2024成都中考数学第一轮专题复习之第七章 微专题 图形的旋转 知识精练(含答案)

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之第七章 微专题 图形的旋转 知识精练(含答案)，共6页。

A. eq \f(\r(13),2) B. eq \f(\r(26),2)
C. eq \r(13) D. eq \r(26)
第1题图
2. (2023宁夏)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2.点D在BC上，且BD∶CD＝1∶3.连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE.则△BDE的面积是( )

第2题图
A. eq \f(1,4) B. eq \f(3,8) C. eq \f(3,4) D. eq \f(3,2)
3. 如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若BC＝2，将△ABC绕点C旋转得到△EDC，连接AE，当∠ACE＝90°时，则△ABE的面积为________．
第3题图
4. (2023龙东地区)如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是________．

第4题图
5. (2023葫芦岛)△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点(不与点B，C重合)，连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M.
(1)如图①，当点E为BC的中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
(2)如图②，当点E在线段BC的延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．
图①
图②
第5题图
参考答案与解析
1. B 【解析】如解图，过点A作AG⊥DF于点G，由旋转的性质，得∠DAF＝∠CAE＝90°，AF＝AD＝4，EF＝CD＝ eq \r(2) ，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠ADF＝∠AFG＝45°，∴AG＝GF＝ eq \f(\r(2),2) AF＝2 eq \r(2) ，∠ADC＝∠AFE＝135°，∴EG＝GF＋EF＝3 eq \r(2) ，∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝90°，∴AE＝ eq \r(AG2＋EG2) ＝ eq \r(26) ，∠BDC＝90°.∵∠ACB＝∠CAE＝90°，∴AE∥BC，∴∠DBC＝∠E，∴BC＝ eq \f(CD,sin ∠DBC) ＝ eq \f(CD,sin E) ＝ eq \f(CD,\f(AG,AE)) ＝ eq \f(\r(26),2) .
第1题解图
2. B 【解析】∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠EAB＋∠BAD＝90°.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠EAB＝∠CAD，∴△EAB≌△DAC(SAS)，∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝90°.∵BC＝2，BD∶CD＝1∶3，∴BD＝ eq \f(1,2) ，CD＝BE＝ eq \f(3,2) ，∴S△BDE＝ eq \f(1,2) BD·BE＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) × eq \f(3,2) ＝ eq \f(3,8) .
3. 6＋2 eq \r(3) 或6－2 eq \r(3) 【解析】∵∠ACE＝90°，∴将△ABC绕点C旋转90°后得到△EDC，分两种情况讨论：①如解图①，当绕点C顺时针旋转90°时，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，∴AC＝ eq \r(3) BC＝2 eq \r(3) ，∴CE＝AC＝2 eq \r(3) ，∴BE＝BC＋CE＝2＋2 eq \r(3) ，∴S△ABE＝ eq \f(1,2) BE·AC＝6＋2 eq \r(3) ；②如解图②，当绕点C逆时针旋转90°时，同理可得BE＝CE－BC＝2 eq \r(3) －2，∴S△ABE＝ eq \f(1,2) BE·AC＝6－2 eq \r(3) .综上所述，△ABE的面积为6＋2 eq \r(3) 或6－2 eq \r(3) .
图①
图②
第3题解图
4. 4＋ eq \r(3) 【解析】∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝ eq \f(1,2) AB＝2，AC＝AB·cs 30°＝2 eq \r(3) ，∴∠ECA＝∠BAC＝30°.如解图，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \r(3) .∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4＋ eq \r(3) ，∴S△CEF＝ eq \f(1,2) CE·(4＋ eq \r(3) )＝4＋ eq \r(3) .
第4题解图
5. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠BAC＝60°，∠BAE＝ eq \f(1,2) ∠BAC，
∴∠BAE＝30°.
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE－∠BAE＝60°－30°＝30，
∴∠DAB＝∠BAE，∴DM＝EM；
(2)DM＝EM仍然成立．理由如下：
如解图①，连接BD，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD＝∠ACE＝180°－∠ACB＝120°，BD＝CE，
∴∠DBE＝∠ABD－∠ABC＝120°－60°＝60°，
∴∠DBE＋∠BEF＝60°＋120°＝180°，
∴BD∥EF.
∵CE＝EF，∴BD＝EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM＝EM；
(3)如解图②，
当点E在BC的延长线上时，
作AG⊥BC于G，
∵∠ACB＝60°，
∴CG＝AC·cs 60°＝ eq \f(1,2) AC＝3，
AG＝AC·sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) AC＝3 eq \r(3) ，
∴EG＝CG＋CE＝3＋2＝5，
∴AE＝ eq \r(AG2＋EG2) ＝ eq \r(（3\r(3)）2＋52) ＝2 eq \r(13) .
由(2)知DM＝EM，∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°.∵∠AED＝60°，
∴AM＝AE·sin 60°＝2 eq \r(13) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(39) .
如解图③，
当点E在BC上时，
作AG⊥BC于G，
由AG＝3 eq \r(3) ，CG＝3，
知EG＝CG－CE＝3－2＝1，
∴AE＝ eq \r(AG2＋EG2) ＝ eq \r(（3\r(3)）2＋12) ＝2 eq \r(7) ，
∴AM＝2 eq \r(7) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(21) .
综上所述，AM＝ eq \r(39) 或 eq \r(21) .
图①
图②
图③
第5题解图