湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学模拟试卷

这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学模拟试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．在矩形ABCD中，，，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．现有甲､乙两人参加射箭比赛，成绩如下：甲：，乙：，则下列说法错误的是（ ）
A．甲的射箭成绩的中位数为61.5
B．乙的射箭成绩的平均数为78
C．甲的射箭成绩的方差为26
D．乙的射箭成绩的标准差为
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则与不是共线向量
6．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是（ ）
A．B．C．D．
8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立D．事件N与事件Y相互独立
二、多选题
9．一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AB的斜率是B．
C．D．
10．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示，正四棱台中，，点P在四边形ABCD内，点E是AD上靠近点A的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．该正四棱台的高为
C．若，则动点P的轨迹长度是
D．过点E的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为
三、填空题
12．若，则 ．（结果用的代数式表示）
13．已知，是关于的实系数方程的一个根，则 .
14．函数在上单调递减，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合.若方程在上的解为，则 .
四、解答题
15．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率．
16．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．

(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求的周长．
18．已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
19．在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正切值．
湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学参考答案
1．D
【分析】求出集合A、B，再根据集合交并补运算直接计算即可判断.
【详解】由题，
所以，，，，
故A、B、C错误，D正确.
故选：D.
2．A
【分析】利用三角函数值的符号判断点所在象限即可.
【详解】依题意，，则，即，
所以点在第一象限，即为第一象限角.
故选：A
3．C
【分析】利用平行四边形法则化简为，然后可得.
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，
所以.
故选：C

4．B
【分析】根据数据求得中位数、平均数、方差、标准差，判断各选项的正误即可.
【详解】对于A，由题意，得甲的射箭成绩的中位数为，故A正确；
对于B，乙的射箭成绩的平均数，故B错误；
对于C，甲的射箭成绩的平均数，
所以甲的射箭成绩的方差为
，
故C正确；
对于D，乙的射箭成绩的方差为
，
所以乙的射箭成绩的标准差为，故D正确.
故选：B.
5．C
【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误.
【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误.
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.
对于C，若，则必定共线，故，故C成立.
对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与可以为共线向量，故D错误.
故选：
6．C
【分析】由复数的除法运算可得，再由共轭复数可知问题的结果.
【详解】由得：，
即，所以，故复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
7．C
【分析】由正弦定理、勾股定理依次得圆柱底面半径以及高，结合圆柱的体积公式即可得解.
【详解】设圆柱底面半径为，由题意结合正弦定理有，解得，
从而圆柱的高为，
所以圆柱的体积是.
故选：C.
8．C
【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：
①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，
所以，，，，
因为事件与事件互斥，所以，又，
所以事件M与事件N不相互独立，故A错误；
，故B错误；
由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确；
因为事件N与事件Y互斥，所以，又，
所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出，，，，再根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可.
9．ABD
【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可.
【详解】对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确；
对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为：
，且，所以，选项B正确；
对于C，直线即直线的方程为：，即，
将代入得：，所以点，，选项C不正确；
对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确；
故选：ABD.
10．AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.
【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，
，A正确，B错误；
，D正确，C错误.
故选：AD
11．ABD
【分析】对于A选项，利用余弦定理求出，然后勾股定理证，同理证，从而得证；对于B选项，作出四棱台的高为，利用勾股定理即可求解；对于C选项，求出长度，发现为定值，根据圆的定义，确定动点的轨迹为圆，所求轨迹长度为圆与正方形的相交的一段弧长；对于D选项，在棱，上取点，，利用平行作出平面的平面，求三角形的面积即可.
【详解】对于A选项，因为，所以，
由余弦定理可知，，解得，
所以，即，同理可得，
又因为，、平面，
所以平面，故正确；
对于B选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，
因为，，所以，
所以，故B正确；
对于C选项，由勾股定理得，
故点的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，
其中，故，又，
由勾股定理得，由于，
所以，故，
故动点的轨迹长度是，故C错误；
对于D选项，如图①，分别在棱，上取点，，使得，易得平面平面，
所以即为平面截该四棱台所得截面多边形，易知，
所以，，
所以截面多边形的面积为，故D正确，
图①：
图②：
故选：ABD.
12．/
【分析】根据对数的运算性质化简即可.
【详解】.
故答案为：.
13．
【分析】方法1：先对化简得到，.再将代入方程中，建立二元一次方程组，分别求出的值，即可得到结果.
方法2：由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，，都是关于的实系数方程的根,然后利用根与系数的关系求得的值，即可得到的值.
【详解】已知，则，，为实系数方程的一个根.
方法1：将代入方程有，化简得.
所以，解得，，所以.
方法2：因为，都是方程的根，由韦达定理有，，
所以.
故答案为： .
14．/0.5
【分析】设出最小正周期为T，根据题意得到，求出，分两种情况，讨论后得到，，由对称性可得，代入求值，得到答案．
【详解】设的最小正周期为T，则，故，
又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，
故为函数的一个周期，故最小正周期，即，解得，
若，则，时，，
此时满足在上单调递增，不满足要求，
若，则，
时，，令，
由于在上单调递减，故在上单调递减，符合要求，
，，，
由对称性可得，即，所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出；
（2）根据分层抽样得到选取的6人中观看时长在和的人数，利用列举法求出相应的概率.
【详解】（1），
解得；
（2）和的频率之比为，
故选取的6人中观看时长在的人数为，设为，
观看时长在的人数为，设为，
则抽取的2人有以下情况，，
，
共15种情况，
其中抽取的2人恰好观看时长在的有，
共6种情况，
故抽取的2人恰好观看时长在的概率为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为；
（2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）由题意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的长为，
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
即与夹角的余弦值为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得的值；
（2）利用三角形的面积列方程，求得的值，结合余弦定理求得的值，进而求得三角形的周长.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
且，可得，
且，可知，可得.
（2）由（1）可知：，，则，
因为的面积为，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
所以的周长为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为且，
所以，解得；
（2）由（1）可得，
当时，函数在上单调递减，且；
当时，则在上单调递增，
在上单调递减，且，，即；
所以的图象如下所示：
因为函数在上恰有两个零点，
即函数与在上恰有两个交点，
由图可知或，即实数的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）取PA的中点F，证得和，得到平面，则，进而证得平面，即可证得；
（2）根据题意，证得平面，得到，过作的垂线，证得平面，得到，得出二面角的大小为，在直角中，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF，
因为是等边三角形，F是PA的中点，所以，
又因为F是PA的中点，E是棱PD的中点，所以，
因为四边形ABCD是矩形，所以，所以，
又因为，所以，
因为，且平面PAB，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面BEF，所以.
（2）解：因为平面PAB，平面，所以，
又因为，，且平面，所以平面，
因为平面PDA，所以，
过作的垂线，垂足为，连接，如图所示，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，所以二面角的大小为，
在等边中，因为，可得，
在直角中，由，则，可得，
在直角中，可得．