2024年上海高考数学模拟试卷及答案

这是一份2024年上海高考数学模拟试卷及答案，共28页。

（一）
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．不等式的解集为____________．
2．已知向量，，则____________．
3．已知复数，则____________．
4．的二项展开式中的常数项为____________．
5．设随机变量服从正态分布，若，则实数_____．
6．椭圆的离心率为，则____________．
7．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为____________．
8．已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________．
9．对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是____________．
10．从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则_________．
11．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的速度匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率_________
12．如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以△为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为____________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．函数的最小值是 ．
A．B．C．D．
14．已知点是抛物线上一点，点到的准线的距离为，是轴上一点，则“点的坐标为”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件，
15．设是首项为，公比为的等比数列的前项和，且，则（ ）．
A．B．C．D．
16．如图，已知直线与函数的图像相切于两点，则函数有（ ）．
A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点
三．解答题（本大题共有5题,满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
对于函数，其中，．
（1）求函数的单调增区间；
（2）在锐角三角形中，若，，求△的面积．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，三棱柱是所有棱长均为的直三棱柱，分别是棱和棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值大小．
19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题（ = 1 \* rman i）4分，第2小题（ = 2 \* rman ii）6分)
垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：
（1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？
附：，其中，．
（2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．
（ = 1 \* rman i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ = 2 \* rman ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．
20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
已知双曲线，，分别为其左、右焦点．
（1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程；
（2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；
（3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21（2）图

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
（1）若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（2）若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．
参考答案
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．；2．；
3．；4．；
5．；6．；
7．；8．；
9. ；10. ；
11．；12. .
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. ；14. ； 15． ；16..
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）

由，得
所以，函数的单调增区间是．
（2）由已知，所以
因为，所以，即，所以
又，所以，，
所以，△的面积．
18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
解：（1）为棱中点，△为正三角形，.
又三棱柱是直三棱柱，
平面，又平面，，
因为
平面平面，
平面，平面平面
（2）由（1）得平面， 平面，
，是二面角的平面角
在△中，
二面角的余弦值为．
19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题（ = 1 \* rman i）4分，第2小题（ = 2 \* rman ii）6分)
解：（1）提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
确定显著性水平，由题意得，
可得，
由，且，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.
（2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为，
故比赛只进行3局就结束的概率为；
（ii）的可能取值为，
，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故，
，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，
故，
，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得，
所以分布为
故数学期望为
20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）因为双曲线，所以，所以，
即，，
所以双曲线的渐近线方程是
（2）解法一：由题意可知，，，
所以，
，即是椭圆右顶点
设圆的半径为，因为圆的面积为，则，即，
，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，
可得，
解得直线的斜率为
（3）假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，
设，，，，中点为，，
又，，
由，可知△为等腰三角形，，且直线不与轴重合，
于是，即，
因此，，
，点，在双曲线上，
所以，
①②化简整理得：，，
则，
可得，
，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得，，
得或（舍）所以
由，得，
所以直线的方程为．
21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）∵
∴是为周期为的周期数列．
（2）①当时，，，
∴当时，是周期为1的周期数列；
②当时，记，则，
，当且仅当时等号成立．
即，所以在上严格增．
若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列；
同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列．
综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列．
（3）证明：
必要性．
若存在，使得是周期数列，设的周期为，则
，
所以是周期为的周期数列．
充分性．
若是周期数列，设它的周期为，记，则
，是关于x的连续函数；
，是关于x的连续函数；
…
，是关于x的连续函数；
，
令，则是连续函数，且
，，
∴存在零点．于是
取，则，从而
，
，
……
一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列．
（二）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
2.对于数列，“”是“为递增数列”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.若过点可以作曲线的三条切线，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知等差数列的首项为，前项和为，若，则公差为______．
6.在数列中，，，则数列的第项为______．
7.已知是等差数列，公差，，且，，成等比数列，则数列的前项和 ．
8.已知等差数列的前项和为，若，且，则 ______．
9.设等差数列的前项之和为满足，那么______．
10.已知数列的前项和，则数列的通项公式为______．
11.已知，若对于任意的，都有，则实数的最小值为______．
12.若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数的取值范围是______．
13.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为 ．
14.已知函数的单调减区间为，若，则的最大值为______．
15.黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于年提出，是至今仍未解决的世界难题黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手已知正项数列的前项和为，且满足，则 ______其中表示不超过的最大整数．
16.若函数的极小值点只有一个，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列．
Ⅰ 求等比数列的通项公式；
Ⅱ 若数列满足，求数列的前项和的最大值．
18.本小题分
已知函数，求解集；
设曲线在点处的切线与直线垂直，求的值．
19.本小题分
设为数列的前项和，满足．
求，，，的值，并由此猜想数列的通项公式；
用数学归纳法证明中的猜想．
20.本小题分
在数列中，，，，且函数满足：的值均为正整数，其中，数列．
若，，，，求数列的通项公式；
若，，互不相等，且，，，求的取值范围；
若，求数列的前项的和．
21.本小题分
已知，．
证明：时，；
求函数的单调区间；
证明：时，
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：Ⅰ设数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
即，
所以，解得或舍去，
又，所以数列的通项公式．
Ⅱ由题意得，，
则，且，
故数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以当时，的最大值为．
18.【答案】解：由题可得，
由可得或，
又因为，
故不等式的解集为；
由题可得，
依题意：，
所以．
19.【答案】解：当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
猜想；
当时，成立．
假设时，结论成立，即．
那么，当时，
即．
当时，结论成立．
综上，猜想成立．
20.【答案】解：依题意，，，，而，则，，，
又，，因此，，，
所以数列的通项公式是；
若，，则为的倍数，对一切，，不符合“”的条件；
若，，，，
因此对一切，，不符合“”的条件；
若，，则，，，，
因此，，符合题意，
所以的取值范围是；
因为，则，，，，
于是得，，，，
又为的倍数，因此总有，
所以．
21.【答案】解：，令，则，
因为，所以，所以在单调递增，
所以，所以在单调递增，则．
，令，则，
所以在上单调递增，又，
所以时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为．
证明：要证，即证
当时，，而，所以不等式成立．
当时，，由知：时，，
所以，，
所以只需证
令，则，
所以在单调递减，所以，即．
故只需证，即证：．
由知，上述不等式成立．
综上，当时，
（三）
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点，则f（9）＝ ．
2．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝ ．
3．将角度化为弧度：﹣315°＝ ．
4．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝3，则tanβ＝ ．
5．若，，则＝ ．
6．函数，x∈[2，6]的最大值为 ．
7．P（﹣4m，3m）（m＜0）为α终边上一点，则csα＝ ．
8．已知函数f（x）＝ax2+2ax﹣3对任意实数x都有f（x）＜0成立，则实数a的取值范围是 ．
9．化简：＝ ．
10．若，则＝ ．
11．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r．我们规定：比值分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作secα，cscα，ctα，把y＝secx，y＝cscx，y＝ctx分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的有 （填上所有正确的序号）
①ct＝1；
②sinα•cscα＝1；
③y＝secx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
④sec2α+csc2α≥4；
⑤ct2α＝．
12．设，若存在唯一一组α，β使得tanα+ctα＝sinβ+acsβ成立，其中a为实数，则a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
14．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是 （ ）
A．小于的角一定是锐角
B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合
D．始边相同且终边重合的角一定相等
15．已知，则α+β是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
16．设集合，则集合A的元素个数为（ ）
A．1011B．1012C．2022D．2023
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知函数f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）的定义域为（﹣3，3）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点．
18．在平面直角坐标系xOy中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角α的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角β的终边OQ重合．
（1）求tanβ的值；
（2）求的值．
19．（16分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
20．（16分）已知sinθ、csθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的两个实数根．
（1）求实数m的值；
（2）求的值；
（3）若θ∈（π，2π），求cs2θ的值．
21．（16分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：．（e是自然对数的底数，e＝2.71828⋯）．
（1）计算csh（2）﹣2csh2（1）的值；
（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：csh（x+y）＝_____，并加以证明；
（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+csh（x）＝a有解，求实数a的取值范围．
参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点，则f（9）＝ ．
答案为：．
2．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝ ．
答案为：
3．将角度化为弧度：﹣315°＝ ．
答案为：．
4．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝3，则tanβ＝ ．
答案为：．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
5．若，，则＝ ﹣ ．
答案为﹣
6．函数，x∈[2，6]的最大值为 ﹣2 ．
答案为：﹣2．
7．P（﹣4m，3m）（m＜0）为α终边上一点，则csα＝ ．
答案为：．
8．已知函数f（x）＝ax2+2ax﹣3对任意实数x都有f（x）＜0成立，则实数a的取值范围是 （﹣3，0] ．
答案为：（﹣3，0]．
9．化简：＝ ﹣tanα ．
答案为：﹣tanα．
10．若，则＝ ．
答案为：．
11．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r．我们规定：比值分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作secα，cscα，ctα，把y＝secx，y＝cscx，y＝ctx分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的有 ②④⑤ （填上所有正确的序号）
①ct＝1；
②sinα•cscα＝1；
③y＝secx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
④sec2α+csc2α≥4；
⑤ct2α＝．
答案为：②④⑤．
12．设，若存在唯一一组α，β使得tanα+ctα＝sinβ+acsβ成立，其中a为实数，则a的取值范围是 ．
答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
B．
14．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是 （ ）
A．小于的角一定是锐角
B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合
D．始边相同且终边重合的角一定相等
C．
15．已知，则α+β是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
B．
16．设集合，则集合A的元素个数为（ ）
A．1011B．1012C．2022D．2023
B．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知函数f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）的定义域为（﹣3，3）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点．
【分析】（Ⅰ）直接利用偶函数的定义进行证明即可；
（Ⅱ）将函数变形为f（x）＝ln（9﹣x2），令f（x）＝0，求解即可．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得函数f（x）的定义域为（﹣3，3）关于原点对称，
又f（﹣x）＝ln（3﹣x）+ln（3+x）＝f（x），
故函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）解：f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）＝ln（9﹣x2），
令f（x）＝ln（9﹣x2）＝0，解得9﹣x2＝1，
解得，
故函数f（x）的零点为和．
18．在平面直角坐标系xOy中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角α的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角β的终边OQ重合．
（1）求tanβ的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义结合同角三角关系可得，，进而结合诱导公式运算求解；
（2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解．
解：（1）由题意可知：sinα＝y0，，
因为sin2α+cs2α＝1，即，且y0＞0，解得，
即，．
又因为，
可得，
．
所以．
（2）由（1）知，
所以＝．
19．（16分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）＝8，得k＝40，进而得到．建造费用为C1（x）＝6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（II）方法一：由（I）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
方法二：根据f（x）＝＝，直接利用基本不等式求出f（x）的最小值即可．
解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．
再由C（0）＝8，得k＝40，因此．
而建造费用为C1（x）＝6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ）方法一：，令f'（x）＝0，即．
解得x＝5，（舍去）．
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，
故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
方法二：由（Ⅰ）知，f（x）＝，
所以f（x）＝＝﹣10＝70，
当且仅当，即x＝5时取等号，
所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
20．（16分）已知sinθ、csθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的两个实数根．
（1）求实数m的值；
（2）求的值；
（3）若θ∈（π，2π），求cs2θ的值．
【分析】（1）由韦达定理和同角的平方关系，计算可得所求值；
（2）运用同角的商数关系和韦达定理，可得所求值；
（3）结合θ∈（，2π），可得csθ＞0，sinθ＜0，利用平方差公式可得csθ﹣sinθ＝，联立方程可得csθ的值，进而可求cs2θ的值．
解：（1）因为sinθ、csθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的两个实数根，
由韦达定理得sinθ+csθ＝，sinθcsθ＝，
由（sinθ+csθ）2＝（）2，
则1+2sinθcsθ＝1+m＝（）2，
所以m＝﹣；
（2）＝+＝＝sinθ+csθ＝；
（3）因为m＝﹣，所以sinθ+csθ＝①，sinθcsθ＝﹣，
所以（sinθ﹣csθ）2＝1﹣2sinθcsθ＝1+＝＝（）2，
因为θ∈（，2π），所以csθ＞0，sinθ＜0，csθ﹣sinθ＝②，
所以由①②可得csθ＝，
所以cs2θ＝．
21．（16分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：．（e是自然对数的底数，e＝2.71828⋯）．
（1）计算csh（2）﹣2csh2（1）的值；
（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：csh（x+y）＝_____，并加以证明；
（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+csh（x）＝a有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据双曲函数的定义代值，计算即可；
（2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解；
（3）根据题意得1≤et≤2，则 ，利用基本不等式计算可得，结合指数函数的单调性即可求解．
解：（1）根据题意，．
则csh（2）﹣2csh2（1）＝﹣2（）2＝﹣＝﹣1．
（2）证明：csh（x）csh（y）+sinh（x）sinh（y）
＝
＝
＝
＝csh（x+y）．
所以csh（x+y）＝csh（x）csh（y）+sinh（x）sinh（y）；
（3）∵t∈[0，ln2]，∴1≤et≤2，
则，
所以，
当且仅当x＝0 时，等号成立，
则 恒成立，
因为函数 y＝et，y＝﹣e﹣t均是[0，ln2]上的增函数，
故函数 在[0，ln2]上为增函数，
所以，．
故实数a的取值范围为[，+∞）．
男生
女生
总计
A等级
40
20
60
B等级
20
20
40
总计
60
40
100
0
1
2
3