[数学]湖南省邵阳市2024届高三第三次联考试卷（解析版）

这是一份[数学]湖南省邵阳市2024届高三第三次联考试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】，，．故选：B．
2. 已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示集合是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】因为，，所以，
所以图中阴影部分表示的集合或.故选：D.
3. “”是“函数（且）在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则的图象为：
可知在上单调递增；
若，则的图象为：
可知在上单调递减；
综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.
故选：C．
4. 下列函数对于任意，都有成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】满足，则函数为上凸函数，
对于A，的图象是上凸的，符合题意；
对于B，的图象是下凸的，不符合题意；
对于C，的图象是下凸的，不符合题意；
对于D，的图象是下凸的，不符合题意；
故选：A.
5. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 0或1
【答案】C
【解析】，，
所以曲线在点处的切线为：，即．
联立与，得，依题意可知，所以或1．
当时，不是抛物线，舍去．
故选：C
6. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”，
由题意得，，，．
因为，
所以．
故选：D．
7. 已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得：，则，
由直线与圆有公共点，则点到直线的距离，
所以，由离心率．
故选：B．
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ）
A. 不为周期函数B. 的图象不关于点对称
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以，即，
则的图象关于点对称，B选项错误．
由，得．
令，则，
由，得的图象关于直线对称．
又的图象关于点对称，则，
所以，即，
则可得的图象关于点对称，
故为周期函数，且周期为8，，
所以，，D选项错误．
又，则，
所以，由得：，故为周期函数，A选项错误．
由，两边求导得：，
由得：，令得：，
利用的周期为8，则，C选项正确．
故选：C．
二、多选题
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若角的终边过点，则角的集合是
B. 若，则
C. 若，则
D. 若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
【答案】ABC
【解析】因为角的终边过点，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，
所以角的集合是，故A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因，所以C选项正确；
设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，
所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．
故选：ABC
10. 如图所示，点为正方体形木料上底面的动点，则下列结论正确的有（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面
C. 不存在点，使平面
D. 经过点在上底面上画一条直线与垂直，若与直线重合，则点为上底面中心
【答案】AD
【解析】三棱锥中，底面的面积为定值，由平面平面可知，
平面上任意一点到平面的距离都相等，
则可得三棱锥的体积为定值．故A选项正确；
在正方体中，，
平面，且，所以平面，
若存在点使得平面，则与重合或平行，
显然这样的点不存在，故B选项错误；
在正方体中，，平面，平面，
所以平面，当点与重合时，为，
则存在点使得平面，故C选项错误；
因为正方体中，平面，
由题可得平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，平面，则．
当与重合时，．
在正方形中，则可得为与的交点，
即为上底面的中心，故D选项正确．
故选：AD.
11. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A.
B. （精确到小数点后两位）
C.
D. 当时，
【答案】BD
【解析】由，，则有，故A选项错误．
由，则，
又（精确到小数点后两位），故B选项正确．
，，则有，故C选项错误．
当时，令，则，，
所以在上为增函数，则，
所以在上为增函数，则，
故当时，恒成立，即．故D选项正确．故选：BD.
三、填空题
12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】
【解析】由的展开式的通项得：
，
令，得，故．故答案为：.
13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______．
【答案】
【解析】由题知：，，，即，
又，，故，即．
故答案为：.
14. 已知分别为三个内角的对边，且
，则______；若，，，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由及正弦定理，得，由余弦定理可知，
又，．
，，由余弦定理得，，
与的夹角的余弦值为．
又，，
且，
，，
，
故答案为：，
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
解：（1）由，得，
令，得，解得．
所以的单调递增区间为
（2）令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表所示：
由函数有且仅有三个零点，
得方程有且仅有三个不等的实数根，
所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．
显然，当时，；当时，．
所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，
故．
16. 如图所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，取的中点，连接，则.
又，，四边形为平行四边形，，
，即，
又平面，平面，，
又，平面，平面，平面，
又平面，.
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设.则，
依题意得，，，，
则，，
，.
设平面的法向量为，
则
取，得，．.
设直线与平面所成角为，则有.
直线与平面所成角的正弦值为.
17. 如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围．
解：（1）设，则．
直线的方程为，，．
，．
，，
化简得，其中．
即的方程为：．
（2）抛物线的图象关于轴对称，点在上，
点关于轴对称的点也在抛物线的图象上．
设直线的方程为，，
，则．
联立方程得：，整理得．
，，．
设，则，．
三点共线，，
．
即，又，．
．
点关于轴对称，，
为等边三角形，，
直线斜率，
．
由，得．
，，又，，
则点到直线的距离．
设，则，且，
故．
在上单调递减，．
即点到直线的距离的取值范围是
18. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，
（1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.
（3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
解：（1）依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型.
（2）由，得，
依题意得，
，
所以，即.
（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.10.
19. 已知数列，，函数，其中，均为实数．
（1）若，，，，，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为，求证：．
（2）若为奇函数,,，
且，问：当时，是否存在整数，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：，）
（1）（ⅰ）解：，，
由，
得，解得，
又，
，
，是以2为公比，2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）证明：令，则，
．
显然，当时，是递增数列，在时，单调递减，
可得，．
．
（2）解：为奇函数，
．，
又，，
，．
，
由得，．
，
，
，，
在上为增函数，
当时，，；
，
．
当时，．
时，，又，
当时，，．
又，的最大值为5．
0
2
0
0
单调递减
1
单调递增
单调递减
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828