2024成都中考数学第一轮专题复习之专题五类型五相似三角形问题教学课件

展开

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之专题五类型五相似三角形问题教学课件，共16页。PPT课件主要包含了第1题图，第1题解图，第2题图，解题关键点等内容，欢迎下载使用。

类型五　相似三角形问题(2020.28 )
1. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，顶点是D，直线CD交x轴于点E，连接AC交对称轴于点M.(1)求抛物线的函数表达式及点M的坐标；
∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－3，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，C(0，－3).设直线AC的表达式为y＝ax＋d(a≠0)，将A(－3，0)，C(0，－3)代入，得解得 ∴直线AC的表达式为y＝－x－3，令x＝－1，得y＝－2，∴点M的坐标为(－1，－2)；
(2)N是直线AC下方抛物线上一点，过点N作NH∥y轴交AC于点H，求NH的最大值；
(3)线段CE上是否存在点F，使得△FEO与△ABC相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
当y＝0时，即x－3＝0，解得x＝3，∴E(3，0).∵OE＝OC＝OA＝3，∴∠OEC＝∠OAC＝45°，在Rt△OAC中，AC＝＝3 .
如解图，过点F作FG⊥x轴于点G，连接OF，分两种情况讨论：
①当△ABC∽△EFO时，＝，即＝，解得EF＝2 .
在Rt△EFG中，∠OEC＝45°，∴GF＝EF·sin 45°＝2 × ＝2，∴GE＝GF＝2，∴OG＝OE－GE＝3－2＝1，∴点F的坐标为(1，－2)；
②当△ABC∽△EOF时，＝，即＝，解得EF＝ .在Rt△EFG中，∠OEC＝45°，∴GF＝EF·sin 45°＝ × ＝，∴GE＝GF＝，
∴OG＝OE－GE＝3－＝，∴点F的坐标为( ，－ ).综上所述，存在点F使得△FEO与△ABC相似，点F的坐标为(1，－2)或( ，－ ).
2. (2023锦江区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－3，0)，点B(1，0)，与y轴交于点C(0，－3m)(m＞0)，顶点为D.(1)如图①，当m＝1时，①求该二次函数的解析式；
解：(1)①当m＝1时，C(0，－3).∵抛物线与x轴交点为A (－3，0)，B (1，0)，∴二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将点C(0，－3)代入上式，得a×3×(－1)＝－3，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3；
②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC，OP相交于点Q，求的最大值；
∴点N(x，－x－3)，∴PN＝(－x－3)－(x2＋2x－3)＝－x2－3x.∵PN∥OC，∴△PQN∽△OQC，∴ ＝，∴ ＝＝，∵a＝－ <0，－3(2)如图②，当m取何值时，以A，D，C为顶点的三角形与△BOC相似．
(2)∵经过点A，点B的抛物线解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将点C的坐标代入得－3m＝a×3×(－1)，∴a＝m，∴y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，∴顶点D的坐标为(－1，－4m)，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，
则DE＝4m，OE＝1，AE＝OA－OE＝2，过点D作DF⊥y轴于点F，则DF＝1，CF＝OF－OC＝4m－3m＝m.
由勾股定理得，AC2＝OC2＋OA2＝9m2＋9，CD2＝CF2＋DF2＝m2＋1，AD2＝DE2＋AE2＝16m2＋4，∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，∴△ACD必为直角三角形，①若点D为直角顶点，则AD2＋CD2＝AC2，即16m2＋4＋m2＋1＝9m2＋9，整理得m2＝，∵m＞0，∴m＝，
此时，可求得△ACD的三边长为AD＝2 ，CD＝，AC＝，△BOC的三边长为OB＝1，OC＝，BC＝＝，两个三角形对应边不成比例，不可能相似，此种情况不存在；
②若点C为直角顶点，则AC2＋CD2＝AD2，即9m2＋9＋m2＋1＝16m2＋4，整理得m2＝1，∵m＞0，∴m＝1，此时，可求得△ACD的三边长为AD＝2 ，CD＝，AC＝3 ；△BOC的三边长为OB＝1，OC＝3，BC＝，
∵ ＝＝＝，∴满足两个三角形相似的条件，∴m＝1.③由题意可知，点A不可能为直角顶点．综上所述，当m＝1时，以A，D，C为顶点的三角形与△BOC相似．
由于相似三角形的对应边不确定，则需要分点A，点C，点D分别为直角顶点三种情况讨论．