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2024成都中考数学第一轮专题复习之微专题 辅助圆 教学课件
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这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之微专题 辅助圆 教学课件，共32页。PPT课件主要包含了方法一定点定长作圆，例1题图，解题关键点，例2题图，方法三四点共圆，例3题图，例4题图，例5题图，方法五点圆最值，例6题图等内容，欢迎下载使用。
如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧．
推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
例1 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且点E在矩形ABCD的内部，则∠ABE的度数可能是( )A. 30° B. 40° C. 60° D. 90°
求∠ABE可能的度数，即求∠EBC的最大值和最小值，利用定点定长作圆求解．
如图，在△ABC中，AB的长为定值，点C为动点，且∠C＝90°，则点C的轨迹是以AB为直径的圆(不含A，B两点).
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．
方法二 直径所对的圆周角是直角(8年2考：2020.25，2018.28)
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，cs B＝ ，D为AB边的中点，将△DBC沿CD翻折，点B落到点E处，连接AE，则AE的长为________．
1．如图①，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°.如图②，在四边形ABDC中，∠ADC＝∠ABC＝90°.结论：(1)点A，B，C，D在同一个圆上；(2)AC为四边形外接圆的直径．
2．如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，且点C，D在AB的同侧，∠C＝∠D.结论：点A，B，C，D在同一个圆上．
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠CPB＝∠A，过点C作CP的垂线与PB延长线交于点Q，则CQ的最大值为________．
例4 如图，在等边△ABC中，AC＝6，D为AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，则EF的最小值为________．
如图，在△ABC中，AB的长为定值(定弦)，顶点C为动点，且∠ACB的度数为定值(定角)，我们把这样的模型称为定弦定角模型．要确定顶点C的运动轨迹，需分两种情况：(1)如图①，当∠ACB＜90°时，点C的运动轨迹为优弧 (不与点A，B重合).(2)如图②，当∠ACB＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧 (不与点A，B重合).
方法四 定弦对定角(非90°)
例5 如图，点P是正方形ABCD边CD上方的一点，且∠APB＝45°.若CD＝4，sin ∠PBC＝ ，则点P与点C之间的距离为________．
已知平面内一定点D和⊙O，E是⊙O上一动点，设点O与点D之间距离为d，⊙O半径为r.
【应用依据】直径是圆中最长的弦．
例6 (2023台州) 如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( )A. B. 2 C. 4＋ D. 4－
例7 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且AP⊥BP，连接CP，则线段CP长的最小值为________．
已知⊙O及直线l，⊙O的半径为r，Q为⊙O上一动点，圆心O与直线l之间的距离为d.
推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，进而利用面积公式求解．
例8 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，2为半径作⊙A，求⊙A上动点P到BC的距离最小值．
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交⊙A于点P，
∵PA＝2，∴PH＝AH－AP＝2，∴⊙A上动点P到BC的距离最小值为2.
例9 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧 上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，求△ABC面积的最大值．
解：如图，连接OA，OB过点O作OD⊥AB，垂足为D，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE，则AE＝BE.
设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝ AB·h，当点C与点E重合时，h取得最大值，即h＝DE，此时△ABC的面积也取得最大值，即S△ABC＝S△ABE.
∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝ OA＝2，AD＝ ＝ ，∴AB＝2AD＝ ，DE＝OE＋OD＝4＋2＝6，此时S△ABE＝ AB·DE＝ × ×6＝ .
1. 如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，∠A＝60°，BC＝6.则DE的长为________.
通过观察∠BEC与∠BDC为直角，且共用斜边BC，则以B，E，D，C四点构造圆是关键.
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为(3，4)，C为⊙D上一点，点A，B在x轴上，且关于原点O对称，连接AC，BC，若∠ACB＝90°，则AB的最大值为________．
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E在边CD上，连接AE，将△ADE沿AE翻折，得到△AFE，点D的对应点为F.连接BF，CF，当CF取得最小值时，△CFB的面积为________．
4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜120°)，得到线段AD，连接CD，E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．
【解析】如解图，过E作EH∥AD，交AC于H，
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝6.∵将边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜120°)，得到线段AD，∴AD＝AC，∴∠D＝∠ACD.
∵DE＝2CE，∴ ＝ ＝ ，∠CEH＝∠D＝∠ACD.∵AC＝6，∴CH＝EH＝2，取AH的中点P，连接EP，则∠CEP＝90°，∴点E在以H为圆心，CP为直径的部分圆上运动，
∵EH为定值2，∴当B，E，H三点共线时，BE的长最小，过点B作BQ⊥AC于Q，
则BQ＝ ＝3 ，
∴BH＝ ＝ ＝2 ，∴BE＝2 －2.
5. 如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，若BC＝4，∠BAE＝30°，则对角线BD的取值范围为________________________．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABE＝∠DCF，AB＝DC，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠BAE＝30°，
以CF为边在CF上方作等边△OCF，∴∠COF＝60°，OC＝CF＝2，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，则点D在⊙O上，过点O作射线BO交⊙O于点M，N，则BD的最小值等于BN，最大值等于BM，过点O作OH⊥CF于点H，则CH＝1，OH＝ ，∴BH＝BC＋CH＝5，
在Rt△BHO中，根据勾股定理得，BO＝ ＝ ＝2 ，
如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧．
推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
例1 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且点E在矩形ABCD的内部，则∠ABE的度数可能是( )A. 30° B. 40° C. 60° D. 90°
求∠ABE可能的度数，即求∠EBC的最大值和最小值，利用定点定长作圆求解．
如图，在△ABC中，AB的长为定值，点C为动点，且∠C＝90°，则点C的轨迹是以AB为直径的圆(不含A，B两点).
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．
方法二 直径所对的圆周角是直角(8年2考：2020.25，2018.28)
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，cs B＝ ，D为AB边的中点，将△DBC沿CD翻折，点B落到点E处，连接AE，则AE的长为________．
1．如图①，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°.如图②，在四边形ABDC中，∠ADC＝∠ABC＝90°.结论：(1)点A，B，C，D在同一个圆上；(2)AC为四边形外接圆的直径．
2．如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，且点C，D在AB的同侧，∠C＝∠D.结论：点A，B，C，D在同一个圆上．
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠CPB＝∠A，过点C作CP的垂线与PB延长线交于点Q，则CQ的最大值为________．
例4 如图，在等边△ABC中，AC＝6，D为AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，则EF的最小值为________．
如图，在△ABC中，AB的长为定值(定弦)，顶点C为动点，且∠ACB的度数为定值(定角)，我们把这样的模型称为定弦定角模型．要确定顶点C的运动轨迹，需分两种情况：(1)如图①，当∠ACB＜90°时，点C的运动轨迹为优弧 (不与点A，B重合).(2)如图②，当∠ACB＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧 (不与点A，B重合).
方法四 定弦对定角(非90°)
例5 如图，点P是正方形ABCD边CD上方的一点，且∠APB＝45°.若CD＝4，sin ∠PBC＝ ，则点P与点C之间的距离为________．
已知平面内一定点D和⊙O，E是⊙O上一动点，设点O与点D之间距离为d，⊙O半径为r.
【应用依据】直径是圆中最长的弦．
例6 (2023台州) 如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( )A. B. 2 C. 4＋ D. 4－
例7 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且AP⊥BP，连接CP，则线段CP长的最小值为________．
已知⊙O及直线l，⊙O的半径为r，Q为⊙O上一动点，圆心O与直线l之间的距离为d.
推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，进而利用面积公式求解．
例8 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，2为半径作⊙A，求⊙A上动点P到BC的距离最小值．
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交⊙A于点P，
∵PA＝2，∴PH＝AH－AP＝2，∴⊙A上动点P到BC的距离最小值为2.
例9 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧 上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，求△ABC面积的最大值．
解：如图，连接OA，OB过点O作OD⊥AB，垂足为D，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE，则AE＝BE.
设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝ AB·h，当点C与点E重合时，h取得最大值，即h＝DE，此时△ABC的面积也取得最大值，即S△ABC＝S△ABE.
∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝ OA＝2，AD＝ ＝ ，∴AB＝2AD＝ ，DE＝OE＋OD＝4＋2＝6，此时S△ABE＝ AB·DE＝ × ×6＝ .
1. 如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，∠A＝60°，BC＝6.则DE的长为________.
通过观察∠BEC与∠BDC为直角，且共用斜边BC，则以B，E，D，C四点构造圆是关键.
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为(3，4)，C为⊙D上一点，点A，B在x轴上，且关于原点O对称，连接AC，BC，若∠ACB＝90°，则AB的最大值为________．
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E在边CD上，连接AE，将△ADE沿AE翻折，得到△AFE，点D的对应点为F.连接BF，CF，当CF取得最小值时，△CFB的面积为________．
4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜120°)，得到线段AD，连接CD，E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．
【解析】如解图，过E作EH∥AD，交AC于H，
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝6.∵将边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜120°)，得到线段AD，∴AD＝AC，∴∠D＝∠ACD.
∵DE＝2CE，∴ ＝ ＝ ，∠CEH＝∠D＝∠ACD.∵AC＝6，∴CH＝EH＝2，取AH的中点P，连接EP，则∠CEP＝90°，∴点E在以H为圆心，CP为直径的部分圆上运动，
∵EH为定值2，∴当B，E，H三点共线时，BE的长最小，过点B作BQ⊥AC于Q，
则BQ＝ ＝3 ，
∴BH＝ ＝ ＝2 ，∴BE＝2 －2.
5. 如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，若BC＝4，∠BAE＝30°，则对角线BD的取值范围为________________________．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABE＝∠DCF，AB＝DC，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠BAE＝30°，
以CF为边在CF上方作等边△OCF，∴∠COF＝60°，OC＝CF＝2，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，则点D在⊙O上，过点O作射线BO交⊙O于点M，N，则BD的最小值等于BN，最大值等于BM，过点O作OH⊥CF于点H，则CH＝1，OH＝ ，∴BH＝BC＋CH＝5，
在Rt△BHO中，根据勾股定理得，BO＝ ＝ ＝2 ，
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