FC＝NC，
∵∠ACN＝∠ACF，AC＝AC，
∴△ACF≌△ACN（SAS），
∴AN＝AF，∠ANC＝∠AFC＝90°，
在Rt△AFD与Rt△ANE中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△ANE（HL），
∴NE＝FD＝EM，
∵∠M＝∠MFC＝60°，∠EHM＝∠FHD，
∴△EHM≌△DHF（AAS），
∴EH＝HD；
（3）①当MC'＝MK时，如图所示，
∵∠ACB＝30°，
∴∠C'＝∠MKC'＝30°，∠AMC＝60°，
∴∠CAM＝90°，∠MAF＝30°，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM，
∵将△AKC沿AK翻折得△AKC'，
∴∠CAK＝∠KAM＝45°，AM＝2MF，AM2＝AF2+MF2即（2MF）2＝22+MF2，
解得：，
∴，
由（1）得，，
∴，
过点K作KG⊥AM，
∴∠GKM＝30°，
∴，
∴，
∵∠C'＝30°，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
②当KC'＝MK时，如图所示，
∴∠C'＝∠KMC'＝30°，
∴∠ACM＝∠KMC'＝30°，
∴AM∥AC与题意矛盾，舍去；
③当KC'＝C'M时，如图所示，
∵∠ACB＝30°，
∴∠C'＝∠ACB＝30°，
∴∠C'MK＝∠MKC'＝∠AMF＝75°，
∴∠FAM＝15°，∠MAC＝∠FAC﹣∠FAM＝45°，
过点M作MG⊥AC，
∴AG＝MG，
∵∠ACB＝30°，
∴CM＝2GM，
∴，
∵AC＝4，
∴，
∴，
∴，
∵AC'＝AC＝4，
∴，
∵，
∴．
23． 解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
所以，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3．
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，即△ABC的面积是6；
（3）设BC的解析式为y＝kx+t，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝．
A
B
进价（万元/套）
3
2.4
售价（万元/套）
3.3
2.8