广东省2023-2024学年高二下学期6月统一调研联考数学试题

这是一份广东省2023-2024学年高二下学期6月统一调研联考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据1，6，7，8，8，9，10，11，12，13的第30百分位数为
A. 7B. C. 8D.
2.的虚部为
A. B. 5C. D. 1
3.已知椭圆C：的离心率为，则
A. 3B. C. 2D.
4.已知正项等比数列的前n项和为，若，则数列的公比为
A. B. C. 2D.
5.函数在上的零点个数为
A. 5B. 4C. 3D. 2
6.已知函数，其中且，R，则的单调性
A. 与m有关，与n有关B. 与m有关，与n无关C. 与m无关，与n有关D. 与m无关，与n无关
7.建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅如图所示，因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体．现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上、下底面积分别为和，高超过1 cm，该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球O的表面上，且球O的表面积为，则该圆台的体积为
A. B. C. D.
8.过圆O：外一点做圆O的切线MA，切点为A，若，则的最大值为
A. B. C. D. 8
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知全集Z，集合，若有4个子集，且，则
A. B. 集合A有3个真子集C. D.
10.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积记为S，若，，则( )
A.
B. 的外接圆周长为
C. S的最大值为
D. 若M为线段AB的中点，且，则
11.已知函数的定义域为R，若，且，则
A. B. 无最小值
C. D. 的图象关于点中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则________.
13.学校安排甲、乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有A，B，C这3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有________种．用数字作答
14.已知O为坐标原点，点A，B在抛物线E：上，且，记点D的轨迹为曲线G，若直线l与曲线G交于M，N两点，且线段MN中点的横坐标为1，则直线MN的斜率为________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
如图，在直四棱柱中，，，
证明：平面；
求与平面所成的角的正弦值．
16.本小题12分
已知函数
若，讨论的单调性；
若曲线在处的切线与直线垂直，证明：
17.本小题12分
为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会次抽奖结果互不影响；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会．已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．
已知某顾客有两次终极抽奖机会，求该顾客获得一个健身背包和一盒蛋白粉的概率；
求一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率．
18.本小题12分
已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点，当l的斜率为时，
求C的方程；
若M，N分别在C的左、右两支，点，探究：是否存在t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题12分
定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”．已知项数为n的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”．
若，且，，写出所有可能的的值；
若，，证明：“”是“…，”的充要条件；
若，，，证明：或N
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了第百分位数的定义，属于基础题.
根据第百分位数的定义即可求出.
【解答】解：设数据共有10个数，因为，故第30百分位数为
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的运算和复数的概念，属于基础题.
化简复数，再由复数的概念即可求解.
【解答】
解：依题意，，
故所求虚部为
故选
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质，考查运算能力，属于基础题．
根据离心率公式列方程求解即可.
【解答】
解：，，
，解得
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的求和公式属于基础题.
由已知可推出，然后利用等比数列的求和公式求解即可.
【解答】
解：设数列的公比为q，
显然，则，
解得或舍去
故选
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点和方程的根的关系，余弦型函数的性质的应用，属于基础题型．
直接利用函数的零点和方程的关系式，根据余弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】
解：令，解得，
则，，，，，共5个零点.
故选
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性，是基础题.
根据指数函数的单调性，分和两种情况研究单调性即可.
【解答】
解：易知的单调性与n无关，
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递减，
故的单调性与m无关，与n无关，
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
【分析】
本题主要考查了几何体的圆台的体积问题，以及通过几何体外接球的表面积求圆台的高，属于基础题；
由题中条件得到圆台的高，再结合圆台的体积公式即可得到答案.
【解答】
【解答】
解：设球O的半径为Rcm，上、下底面分别为圆，，
依题意，，解得，
则，
同理可得，，
因为圆台的高超过1cm，则该圆台的高为7cm，
该圆台的体积为
故选
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系和基本不等式的应用，是中档题.
先得出，即，再化简，利用基本不等式可得的最大值.
【解答】
解：依题意，，即
，
当且仅当，时等号成立，
故的最大值为
故选
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了集合的交集并集等，是基础题.
先得出集合U、B，再根据集合的运算逐一判定即可.
【解答】
解：依题意，，
，而A有4个子集，，故，
故集合A有7个真子集，B错误，ACD均正确.
故选
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查三角形的面积，正弦定理和余弦定理，属于中档题.
由三角形的面积结合向量数量积判断A；根据正弦定理判断B；根据余弦定理和三角形的面积判断C；结合C判断
【解答】
解：依题意，，，故A正确;
记外接圆的半径为R，则，则的外接圆周长为，故B错误;
由余弦定理，，则，故，当且仅当时等号成立，故C正确;
由C可知，当时，为等边三角形，此时，故D错误.
故选
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查抽象函数以及函数最值、单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
根据抽象函数和函数性质逐一判定即可.
【解答】
解：令，，得，解得，故A错误;
令，则，可知函数无最小值，故B正确;
，则
，故C正确;
由且可以得到：，
进而可以求得
令，则原式化为，
即，故D正确.
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二倍角的正弦公式，考查同角三角函数关系的运用，属于基础题.
展开二倍角的正弦，进一步转化为含有的代数式得答案．
【解答】
解：依题意，
13.【答案】150
【解析】【分析】
本题考查了排列与组合的综合应用，是基础题.
分成和两组，再排列计算即可.
【解答】
解：依题意，甲、乙等5名学生分为三组，
每组人数分别为3，1，1或2，2，1，
分组方法不
再分配至三个项目，有种分配方法，
根据分步乘法计数原是，不同的安排方法有种.
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题.
设直线，则，与抛物线联立得出A、B坐标，设，则，化简可得曲线G方程，由点差法可得直线MN的斜率.
【解答】
解：设直线，则，
联立得，
同理可得，，
设，则，
化简可得，曲线
设，，
则
两式相减可得，，
则
15.【答案】证明：取CD的中点E，连接，BE，，
因为，，，
所以，，
故四边形为平行四边形，
所以，
易知四边形是平行四边形，所以平面，
而平面，故平面
解：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的法向量，
则故，
令，得，，则是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，则，
即与平面所成的角的正弦值为

【解析】本题考查了线面平行的判定和直线与平面所成角的向量求法，是中档题.
取CD的中点E，连接，BE，，易得四边形为平行四边形，所以，由线面平行的判定即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可.
16.【答案】解：依题意，，
，
令，解得
若，则当时，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增;
若，则当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，若，在上单调递减，在上单调递增;
若，在上单调递增，在上单调递减.
证明：由可知，，而，解得
令，，
故，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，即，故
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数证明不等式，是中档题.
先求导，分和两种情况研究单调性即可；
由可知，，解得，令，，利用导数研究单调性和最值，即可得证.
17.【答案】解：记该顾客获得一个健身背包和一盒蛋白粉为事件M，
则
记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，
事件“顾客有一次终极抽奖机会”，
事件“获得蛋白粉”，
故，，，
事件包括的事件是：“3次投掷的点数之和为6”“3次投掷的点数之和为12”“3次投掷的点数之和为18”，
①若“3次投掷的点数之和为6”，则有“1，1，4”“1，2，3”“2，2，2”三种情形，
故共有种;
②若“3次投掷的点数之和为12”，则有“1，5，6”“2，5，5”“2，4，6”“3，4，5”“3，3，6”“4，4，4”六种情形，
故共有种;
③若“3次投掷的点数之和为18”，则只有“6，6，6”一种情形，
故，
故
【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式和全概率公式，是中档题.
根据相互独立事件的概率乘法公式可得结果；
根据全概率公式求解即可.
18.【答案】解：依题意，直线，
，故，
联立得，
设，，
则，，
则
，
解得，故C的方程为
因为，故，
故，
所以，
又，故，
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
其中，，，
由得，
故，，
因为，，，
所以，
，
所以，
整理得，
结合根与系数的关系解得，
经检验，存在，使得，故
【解析】本题考查了双曲线的标准方程和直线与双曲线的位置关系，是较难题.
由，得，再得出直线，与双曲线联立，由弦长公式得出，可得双曲线方程；
因为，故，可得，设直线l的方程为，与双曲线联立，结合根与系数的关系解得t，可得结果.
19.【答案】解：依题意，若，1，0，，此时
若，，0，，此时
若，，，，此时
证明：必要性：因为，故数列n为等差数列，
所以，公差为，
所以
充分性：由于，，，，
累加可得，，即，
因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以，
所以ak，
综上所述，“”是“"的充要条件.
证明：令，依题意，，
因为，，，，
所以
，
因为，所以为偶数，
所以为偶数;
所以要使，必须使为偶数，即4整除，
亦即或，
当时，比如，，或，，
时，有，
当时，比如，，，或，
，，时，有，
当或时，不能被4整除，
【解析】【分析】本题考查数列的新定义问题，等差数列的性质，属较难题；
有三种情况，列举每种情况即可得所求；
分必要性和充分性两方面证明，必要性：证明数列为等差数列并求公差即可，充分性：用累加即可得证；
令，则，，
所以要使，必须使为偶数，即4整除，即可得证.奖品
一个健身背包
一盒蛋白粉
概率