2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线 知识精练(含答案)

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第1题图
2. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D作DE∥BC交AC于点E，作DF⊥BC于点F，若DF＝4，DE＝5，则△CDE的面积为________．

第2题图
3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，交边AC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥AB于点F，若EF＝2，则线段BF的长为________．
第3题图
4. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，且3BD＝2CD，若AC＝3，则AB的长为________．

第4题图
5. 如图，在▱ABCD中，BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，GH＝5，BC＝15，则▱ABCD的面积是________．
第5题图
6. 如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接CE.
求证：BC＝AB＋CE.
第6题图
7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E.
(1)若AD＝1，求DC的长；
(2)求证：BD＝2CE.
第7题图
参考答案与解析
1. 5 【解析】如解图，过点D作AB的垂线，垂足为P，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(82＋62) ＝10.∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠PBD，∵∠C＝∠BPD＝90°，BD＝BD，∴△BDC≌△BDP(AAS)，∴BC＝BP＝6，CD＝PD，设CD＝PD＝x，在Rt△ADP中，∵PA＝AB－BP＝4，AD＝8－x，∴x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3，∴AD＝5.
第1题解图
2. 10 【解析】如解图，过点D作DG⊥AC于点G，∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，DG⊥AC，∴∠BCD＝∠ACD，DG＝DF＝4.∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∴∠CDE＝∠ACD，∴CE＝DE＝5，∴S△CDE＝ eq \f(1,2) CE·DG＝ eq \f(1,2) ×5×4＝10.
第2题解图
3. 4＋2 eq \r(3) 【解析】如解图，过点E作EG∥BC交AB于点G，则∠GEB＝∠EBC，∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝30°，∴∠EBC＝∠FBE＝15°，∴∠FBE＝∠GEB＝15°，∴BG＝GE.∴∠FGE＝30°.∵EF⊥AB，∴GE＝2FE＝4，GF＝GE·cs 30°＝2 eq \r(3) ，∴BF＝BG＋GF＝4＋2 eq \r(3) .
第3题解图
4. 2 【解析】如解图，过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E，则∠E＝∠CAD，∠ABE＝∠BAD，∴△CBE∽△CDA，∴ eq \f(EC,AC) ＝ eq \f(BC,DC) .∵3BD＝2CD，∴BC＝ eq \f(5,3) CD，∴ eq \f(EC,AC) ＝ eq \f(5,3) .∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AB＝AE.∵EC＝AC＋AE，∴ eq \f(AC＋AB,AC) ＝ eq \f(5,3) ，即 eq \f(3＋AB,3) ＝ eq \f(5,3) ，解得AB＝2.
第4题解图
5. 150 【解析】如解图，作GE⊥AD交AD于点E，EG的延长线交BC于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵GE⊥AD，∴EF⊥BC.∵BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，∴GE＝GH＝5，GF＝GH＝5，∴EF＝5＋5＝10，▱ABCD的面积为BC×EF＝15×10＝150.
第5题解图
6. 证明：如解图，在BC上截取BF＝AB，连接DF.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1＝∠2＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝20°.
在△ABD与△FBD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝FB，,∠1＝∠2，,BD＝BD，))
∴△ABD≌△FBD(SAS)，
∴DF＝DA＝DE，∠BAD＝∠BFD.
又∵∠A＝100°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°－∠BFD＝180°－∠A＝80° ，
∴∠FDC＝180°－∠DFC－∠DCF＝60° .
∵∠EDC＝∠ADB＝180°－∠1－∠A＝180°－20°－100°＝60°，
∴∠FDC＝∠EDC.
在△DCE 与 △DCF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DE＝DF，,∠EDC＝∠FDC，,CD＝CD，))
∴△DCE ≌ △DCF(SAS)，
∴CE＝CF，
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CE，
即BC＝AB＋CE.
第6题解图
7. (1)解：如解图①，过点D作DH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BCA＝45°，
∴DH＝CH.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH＝AD＝1，
∴在Rt△CHD中，
DC＝ eq \r(CH2＋HD2) ＝ eq \r(2) ；
图①
图②
第7题解图
(2)证明：如解图②，延长CE，BA相交于点F，
∵∠EBF＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，
∴∠EBF＝∠ACF.
在△ABD和△ACF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABD＝∠ACF，,AB＝AC，,∠BAD＝∠CAF，))
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴BD＝CF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBF.
在△BCE和△BFE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EBC＝∠EBF，,BE＝BE，,∠CEB＝∠FEB，))
∴△BCE≌△BFE(ASA)，
∴CE＝EF，
∴CF＝2CE，
∵BD＝CF，∴BD＝2CE.