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高考物理圆周运动常用模型最新模拟题精练专题08.圆周运动+综合模型(原卷版+解析)
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这是一份高考物理圆周运动常用模型最新模拟题精练专题08.圆周运动+综合模型(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了圆周运动+综合模型，，小球在轨道1上做匀速圆周运动，6,cs37∘=0等内容，欢迎下载使用。
1.（2023四川重点高中质检）如图所示，水平放置的光滑桌面中心开有光滑的小孔，轻质细绳穿过小孔一端连接质量为m的小球，另一端连接总质量为8m的漏斗（其中西沙的质量为7m），小球在轨道1上做匀速圆周运动。某时刻起，漏斗内细沙缓慢流出而漏斗缓慢上升。漏斗内细沙全部流出时漏斗上升的高度为h，之后小球在轨道2上做匀速圆周运动，此过程中小球在任意相等时间内扫过的面积相等，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.小球在单位时间内扫过的面积为2
B.小球在轨道1上运动时的动能为4mgh
C.小球在轨道2上运动时的动能为mgh
D.此过程中细绳对漏斗做的功为3mgh
2、(12分)（2023江苏盐城市重点高中期初调研）如图所示的装置中,光滑水平杆固定在竖直转轴上,小圆环A和轻弹簧套在杆上,弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A,细线穿过小孔O,两端分别与环A和小球B连接,线与水平杆平行,环A的质量为m,小球B的质量为2 m.现使整个装置绕竖直轴以角速度ω匀速转动,细线与竖直方向的夹角为37∘.缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动,细线与竖直方向的夹角为53∘,此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等,已知重力加速度g,sin37∘=0.6,cs37∘=0.8,求:
(1)装置转动的角速度为ω时,细线OB的长度s.
(2)装置转动的角速度为2ω时,弹簧的弹力大小Fk.
(3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中,细线对小球B做的功W.
3．（2023广东名校质检）如图，光滑的水平杆OM和竖直轴ON上分别套着环P和Q，环P的质量m1=m，Q的质量m2=2m，用轻绳连接，一根弹簧左端固定于O点，右端与环P栓接，两环静止时，轻绳与竖直方向的夹角θ＝37°，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2。
（1）弹簧的弹力和水平杆对P的支持力分别是多少；
（2）绳长仍为l，弹簧的劲度系数为k，要θ＝53°，角速度ω的取值。
4. （２０２２北京东城二模）测速在生活中很常见，不同的情境中往往采用不同的方法测速。
情境1：如图1所示，滑块上安装了宽度的遮光条，滑块在牵引力作用下通过光电门的时间，估算滑块经过光电门的速度大小。
情境2：某高速公路自动测速装置如图2甲所示，雷达向汽车驶来的方向发射脉冲电磁波。当雷达向汽车发射电磁波时，在显示屏上呈现出一个尖形波；在接收到反射回来的无线电波时，在显示屏上呈现出第二个尖形波。根据两个波在显示屏上的距离，可以计算出汽车至雷达的距离。经过时间t再次发射脉冲电磁波。显示屏如图2乙所示，请根据图中t1、t2、t的意义（），结合光速c，求汽车车速的大小。
情境3：用霍尔效应制作的霍尔测速仪可以通过测量车轮的转速（每秒钟转的圈数），进而测量汽车的行驶速度。某同学设计了一个霍尔测速装置，其原理如图3甲所示。在车轮上固定一个强磁铁，用直流电动机带动车轮匀速转动，当强磁铁经过霍尔元件（固定在车架上）时，霍尔元件输出一个电压脉冲信号。当半径的车轮匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号如图3乙所示。求车轮边缘的线速度大小。
5. （２０２２山西太原二模）随着北京冬奥会的举办，全国各地掀起了冰雪运动的热潮。如图所示，某“雪地转转”的水平转杆长为2L，可绕过其中点O的竖直轴转动，杆距雪面高为L，杆的端点A通过长度为L的细绳系着位于水平雪地的轮胎。为方便观测，在杆上距转轴L的B点通过长度为L细线系一个小“冰墩墩”。某次游戏时，游客坐在轮胎上（可视为质点），在转杆带动下在雪地中快速旋转，观测到系冰墩墩的细线偏离竖直方向的夹角为9°。已知游客和轮胎的总质量为M，不考虑空气阻力及轮胎受到雪地的摩擦阻力，取sin9°=tan9°=0.16，重力加速度为g，求：
（1）转杆转动的角速度；
（2）地面对轮胎弹力的大小。
6. （2022山东济宁期中） 如图所示，质量的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态。假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，试问：
（1）M受到的静摩擦力最小时，平台转动的角速度ω0为多大；
（2）要保持M与平台相对静止，平台转动的角速度不得超过多大。
7.（2022江苏连云港二模） (13分)如图所示，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A上，用长L＝0.7 m的细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量mA＝1 kg，小球B的质量mB＝2 kg.当整个装置绕竖直轴以角速度ω1＝5 rad/s匀速转动时，细线OB与竖直方向的夹角为37°.缓慢加速后使整个装置以角速度ω2匀速转动时，细线OB与竖直方向的夹角变为53°，且此时弹簧弹力与角速度为ω1时大小相等，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6.求：
(1) ω1＝5 rad/s时，OB间的距离；
(2) ω2的大小；
(3) 由ω1增至ω2过程中，细线对小球B做的功．(计算结果保留两位有效数字)
8. （2022福建龙岩三模）飞行员从俯冲状态往上拉升时，会使血压降低、大脑缺血而发生黑视。针对这种情况，飞行员必须进行严格的训练。训练装置如图所示，飞行员坐在离心舱内的座椅上，座椅到转轴的距离为，离心舱在竖直平面内做匀速圆周运动。某次训练时，质量为的飞行员在转动过程中的加速度为（为重力加速度），求：
（1）飞行员匀速转动的角速度；
（2）飞行员在圆周最高点受到座椅的支持力大小；
（3）离心舱某次从最低点转到最高点的过程中，座椅对飞行员做的功。
9. （2022湖南衡阳期中）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度匀速转动，环A与转轴间距离不变时，细线与竖直方向的夹角为37°。已知重力加速度g，，。求：
（1）装置转动的角速度为时，细线OB的拉力T。
（2）装置转动的角速度为时，细线OB的长度s。
（3）若装置转动的角速度为，环A与转轴间距离再次不变，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为时大小相等，求此时弹簧的弹力大小F。
10. （2022江苏第二次百校大联考）(13分)如图所示,足够长的水平轻杆中点固定在竖直轻质转轴O1O2上的O点,小球A和B分别套在水平杆中点的左右两侧,套在转轴上原长为L的轻质弹簧上端固定在O点,下端与小球C连接,小球A、C间和B、C间均用长度为54L的不可伸缩的轻质细线连接,三个小球的质量均为m,均可以看成质点。装置静止时,小球A、B紧靠在转轴上,两根绳子恰被拉直且张力为零。转动该装置并缓慢增大转速,小球C缓慢上升,弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g。求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)当弹簧恢复原长时,装置的转动角速度;
(3)在弹簧的长度由初状态变为34L的过程中,外界对装置所做的功。
11．（16分）（2022四川成都高二质检）某航天员在一个半径为R的星球表面做了如下实验：取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握直管抡动砝码，使它在水平面内做圆周运动，停止抡动细直管并保持细直管竖直。砝码继续在一水平面绕圆心O做匀速圆周运动，如图所示，此时测力计的示数为F，细直管下端和砝码之间的细线长度为L且与竖直方向的夹角为θ。
（1）求该星球表面重力加速度g的大小；
（2）求砝码在水平面内绕圆心O做匀速圆周运动时的角速度大小；
（3）若某卫星在距该星球表面h高处做匀速圆周运动，则该卫星的线速度为多大？
12. （2022江苏镇江期中）(13分)竖直转轴上固定有两根沿水平方向长度均为r的轻杆，间距为l，一轻绳上穿一个质量为m的光滑小环，轻绳两端分别固定于两杆末端A、B两点，开始时小环静止悬挂在底部，如图甲所示．重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6.
(1) 用力F使小环静止在与A等高处，力F沿绳方向，此时α＝53°，如图乙所示，求F的大小；
(2) 若从图甲状态开始用外力转动转轴，稳定时小环与B等高，如图丙所示，求：
①此时转动的角速度ω；
②此过程外力对系统所做的功W.
甲 乙 丙
13. (2022江苏名校质检)如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上A点，质量为m小球和轻弹簧套在轻杆上，小球与轻杆间的动摩擦因数为，弹簧原长为0.6L，左端固定在A点，右端与小球相连，长为L的细线一端系住小球，另一端系在转轴上B点，AB间距离为0.6L，装置静止时将小球向左缓慢推到距A点0.4L处时松手，小球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计转轴所受摩擦。
（1）求弹簧的劲度系数k；
（2）求小球与轻杆间恰无弹力时，装置转动的角速度ω；
（3）从开始转动到小球与轻杆间恰无弹力过程中，外界提供给装置的能量为E，求该过程摩擦力对小球做的功W。
14.（2020高考全国II卷压轴卷）(12分)翼型飞行器有很好的飞行性能，其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气阻力都受到影响，同时通过控制动力的大小而改变飞行器的飞行状态。已知飞行器的动力F始终与飞行方向相同，空气升力F1与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，即F1＝C1v2；空气阻力F2与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，即F2＝C2v2。其中C1、C2相互影响，可由飞行员调节，满足如图甲所示的关系。飞行员和装备的总质量为m＝90 kg。(重力加速度取g＝10 m/s2)
(1)若飞行员使飞行器以速度v1＝10eq \r(3) m/s在空中沿水平方向匀速飞行，如图乙所示。结合甲图计算，飞行器受到的动力F为多大？
(2)若飞行员使飞行器在空中的某一水平面内做匀速圆周运动，如图丙所示，在此过程中调节C1＝5.0 N·s2/m2，机翼中垂线和竖直方向夹角为θ＝37°，求飞行器做匀速圆周运动的半径r和速度v2大小。(已知sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)
15. 转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球的质量均为m，环质量为2m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为3L2，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB杆中弹簧长度为L2时，装置转动的角速度。
(1)F1T1θ1F弹1=k⋅L3F弹1=mg+2T1csθ1F1csθ1+T1csθ1=mgF1sinθ1=T1sinθ1k=6mgL(2)12LF2T2θ2F弹2=12kL=3mg2T2csθ2=mg+F弹2csθ2=L4lF2csθ2=T2csθ2+mgF2sinθ2+T2sinθ2=mω2lsinθ2ω=25gL(1)6mgL(2)12Lω25gL16.(2021湖南邵阳高一期中).如图所示，“V”形光滑支架绕中轴线OO′匀速转动，支架两臂与水平面间夹角θ均为53°，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，已知小球质量为m，支架静止时弹簧被压缩了，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO′匀速转动。sin53°=，cs53°=，求：
（1）轻弹簧的劲度系数k；
（2）轻弹簧恰为原长时，支架的角速度ω0；
17.（13分）（江苏省如东市2020届高三年级第二次学情调测）如图所示，轻杆的一端用铰链固定在竖直转轴OO′上的O端，另一端固定一小球，轻杆可在竖直平面内自由转动，当转轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周转动，此时轻杆与竖直转轴OO′的夹角为37°．已知转轴O端距离水平地面的高度为h，轻杆长度为L，小球的质量为m，重力加速度为g，取sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，求：
（1）小球做匀速圆周运动的线速度v．
（2）若某时刻小球从轻杆上脱落，小球的落地点到转轴的水平距离x．
（3）若缓慢增大转轴的转速，求轻杆与转轴的夹角从37°增加到53°的过程中，轻杆对小球所做的功W．
18. (16分)如图所示，半径为R的水平圆盘可绕着过圆心O的竖直轴转动，在圆盘上从圆心O到圆盘边缘开有一沿半径方向的光滑细槽．一根原长为R的轻弹簧置于槽内，一端固定在圆心O点，另一端贴放着一质量为m的小球，弹簧始终在弹性限度内．
(1) 若小球在沿槽方向的力F1作用下，在圆盘边缘随圆盘以角速度ω0转动，求F1的大小；
(2) 若圆盘以角速度ω1转动，小球被束缚在槽中距离圆盘边缘为x的P点，此时弹簧的弹性势能为Ep解除束缚后，小球从槽口飞离圆盘时沿槽方向的速度大小为v，求此过程中槽对小球做的功W1；
(3) 若圆盘以角速度ω2转动，小球在沿槽方向推力作用下，从圆盘边缘缓慢向内移动距离x到达P点．如果推力大小保持不变，求弹簧的劲度系数k以及此过程中推力做的功W2.
19、（2020北京顺义高三一模）物体沿着圆周的运动是一种常见的运动，匀速圆周运动是当中最简单也是最基本的一种，由于做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动仍旧是一种变速运动，具有加速度。
（1）可按如下模型来研究做匀速圆周运动的物体的加速度：设质点沿半径为r、圆心为O的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A，经极短时间△t 后运动到位置B，如图17所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小。
（2）在研究匀变速直线运动的“位移”时，我们常用“以恒代变”的思想；在研究曲线运动的“瞬时速度”时，又常用“化曲为直”的思想，而在研究一般的曲线运动时，我们用的更多的是一种“化曲为圆”的思想，即对于一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看做半径为某个合适值ρ的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究，ρ叫做曲率半径，如图18所示，试据此分析图19所示的斜抛运动中，轨迹最高点处的曲率半径ρ。
（3）事实上，对于涉及曲线运动加速度问题的研究中，“化曲为圆”并不是唯一的方式，我们还可以采用一种“化圆为抛物线”的思考方式，匀速圆周运动在短时间内可以看成切线方向的匀速运动，法线方向的匀变速运动，设圆弧半径为R，质点做匀速圆周运动的速度大小为v,据此推导质点在做匀速圆周运动时的向心加速度a。
高考物理《圆周运动》常用模型最新模拟题精练
专题08.圆周运动+综合模型
1.（2023四川重点高中质检）如图所示，水平放置的光滑桌面中心开有光滑的小孔，轻质细绳穿过小孔一端连接质量为m的小球，另一端连接总质量为8m的漏斗（其中西沙的质量为7m），小球在轨道1上做匀速圆周运动。某时刻起，漏斗内细沙缓慢流出而漏斗缓慢上升。漏斗内细沙全部流出时漏斗上升的高度为h，之后小球在轨道2上做匀速圆周运动，此过程中小球在任意相等时间内扫过的面积相等，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.小球在单位时间内扫过的面积为2
B.小球在轨道1上运动时的动能为4mgh
C.小球在轨道2上运动时的动能为mgh
D.此过程中细绳对漏斗做的功为3mgh
【参考答案】BCD
【名师解析】设轨道1、2的半径分别为r1、r2，小球在轨道1、2运动时的速度分别为v1、v2，根据已知条件有 8mg=m，mg=m，根据题述，此过程中小球在任意相等时间内扫过的面积相等，可得v1 r1=v2r2，r2- r1=h，解得r2=2 r1=2h，小球在单位时间内扫过的面积为，A错误；小球在轨道1上运动时的动能为=4mgh，选项B正确；小球在轨道2上运动时的动能为=mgh，选项C正确；此过程中小球动能变化为-=mgh -4mgh=-3mgh，细绳对漏斗做的功为3mgh，选项D正确。
2、(12分)（2023江苏盐城市重点高中期初调研）如图所示的装置中,光滑水平杆固定在竖直转轴上,小圆环A和轻弹簧套在杆上,弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A,细线穿过小孔O,两端分别与环A和小球B连接,线与水平杆平行,环A的质量为m,小球B的质量为2 m.现使整个装置绕竖直轴以角速度ω匀速转动,细线与竖直方向的夹角为37∘.缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动,细线与竖直方向的夹角为53∘,此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等,已知重力加速度g,sin37∘=0.6,cs37∘=0.8,求:
(1)装置转动的角速度为ω时,细线OB的长度s.
(2)装置转动的角速度为2ω时,弹簧的弹力大小Fk.
(3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中,细线对小球B做的功W.
【名师解析】. (13分)
(1) 角速度为ω时，对小球B：
2mgtan 37°＝2mω eq \\al(2,1) ssin 37°(2分)
解得s＝(1分)
(2) 装置转动的角速度为2ω时：设OB的长度为s’
对小球B，T2cs53°=2mg
T2sin53°=2m（2ω）2s’ sin53°
解得：s’=
设细线长为L，对圆环A，
角速度为ω时，FT1－Fk＝mω2（L-s） (1分)
角速度为2ω时，FT2+Fk＝m（2ω）2（L-s’） (1分)
联立解得 Fk＝2mg
(3) 装置转动的角速度由ω增加到2ω过程中，对小球B：
重力势能的变化量
ΔEpB＝mBg(LOBcs 37°－L′OBcs 53°)(1分)
小球动能的变化量ΔEkB＝ eq \f(1,2)mBv′ eq \\al(2,B) － eq \f(1,2)mBveq \\al(2,B)(1分)
其中v′B＝2ωL′OBsin 53°，vB＝ωLOBsin 37°
细线对小球B做功W＝ΔEpB＋ΔEkB(1分)
联立解得：W＝(2分)
3．（2023广东名校质检）如图，光滑的水平杆OM和竖直轴ON上分别套着环P和Q，环P的质量m1=m，Q的质量m2=2m，用轻绳连接，一根弹簧左端固定于O点，右端与环P栓接，两环静止时，轻绳与竖直方向的夹角θ＝37°，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2。
（1）弹簧的弹力和水平杆对P的支持力分别是多少；
（2）绳长仍为l，弹簧的劲度系数为k，要θ＝53°，角速度ω的取值。
【参考答案】．（1），；（2）
【名师解析】（1）对P、Q的受力分析如图所示
对Q，由平衡条件，竖直方向上有
Tcs37°=2mg
对P，由平衡条件，竖直方向上有
FN2=mg+Tcs37°
水平方向上有
Tsin37°=F弹
解得
，FN2=
（2）①假设此时弹簧处于拉伸状态，则对P有
对Q，在竖直方向上有
设静止时弹簧的压缩量为x1，则由（1）问可知
设此时弹簧的伸长量为x2，则有
lsin37°+x1+x2=lsin53°
联立上式得
②假设此时弹簧处于收缩状态，此时弹簧的收缩量为x2，，对P有
且
lsin37°+x1-x2=lsin53°
其它和①中所述一致，计算仍得
综①②得
4. （２０２２北京东城二模）测速在生活中很常见，不同的情境中往往采用不同的方法测速。
情境1：如图1所示，滑块上安装了宽度的遮光条，滑块在牵引力作用下通过光电门的时间，估算滑块经过光电门的速度大小。
情境2：某高速公路自动测速装置如图2甲所示，雷达向汽车驶来的方向发射脉冲电磁波。当雷达向汽车发射电磁波时，在显示屏上呈现出一个尖形波；在接收到反射回来的无线电波时，在显示屏上呈现出第二个尖形波。根据两个波在显示屏上的距离，可以计算出汽车至雷达的距离。经过时间t再次发射脉冲电磁波。显示屏如图2乙所示，请根据图中t1、t2、t的意义（），结合光速c，求汽车车速的大小。
情境3：用霍尔效应制作的霍尔测速仪可以通过测量车轮的转速（每秒钟转的圈数），进而测量汽车的行驶速度。某同学设计了一个霍尔测速装置，其原理如图3甲所示。在车轮上固定一个强磁铁，用直流电动机带动车轮匀速转动，当强磁铁经过霍尔元件（固定在车架上）时，霍尔元件输出一个电压脉冲信号。当半径的车轮匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号如图3乙所示。求车轮边缘的线速度大小。
【参考答案】，，
【名师解析】（１）根据
解得
（２）发第一个信号时，汽车到雷达的距离
发第二个信号时，汽车到雷达的距离
汽车的车速
（３）由图象可知，车轮的转速为
车轮边缘的速度大小
5. （２０２２山西太原二模）随着北京冬奥会的举办，全国各地掀起了冰雪运动的热潮。如图所示，某“雪地转转”的水平转杆长为2L，可绕过其中点O的竖直轴转动，杆距雪面高为L，杆的端点A通过长度为L的细绳系着位于水平雪地的轮胎。为方便观测，在杆上距转轴L的B点通过长度为L细线系一个小“冰墩墩”。某次游戏时，游客坐在轮胎上（可视为质点），在转杆带动下在雪地中快速旋转，观测到系冰墩墩的细线偏离竖直方向的夹角为9°。已知游客和轮胎的总质量为M，不考虑空气阻力及轮胎受到雪地的摩擦阻力，取sin9°=tan9°=0.16，重力加速度为g，求：
（1）转杆转动的角速度；
（2）地面对轮胎弹力的大小。
【参考答案】（1）；（2）
【名师解析】
（1）设转杆转动的角速度为，冰墩墩的质量为m、转动半径为，细线拉力大小为
解得
（2）设绳与水平面间夹角为，由几何关系得
设轮胎转动半径为，细绳的拉力大小为，地面对轮胎支持力大小为，则
解得
6. （2022山东济宁期中） 如图所示，质量的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态。假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，试问：
（1）M受到的静摩擦力最小时，平台转动的角速度ω0为多大；
（2）要保持M与平台相对静止，平台转动的角速度不得超过多大。
【参考答案】（1）；（2）
【名师解析】
（1）静摩擦力最小为零，对M
对m
联立得
（2）转盘角速度最大时，M所受最大静摩擦力指向O，对M
对m
联立得
7.（2022江苏连云港二模） (13分)如图所示，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A上，用长L＝0.7 m的细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量mA＝1 kg，小球B的质量mB＝2 kg.当整个装置绕竖直轴以角速度ω1＝5 rad/s匀速转动时，细线OB与竖直方向的夹角为37°.缓慢加速后使整个装置以角速度ω2匀速转动时，细线OB与竖直方向的夹角变为53°，且此时弹簧弹力与角速度为ω1时大小相等，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6.求：
(1) ω1＝5 rad/s时，OB间的距离；
(2) ω2的大小；
(3) 由ω1增至ω2过程中，细线对小球B做的功．(计算结果保留两位有效数字)
【名师解析】. (13分)
(1) 角速度为ω1时，对小球B：
mBgtan 37°＝mBω eq \\al(2,1) LOBsin 37°(2分)
解得LOB＝0.5 m(1分)
(2) 角速度ω1时：对小球B，细线拉力FT＝ eq \f(mBg,cs 37°)(1分)
对圆环A，Fk为弹簧的弹力FT－Fk＝mAω eq \\al(2,1) LOA(1分)
L＝LOA＋LOB
角程度ω2时：
对小球B，细线拉力F′T＝ eq \f(mBg,cs 53°)，mBgtan 53°＝mBω eq \\al(2,2) L′OBsin 53°(1分)
对圆环A，F′T＋Fk＝mAω eq \\al(2,2) L′OA(1分)
L＝L′OA＋L′OB
解得ω2＝10 rad/s(1分)
(3) 对小球B：W＝ΔEpB＋ΔEkB(1分)
ΔEpB＝mBg(LOBcs 37°－L′OBcs 53°)(1分)
ΔEkB＝ eq \f(1,2)mBv′ eq \\al(2,B) － eq \f(1,2)mBveq \\al(2,B)(1分)
其中v′B＝ω2L′OBsin 53°，vB＝ωLOBsin 37°
解得W＝5.5 J(2分)
8. （2022福建龙岩三模）飞行员从俯冲状态往上拉升时，会使血压降低、大脑缺血而发生黑视。针对这种情况，飞行员必须进行严格的训练。训练装置如图所示，飞行员坐在离心舱内的座椅上，座椅到转轴的距离为，离心舱在竖直平面内做匀速圆周运动。某次训练时，质量为的飞行员在转动过程中的加速度为（为重力加速度），求：
（1）飞行员匀速转动的角速度；
（2）飞行员在圆周最高点受到座椅的支持力大小；
（3）离心舱某次从最低点转到最高点的过程中，座椅对飞行员做的功。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）由向心力公式
可得飞行员匀速转动角速度为
（2）最高点对飞行员，根据牛顿第二定律
解得飞行员在圆周最高点受到座椅的支持力大小为
（3）离心舱某次从最低点转到最高点的过程，根据动能定理
解得座椅对飞行员做功为
9. （2022湖南衡阳期中）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度匀速转动，环A与转轴间距离不变时，细线与竖直方向的夹角为37°。已知重力加速度g，，。求：
（1）装置转动的角速度为时，细线OB的拉力T。
（2）装置转动的角速度为时，细线OB的长度s。
（3）若装置转动的角速度为，环A与转轴间距离再次不变，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为时大小相等，求此时弹簧的弹力大小F。
【参考答案】（1）2.5mg；（2）；（3）
【名师解析】
（1）装置转动的角速度为时，对小球B，由竖直方向的平衡可得
解得
T=2.5mg
（2）装置转动的角速度为时，对小球B，由牛顿第二定律可得
解得
（3）装置转动的角速度为时，设OB的长度变为，对小球B，竖直方向和水平方向分别满足
联立解得
设细线的长度为L，对圆环A，角速度为时，有
角速度为时有
联立解得
10. （2022江苏第二次百校大联考）(13分)如图所示,足够长的水平轻杆中点固定在竖直轻质转轴O1O2上的O点,小球A和B分别套在水平杆中点的左右两侧,套在转轴上原长为L的轻质弹簧上端固定在O点,下端与小球C连接,小球A、C间和B、C间均用长度为54L的不可伸缩的轻质细线连接,三个小球的质量均为m,均可以看成质点。装置静止时,小球A、B紧靠在转轴上,两根绳子恰被拉直且张力为零。转动该装置并缓慢增大转速,小球C缓慢上升,弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g。求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)当弹簧恢复原长时,装置的转动角速度;
(3)在弹簧的长度由初状态变为34L的过程中,外界对装置所做的功。
【名师解析】
(1)整个装置静止时,细线恰好被拉直,细线中拉力F1=0,弹簧长度等于细线长
对小球C,由k(54L-L)=mg (2分)
得k=4mgL (1分)
(2)设弹簧恢复原长时,细线的拉力为F2,装置转动的角速度为ω1,细线与转轴间的夹角为θ1,由几何关系可知sinθ1=0.6,csθ1=0.8
对小球C有2F2csθ1=mg (2分)
对小球A有F2sinθ1=mω12×54Lsinθ1 (2分)
解得ω1=g2L (1分)
(3)设弹簧长度为34L时,细线的拉力为F3,装置转动的角速度为ω2,细线与转轴间的夹角为θ2,由几何关系可知sinθ2=0.8,csθ2=0.6
对小球C有2F3csθ2=mg+k(L-34L) (1分)
对小球A有F3sinθ2=mω22×54Lsinθ2 (1分)
在弹簧的长度由初状态变为34L的过程中,弹簧弹性势能不变,
外界对装置所做的功W=12m(ω2L)2×2+12mgL (2分)
解得 W=116mgL (1分)
11．（16分）（2022四川成都高二质检）某航天员在一个半径为R的星球表面做了如下实验：取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握直管抡动砝码，使它在水平面内做圆周运动，停止抡动细直管并保持细直管竖直。砝码继续在一水平面绕圆心O做匀速圆周运动，如图所示，此时测力计的示数为F，细直管下端和砝码之间的细线长度为L且与竖直方向的夹角为θ。
（1）求该星球表面重力加速度g的大小；
（2）求砝码在水平面内绕圆心O做匀速圆周运动时的角速度大小；
（3）若某卫星在距该星球表面h高处做匀速圆周运动，则该卫星的线速度为多大？
【名师解析】：（1）砝码在水平面内做匀速圆周运动，竖直方向处于平衡状态，则：
解得： 4分
细线拉力在水平方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
解得： 5分
在星球表面的物体有： 2分
对卫星，根据万有引力提供向心力得： 3分
解得： 2分
12. （2022江苏镇江期中）(13分)竖直转轴上固定有两根沿水平方向长度均为r的轻杆，间距为l，一轻绳上穿一个质量为m的光滑小环，轻绳两端分别固定于两杆末端A、B两点，开始时小环静止悬挂在底部，如图甲所示．重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6.
(1) 用力F使小环静止在与A等高处，力F沿绳方向，此时α＝53°，如图乙所示，求F的大小；
(2) 若从图甲状态开始用外力转动转轴，稳定时小环与B等高，如图丙所示，求：
①此时转动的角速度ω；
②此过程外力对系统所做的功W.
甲 乙 丙
【名师解析】. (1) 由m的平衡条件得
T＋Tcs α＝Fcs α，(1分)
Tsin α＋mg＝Fsin α，(1分)
可得F＝2mg.(2分)
(2) ①由向心力公式可得
T′cs α＋T′＝mω2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,tan α)＋r))，(1分)
T′sin α＝mg，(1分)
可得ω＝eq \r(,\f(8g,3l＋4r))＝2eq \r(,\f(2g,3l＋4r)).(2分)
②由几何关系可得初始时m位于B点下方eq \f(l,2)，(1分)
由能量守恒关系可得
W＝mgeq \f(l,2)＋eq \f(1,2)mω2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,tan α)＋r))eq \s\up12(2)，(2分)
可得W＝mgr＋eq \f(5,4)mgl.(2分)
13. (2022江苏名校质检)如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上A点，质量为m小球和轻弹簧套在轻杆上，小球与轻杆间的动摩擦因数为，弹簧原长为0.6L，左端固定在A点，右端与小球相连，长为L的细线一端系住小球，另一端系在转轴上B点，AB间距离为0.6L，装置静止时将小球向左缓慢推到距A点0.4L处时松手，小球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计转轴所受摩擦。
（1）求弹簧的劲度系数k；
（2）求小球与轻杆间恰无弹力时，装置转动的角速度ω；
（3）从开始转动到小球与轻杆间恰无弹力过程中，外界提供给装置的能量为E，求该过程摩擦力对小球做的功W。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）依题意，有
解得
（2）小球与轻杆间恰无弹力时受力情况如图所示，此时弹簧长度为0.8L
有
解得
（3）题设过程中弹簧的压缩量与伸长量相等，故弹性势能改变量
则由功能关系有
其中
解得
14.（2020高考全国II卷压轴卷）(12分)翼型飞行器有很好的飞行性能，其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气阻力都受到影响，同时通过控制动力的大小而改变飞行器的飞行状态。已知飞行器的动力F始终与飞行方向相同，空气升力F1与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，即F1＝C1v2；空气阻力F2与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，即F2＝C2v2。其中C1、C2相互影响，可由飞行员调节，满足如图甲所示的关系。飞行员和装备的总质量为m＝90 kg。(重力加速度取g＝10 m/s2)
(1)若飞行员使飞行器以速度v1＝10eq \r(3) m/s在空中沿水平方向匀速飞行，如图乙所示。结合甲图计算，飞行器受到的动力F为多大？
(2)若飞行员使飞行器在空中的某一水平面内做匀速圆周运动，如图丙所示，在此过程中调节C1＝5.0 N·s2/m2，机翼中垂线和竖直方向夹角为θ＝37°，求飞行器做匀速圆周运动的半径r和速度v2大小。(已知sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)
【参考答案】 (1)750 N (2)30 m 15 m/s
【名师解析】 (1)选飞行器和飞行员为研究对象，由受力分析可知，在竖直方向上有：mg＝C1veq \\al(2,1)，
得：C1＝3 N·s2/m2，
由C1、C2关系图象可得：C2＝2.5 N·s2/m2，
在水平方向上，动力和阻力平衡：F＝F2，又F2＝C2veq \\al(2,1)，
解得：F＝750 N。
(2)由题意知空气升力F1′与竖直方向夹角为θ，在竖直方向所受合力为零，有：mg＝C1veq \\al(2,2)csθ，
水平方向合力提供向心力，有：C1veq \\al(2,2)sinθ＝meq \f(v\\al(2,2),r)，
联立解得：r＝30 m；v2＝15 m/s。
15. 转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球的质量均为m，环质量为2m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为3L2，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB杆中弹簧长度为L2时，装置转动的角速度。
【名师解析】 (1)装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1，OA杆与转轴的夹角为θ1。
小环受到弹簧的弹力为：F弹1=k⋅L3
小环受力平衡，则有：F弹1=mg+2T1csθ1
小球受力平衡，则竖直方向有：F1csθ1+T1csθ1=mg
水平方向有：F1sinθ1=T1sinθ1
解得：k=6mgL。
(2)弹簧长度为12L时，设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2，OA杆与转轴的夹角为θ2。
小环受到的弹力为：F弹2=12kL=3mg
小环受力平衡，有：2T2csθ2=mg+F弹2，且csθ2=L4l
对小球，
竖直方向有：F2csθ2=T2csθ2+mg
水平方向有：F2sinθ2+T2sinθ2=mω2lsinθ2，
解得：ω=25gL。
答：(1)弹簧的劲度系数k是6mgL。
(2)弹簧长度缩短为12L时，装置转动的角速度ω是25gL。
16.(2021湖南邵阳高一期中).如图所示，“V”形光滑支架绕中轴线OO′匀速转动，支架两臂与水平面间夹角θ均为53°，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，已知小球质量为m，支架静止时弹簧被压缩了，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO′匀速转动。sin53°=，cs53°=，求：
（1）轻弹簧的劲度系数k；
（2）轻弹簧恰为原长时，支架的角速度ω0；
【参考答案】.（1）；（2）；（3）
【名师解析】：（1）受力分析如图所示：
支架静止时弹簧被压缩了，则有
解得
（2）轻弹簧恰为原长时，弹簧不产生弹力，如图所示：
设支架的角速度ω0，则
解得
17.（13分）（江苏省如东市2020届高三年级第二次学情调测）如图所示，轻杆的一端用铰链固定在竖直转轴OO′上的O端，另一端固定一小球，轻杆可在竖直平面内自由转动，当转轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周转动，此时轻杆与竖直转轴OO′的夹角为37°．已知转轴O端距离水平地面的高度为h，轻杆长度为L，小球的质量为m，重力加速度为g，取sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，求：
（1）小球做匀速圆周运动的线速度v．
（2）若某时刻小球从轻杆上脱落，小球的落地点到转轴的水平距离x．
（3）若缓慢增大转轴的转速，求轻杆与转轴的夹角从37°增加到53°的过程中，轻杆对小球所做的功W．
【名师解析】（1）合外力提供向心力。
mgtan37°=m
解得：v=
（2）根据平抛运动规律，x=vt，h-Lcsθ=gt2，
解得：x=
（3）设夹角增加到53°时，小球的速度为v’，则有mgtan53°=m
由动能定理，W-mgL（cs37°-cs53°）=mv’2-mv2
解得：W=mgL。
18. (16分)如图所示，半径为R的水平圆盘可绕着过圆心O的竖直轴转动，在圆盘上从圆心O到圆盘边缘开有一沿半径方向的光滑细槽．一根原长为R的轻弹簧置于槽内，一端固定在圆心O点，另一端贴放着一质量为m的小球，弹簧始终在弹性限度内．
(1) 若小球在沿槽方向的力F1作用下，在圆盘边缘随圆盘以角速度ω0转动，求F1的大小；
(2) 若圆盘以角速度ω1转动，小球被束缚在槽中距离圆盘边缘为x的P点，此时弹簧的弹性势能为Ep解除束缚后，小球从槽口飞离圆盘时沿槽方向的速度大小为v，求此过程中槽对小球做的功W1；
(3) 若圆盘以角速度ω2转动，小球在沿槽方向推力作用下，从圆盘边缘缓慢向内移动距离x到达P点．如果推力大小保持不变，求弹簧的劲度系数k以及此过程中推力做的功W2.
【名师解析】：
(1) 小球在沿槽方向的力F1作用下做圆周运动，由向心力公式有
F1＝mωeq \\al(2,0)R(4分)
(2) 设小球从槽口飞离圆盘时的速度为v1，则veq \\al(2,1)＝(ω1R)2＋v2(1分)
设在此过程中弹簧对小球做的功为W，由动能定理有
W1＋W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mωeq \\al(2,1)(R－x)2(2分)
由于W＝Ep(1分)
解得W1＝eq \f(1,2)m(ωeq \\al(2,1)R2＋v2)－eq \f(1,2)mωeq \\al(2,1)(R－x)2－Ep(2分)
(3) 当小球沿槽方向缓慢向内移动距离x1时，由向心力公式有
F－kx1＝mωeq \\al(2,2)(R－x1)(2分)
解得F＝mωeq \\al(2,2)R＋(k－mωeq \\al(2,2))x1(1分)
由于F大小不变，与x1无关，则有k＝mωeq \\al(2,2)，F＝mωeq \\al(2,2)R(2分)
W2＝Fx＝mωeq \\al(2,2)Rx(1分)
19、（2020北京顺义高三一模）物体沿着圆周的运动是一种常见的运动，匀速圆周运动是当中最简单也是最基本的一种，由于做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动仍旧是一种变速运动，具有加速度。
（1）可按如下模型来研究做匀速圆周运动的物体的加速度：设质点沿半径为r、圆心为O的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A，经极短时间△t 后运动到位置B，如图17所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小。
（2）在研究匀变速直线运动的“位移”时，我们常用“以恒代变”的思想；在研究曲线运动的“瞬时速度”时，又常用“化曲为直”的思想，而在研究一般的曲线运动时，我们用的更多的是一种“化曲为圆”的思想，即对于一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看做半径为某个合适值ρ的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究，ρ叫做曲率半径，如图18所示，试据此分析图19所示的斜抛运动中，轨迹最高点处的曲率半径ρ。
（3）事实上，对于涉及曲线运动加速度问题的研究中，“化曲为圆”并不是唯一的方式，我们还可以采用一种“化圆为抛物线”的思考方式，匀速圆周运动在短时间内可以看成切线方向的匀速运动，法线方向的匀变速运动，设圆弧半径为R，质点做匀速圆周运动的速度大小为v,据此推导质点在做匀速圆周运动时的向心加速度a。
【名师解析】：（1）当△t 足够小时，vA，vB的夹角θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。因此，θ=△v/v在△t 时间内，速度方向变化的角度
由此可以求得
将此式代入加速度定义式
并把代入
可以导出向心加速度大小的表达式为
上式也可以写成（4分）
（2）在斜抛运动最高点：质点的速度为：
可以把质点的运动看成是半径为ρ的圆周运动，因为质点只受重力，所以有牛顿第二定律有：
将：代入上式可以得：（4分）
（3）质点在短时间△t 内将从A以速度v匀速运动到B’，有匀速运动有：
由图可知：
代入求解得：
当△t足够小时，△t 2=0
所以（4分）
1.（2023四川重点高中质检）如图所示，水平放置的光滑桌面中心开有光滑的小孔，轻质细绳穿过小孔一端连接质量为m的小球，另一端连接总质量为8m的漏斗（其中西沙的质量为7m），小球在轨道1上做匀速圆周运动。某时刻起，漏斗内细沙缓慢流出而漏斗缓慢上升。漏斗内细沙全部流出时漏斗上升的高度为h，之后小球在轨道2上做匀速圆周运动，此过程中小球在任意相等时间内扫过的面积相等，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.小球在单位时间内扫过的面积为2
B.小球在轨道1上运动时的动能为4mgh
C.小球在轨道2上运动时的动能为mgh
D.此过程中细绳对漏斗做的功为3mgh
2、(12分)（2023江苏盐城市重点高中期初调研）如图所示的装置中,光滑水平杆固定在竖直转轴上,小圆环A和轻弹簧套在杆上,弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A,细线穿过小孔O,两端分别与环A和小球B连接,线与水平杆平行,环A的质量为m,小球B的质量为2 m.现使整个装置绕竖直轴以角速度ω匀速转动,细线与竖直方向的夹角为37∘.缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动,细线与竖直方向的夹角为53∘,此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等,已知重力加速度g,sin37∘=0.6,cs37∘=0.8,求:
(1)装置转动的角速度为ω时,细线OB的长度s.
(2)装置转动的角速度为2ω时,弹簧的弹力大小Fk.
(3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中,细线对小球B做的功W.
3．（2023广东名校质检）如图，光滑的水平杆OM和竖直轴ON上分别套着环P和Q，环P的质量m1=m，Q的质量m2=2m，用轻绳连接，一根弹簧左端固定于O点，右端与环P栓接，两环静止时，轻绳与竖直方向的夹角θ＝37°，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2。
（1）弹簧的弹力和水平杆对P的支持力分别是多少；
（2）绳长仍为l，弹簧的劲度系数为k，要θ＝53°，角速度ω的取值。
4. （２０２２北京东城二模）测速在生活中很常见，不同的情境中往往采用不同的方法测速。
情境1：如图1所示，滑块上安装了宽度的遮光条，滑块在牵引力作用下通过光电门的时间，估算滑块经过光电门的速度大小。
情境2：某高速公路自动测速装置如图2甲所示，雷达向汽车驶来的方向发射脉冲电磁波。当雷达向汽车发射电磁波时，在显示屏上呈现出一个尖形波；在接收到反射回来的无线电波时，在显示屏上呈现出第二个尖形波。根据两个波在显示屏上的距离，可以计算出汽车至雷达的距离。经过时间t再次发射脉冲电磁波。显示屏如图2乙所示，请根据图中t1、t2、t的意义（），结合光速c，求汽车车速的大小。
情境3：用霍尔效应制作的霍尔测速仪可以通过测量车轮的转速（每秒钟转的圈数），进而测量汽车的行驶速度。某同学设计了一个霍尔测速装置，其原理如图3甲所示。在车轮上固定一个强磁铁，用直流电动机带动车轮匀速转动，当强磁铁经过霍尔元件（固定在车架上）时，霍尔元件输出一个电压脉冲信号。当半径的车轮匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号如图3乙所示。求车轮边缘的线速度大小。
5. （２０２２山西太原二模）随着北京冬奥会的举办，全国各地掀起了冰雪运动的热潮。如图所示，某“雪地转转”的水平转杆长为2L，可绕过其中点O的竖直轴转动，杆距雪面高为L，杆的端点A通过长度为L的细绳系着位于水平雪地的轮胎。为方便观测，在杆上距转轴L的B点通过长度为L细线系一个小“冰墩墩”。某次游戏时，游客坐在轮胎上（可视为质点），在转杆带动下在雪地中快速旋转，观测到系冰墩墩的细线偏离竖直方向的夹角为9°。已知游客和轮胎的总质量为M，不考虑空气阻力及轮胎受到雪地的摩擦阻力，取sin9°=tan9°=0.16，重力加速度为g，求：
（1）转杆转动的角速度；
（2）地面对轮胎弹力的大小。
6. （2022山东济宁期中） 如图所示，质量的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态。假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，试问：
（1）M受到的静摩擦力最小时，平台转动的角速度ω0为多大；
（2）要保持M与平台相对静止，平台转动的角速度不得超过多大。
7.（2022江苏连云港二模） (13分)如图所示，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A上，用长L＝0.7 m的细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量mA＝1 kg，小球B的质量mB＝2 kg.当整个装置绕竖直轴以角速度ω1＝5 rad/s匀速转动时，细线OB与竖直方向的夹角为37°.缓慢加速后使整个装置以角速度ω2匀速转动时，细线OB与竖直方向的夹角变为53°，且此时弹簧弹力与角速度为ω1时大小相等，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6.求：
(1) ω1＝5 rad/s时，OB间的距离；
(2) ω2的大小；
(3) 由ω1增至ω2过程中，细线对小球B做的功．(计算结果保留两位有效数字)
8. （2022福建龙岩三模）飞行员从俯冲状态往上拉升时，会使血压降低、大脑缺血而发生黑视。针对这种情况，飞行员必须进行严格的训练。训练装置如图所示，飞行员坐在离心舱内的座椅上，座椅到转轴的距离为，离心舱在竖直平面内做匀速圆周运动。某次训练时，质量为的飞行员在转动过程中的加速度为（为重力加速度），求：
（1）飞行员匀速转动的角速度；
（2）飞行员在圆周最高点受到座椅的支持力大小；
（3）离心舱某次从最低点转到最高点的过程中，座椅对飞行员做的功。
9. （2022湖南衡阳期中）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度匀速转动，环A与转轴间距离不变时，细线与竖直方向的夹角为37°。已知重力加速度g，，。求：
（1）装置转动的角速度为时，细线OB的拉力T。
（2）装置转动的角速度为时，细线OB的长度s。
（3）若装置转动的角速度为，环A与转轴间距离再次不变，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为时大小相等，求此时弹簧的弹力大小F。
10. （2022江苏第二次百校大联考）(13分)如图所示,足够长的水平轻杆中点固定在竖直轻质转轴O1O2上的O点,小球A和B分别套在水平杆中点的左右两侧,套在转轴上原长为L的轻质弹簧上端固定在O点,下端与小球C连接,小球A、C间和B、C间均用长度为54L的不可伸缩的轻质细线连接,三个小球的质量均为m,均可以看成质点。装置静止时,小球A、B紧靠在转轴上,两根绳子恰被拉直且张力为零。转动该装置并缓慢增大转速,小球C缓慢上升,弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g。求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)当弹簧恢复原长时,装置的转动角速度;
(3)在弹簧的长度由初状态变为34L的过程中,外界对装置所做的功。
11．（16分）（2022四川成都高二质检）某航天员在一个半径为R的星球表面做了如下实验：取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握直管抡动砝码，使它在水平面内做圆周运动，停止抡动细直管并保持细直管竖直。砝码继续在一水平面绕圆心O做匀速圆周运动，如图所示，此时测力计的示数为F，细直管下端和砝码之间的细线长度为L且与竖直方向的夹角为θ。
（1）求该星球表面重力加速度g的大小；
（2）求砝码在水平面内绕圆心O做匀速圆周运动时的角速度大小；
（3）若某卫星在距该星球表面h高处做匀速圆周运动，则该卫星的线速度为多大？
12. （2022江苏镇江期中）(13分)竖直转轴上固定有两根沿水平方向长度均为r的轻杆，间距为l，一轻绳上穿一个质量为m的光滑小环，轻绳两端分别固定于两杆末端A、B两点，开始时小环静止悬挂在底部，如图甲所示．重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6.
(1) 用力F使小环静止在与A等高处，力F沿绳方向，此时α＝53°，如图乙所示，求F的大小；
(2) 若从图甲状态开始用外力转动转轴，稳定时小环与B等高，如图丙所示，求：
①此时转动的角速度ω；
②此过程外力对系统所做的功W.
甲 乙 丙
13. (2022江苏名校质检)如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上A点，质量为m小球和轻弹簧套在轻杆上，小球与轻杆间的动摩擦因数为，弹簧原长为0.6L，左端固定在A点，右端与小球相连，长为L的细线一端系住小球，另一端系在转轴上B点，AB间距离为0.6L，装置静止时将小球向左缓慢推到距A点0.4L处时松手，小球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计转轴所受摩擦。
（1）求弹簧的劲度系数k；
（2）求小球与轻杆间恰无弹力时，装置转动的角速度ω；
（3）从开始转动到小球与轻杆间恰无弹力过程中，外界提供给装置的能量为E，求该过程摩擦力对小球做的功W。
14.（2020高考全国II卷压轴卷）(12分)翼型飞行器有很好的飞行性能，其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气阻力都受到影响，同时通过控制动力的大小而改变飞行器的飞行状态。已知飞行器的动力F始终与飞行方向相同，空气升力F1与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，即F1＝C1v2；空气阻力F2与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，即F2＝C2v2。其中C1、C2相互影响，可由飞行员调节，满足如图甲所示的关系。飞行员和装备的总质量为m＝90 kg。(重力加速度取g＝10 m/s2)
(1)若飞行员使飞行器以速度v1＝10eq \r(3) m/s在空中沿水平方向匀速飞行，如图乙所示。结合甲图计算，飞行器受到的动力F为多大？
(2)若飞行员使飞行器在空中的某一水平面内做匀速圆周运动，如图丙所示，在此过程中调节C1＝5.0 N·s2/m2，机翼中垂线和竖直方向夹角为θ＝37°，求飞行器做匀速圆周运动的半径r和速度v2大小。(已知sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)
15. 转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球的质量均为m，环质量为2m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为3L2，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB杆中弹簧长度为L2时，装置转动的角速度。
(1)F1T1θ1F弹1=k⋅L3F弹1=mg+2T1csθ1F1csθ1+T1csθ1=mgF1sinθ1=T1sinθ1k=6mgL(2)12LF2T2θ2F弹2=12kL=3mg2T2csθ2=mg+F弹2csθ2=L4lF2csθ2=T2csθ2+mgF2sinθ2+T2sinθ2=mω2lsinθ2ω=25gL(1)6mgL(2)12Lω25gL16.(2021湖南邵阳高一期中).如图所示，“V”形光滑支架绕中轴线OO′匀速转动，支架两臂与水平面间夹角θ均为53°，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，已知小球质量为m，支架静止时弹簧被压缩了，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO′匀速转动。sin53°=，cs53°=，求：
（1）轻弹簧的劲度系数k；
（2）轻弹簧恰为原长时，支架的角速度ω0；
17.（13分）（江苏省如东市2020届高三年级第二次学情调测）如图所示，轻杆的一端用铰链固定在竖直转轴OO′上的O端，另一端固定一小球，轻杆可在竖直平面内自由转动，当转轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周转动，此时轻杆与竖直转轴OO′的夹角为37°．已知转轴O端距离水平地面的高度为h，轻杆长度为L，小球的质量为m，重力加速度为g，取sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，求：
（1）小球做匀速圆周运动的线速度v．
（2）若某时刻小球从轻杆上脱落，小球的落地点到转轴的水平距离x．
（3）若缓慢增大转轴的转速，求轻杆与转轴的夹角从37°增加到53°的过程中，轻杆对小球所做的功W．
18. (16分)如图所示，半径为R的水平圆盘可绕着过圆心O的竖直轴转动，在圆盘上从圆心O到圆盘边缘开有一沿半径方向的光滑细槽．一根原长为R的轻弹簧置于槽内，一端固定在圆心O点，另一端贴放着一质量为m的小球，弹簧始终在弹性限度内．
(1) 若小球在沿槽方向的力F1作用下，在圆盘边缘随圆盘以角速度ω0转动，求F1的大小；
(2) 若圆盘以角速度ω1转动，小球被束缚在槽中距离圆盘边缘为x的P点，此时弹簧的弹性势能为Ep解除束缚后，小球从槽口飞离圆盘时沿槽方向的速度大小为v，求此过程中槽对小球做的功W1；
(3) 若圆盘以角速度ω2转动，小球在沿槽方向推力作用下，从圆盘边缘缓慢向内移动距离x到达P点．如果推力大小保持不变，求弹簧的劲度系数k以及此过程中推力做的功W2.
19、（2020北京顺义高三一模）物体沿着圆周的运动是一种常见的运动，匀速圆周运动是当中最简单也是最基本的一种，由于做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动仍旧是一种变速运动，具有加速度。
（1）可按如下模型来研究做匀速圆周运动的物体的加速度：设质点沿半径为r、圆心为O的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A，经极短时间△t 后运动到位置B，如图17所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小。
（2）在研究匀变速直线运动的“位移”时，我们常用“以恒代变”的思想；在研究曲线运动的“瞬时速度”时，又常用“化曲为直”的思想，而在研究一般的曲线运动时，我们用的更多的是一种“化曲为圆”的思想，即对于一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看做半径为某个合适值ρ的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究，ρ叫做曲率半径，如图18所示，试据此分析图19所示的斜抛运动中，轨迹最高点处的曲率半径ρ。
（3）事实上，对于涉及曲线运动加速度问题的研究中，“化曲为圆”并不是唯一的方式，我们还可以采用一种“化圆为抛物线”的思考方式，匀速圆周运动在短时间内可以看成切线方向的匀速运动，法线方向的匀变速运动，设圆弧半径为R，质点做匀速圆周运动的速度大小为v,据此推导质点在做匀速圆周运动时的向心加速度a。
高考物理《圆周运动》常用模型最新模拟题精练
专题08.圆周运动+综合模型
1.（2023四川重点高中质检）如图所示，水平放置的光滑桌面中心开有光滑的小孔，轻质细绳穿过小孔一端连接质量为m的小球，另一端连接总质量为8m的漏斗（其中西沙的质量为7m），小球在轨道1上做匀速圆周运动。某时刻起，漏斗内细沙缓慢流出而漏斗缓慢上升。漏斗内细沙全部流出时漏斗上升的高度为h，之后小球在轨道2上做匀速圆周运动，此过程中小球在任意相等时间内扫过的面积相等，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.小球在单位时间内扫过的面积为2
B.小球在轨道1上运动时的动能为4mgh
C.小球在轨道2上运动时的动能为mgh
D.此过程中细绳对漏斗做的功为3mgh
【参考答案】BCD
【名师解析】设轨道1、2的半径分别为r1、r2，小球在轨道1、2运动时的速度分别为v1、v2，根据已知条件有 8mg=m，mg=m，根据题述，此过程中小球在任意相等时间内扫过的面积相等，可得v1 r1=v2r2，r2- r1=h，解得r2=2 r1=2h，小球在单位时间内扫过的面积为，A错误；小球在轨道1上运动时的动能为=4mgh，选项B正确；小球在轨道2上运动时的动能为=mgh，选项C正确；此过程中小球动能变化为-=mgh -4mgh=-3mgh，细绳对漏斗做的功为3mgh，选项D正确。
2、(12分)（2023江苏盐城市重点高中期初调研）如图所示的装置中,光滑水平杆固定在竖直转轴上,小圆环A和轻弹簧套在杆上,弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A,细线穿过小孔O,两端分别与环A和小球B连接,线与水平杆平行,环A的质量为m,小球B的质量为2 m.现使整个装置绕竖直轴以角速度ω匀速转动,细线与竖直方向的夹角为37∘.缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动,细线与竖直方向的夹角为53∘,此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等,已知重力加速度g,sin37∘=0.6,cs37∘=0.8,求:
(1)装置转动的角速度为ω时,细线OB的长度s.
(2)装置转动的角速度为2ω时,弹簧的弹力大小Fk.
(3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中,细线对小球B做的功W.
【名师解析】. (13分)
(1) 角速度为ω时，对小球B：
2mgtan 37°＝2mω eq \\al(2,1) ssin 37°(2分)
解得s＝(1分)
(2) 装置转动的角速度为2ω时：设OB的长度为s’
对小球B，T2cs53°=2mg
T2sin53°=2m（2ω）2s’ sin53°
解得：s’=
设细线长为L，对圆环A，
角速度为ω时，FT1－Fk＝mω2（L-s） (1分)
角速度为2ω时，FT2+Fk＝m（2ω）2（L-s’） (1分)
联立解得 Fk＝2mg
(3) 装置转动的角速度由ω增加到2ω过程中，对小球B：
重力势能的变化量
ΔEpB＝mBg(LOBcs 37°－L′OBcs 53°)(1分)
小球动能的变化量ΔEkB＝ eq \f(1,2)mBv′ eq \\al(2,B) － eq \f(1,2)mBveq \\al(2,B)(1分)
其中v′B＝2ωL′OBsin 53°，vB＝ωLOBsin 37°
细线对小球B做功W＝ΔEpB＋ΔEkB(1分)
联立解得：W＝(2分)
3．（2023广东名校质检）如图，光滑的水平杆OM和竖直轴ON上分别套着环P和Q，环P的质量m1=m，Q的质量m2=2m，用轻绳连接，一根弹簧左端固定于O点，右端与环P栓接，两环静止时，轻绳与竖直方向的夹角θ＝37°，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2。
（1）弹簧的弹力和水平杆对P的支持力分别是多少；
（2）绳长仍为l，弹簧的劲度系数为k，要θ＝53°，角速度ω的取值。
【参考答案】．（1），；（2）
【名师解析】（1）对P、Q的受力分析如图所示
对Q，由平衡条件，竖直方向上有
Tcs37°=2mg
对P，由平衡条件，竖直方向上有
FN2=mg+Tcs37°
水平方向上有
Tsin37°=F弹
解得
，FN2=
（2）①假设此时弹簧处于拉伸状态，则对P有
对Q，在竖直方向上有
设静止时弹簧的压缩量为x1，则由（1）问可知
设此时弹簧的伸长量为x2，则有
lsin37°+x1+x2=lsin53°
联立上式得
②假设此时弹簧处于收缩状态，此时弹簧的收缩量为x2，，对P有
且
lsin37°+x1-x2=lsin53°
其它和①中所述一致，计算仍得
综①②得
4. （２０２２北京东城二模）测速在生活中很常见，不同的情境中往往采用不同的方法测速。
情境1：如图1所示，滑块上安装了宽度的遮光条，滑块在牵引力作用下通过光电门的时间，估算滑块经过光电门的速度大小。
情境2：某高速公路自动测速装置如图2甲所示，雷达向汽车驶来的方向发射脉冲电磁波。当雷达向汽车发射电磁波时，在显示屏上呈现出一个尖形波；在接收到反射回来的无线电波时，在显示屏上呈现出第二个尖形波。根据两个波在显示屏上的距离，可以计算出汽车至雷达的距离。经过时间t再次发射脉冲电磁波。显示屏如图2乙所示，请根据图中t1、t2、t的意义（），结合光速c，求汽车车速的大小。
情境3：用霍尔效应制作的霍尔测速仪可以通过测量车轮的转速（每秒钟转的圈数），进而测量汽车的行驶速度。某同学设计了一个霍尔测速装置，其原理如图3甲所示。在车轮上固定一个强磁铁，用直流电动机带动车轮匀速转动，当强磁铁经过霍尔元件（固定在车架上）时，霍尔元件输出一个电压脉冲信号。当半径的车轮匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号如图3乙所示。求车轮边缘的线速度大小。
【参考答案】，，
【名师解析】（１）根据
解得
（２）发第一个信号时，汽车到雷达的距离
发第二个信号时，汽车到雷达的距离
汽车的车速
（３）由图象可知，车轮的转速为
车轮边缘的速度大小
5. （２０２２山西太原二模）随着北京冬奥会的举办，全国各地掀起了冰雪运动的热潮。如图所示，某“雪地转转”的水平转杆长为2L，可绕过其中点O的竖直轴转动，杆距雪面高为L，杆的端点A通过长度为L的细绳系着位于水平雪地的轮胎。为方便观测，在杆上距转轴L的B点通过长度为L细线系一个小“冰墩墩”。某次游戏时，游客坐在轮胎上（可视为质点），在转杆带动下在雪地中快速旋转，观测到系冰墩墩的细线偏离竖直方向的夹角为9°。已知游客和轮胎的总质量为M，不考虑空气阻力及轮胎受到雪地的摩擦阻力，取sin9°=tan9°=0.16，重力加速度为g，求：
（1）转杆转动的角速度；
（2）地面对轮胎弹力的大小。
【参考答案】（1）；（2）
【名师解析】
（1）设转杆转动的角速度为，冰墩墩的质量为m、转动半径为，细线拉力大小为
解得
（2）设绳与水平面间夹角为，由几何关系得
设轮胎转动半径为，细绳的拉力大小为，地面对轮胎支持力大小为，则
解得
6. （2022山东济宁期中） 如图所示，质量的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态。假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，试问：
（1）M受到的静摩擦力最小时，平台转动的角速度ω0为多大；
（2）要保持M与平台相对静止，平台转动的角速度不得超过多大。
【参考答案】（1）；（2）
【名师解析】
（1）静摩擦力最小为零，对M
对m
联立得
（2）转盘角速度最大时，M所受最大静摩擦力指向O，对M
对m
联立得
7.（2022江苏连云港二模） (13分)如图所示，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A上，用长L＝0.7 m的细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量mA＝1 kg，小球B的质量mB＝2 kg.当整个装置绕竖直轴以角速度ω1＝5 rad/s匀速转动时，细线OB与竖直方向的夹角为37°.缓慢加速后使整个装置以角速度ω2匀速转动时，细线OB与竖直方向的夹角变为53°，且此时弹簧弹力与角速度为ω1时大小相等，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6.求：
(1) ω1＝5 rad/s时，OB间的距离；
(2) ω2的大小；
(3) 由ω1增至ω2过程中，细线对小球B做的功．(计算结果保留两位有效数字)
【名师解析】. (13分)
(1) 角速度为ω1时，对小球B：
mBgtan 37°＝mBω eq \\al(2,1) LOBsin 37°(2分)
解得LOB＝0.5 m(1分)
(2) 角速度ω1时：对小球B，细线拉力FT＝ eq \f(mBg,cs 37°)(1分)
对圆环A，Fk为弹簧的弹力FT－Fk＝mAω eq \\al(2,1) LOA(1分)
L＝LOA＋LOB
角程度ω2时：
对小球B，细线拉力F′T＝ eq \f(mBg,cs 53°)，mBgtan 53°＝mBω eq \\al(2,2) L′OBsin 53°(1分)
对圆环A，F′T＋Fk＝mAω eq \\al(2,2) L′OA(1分)
L＝L′OA＋L′OB
解得ω2＝10 rad/s(1分)
(3) 对小球B：W＝ΔEpB＋ΔEkB(1分)
ΔEpB＝mBg(LOBcs 37°－L′OBcs 53°)(1分)
ΔEkB＝ eq \f(1,2)mBv′ eq \\al(2,B) － eq \f(1,2)mBveq \\al(2,B)(1分)
其中v′B＝ω2L′OBsin 53°，vB＝ωLOBsin 37°
解得W＝5.5 J(2分)
8. （2022福建龙岩三模）飞行员从俯冲状态往上拉升时，会使血压降低、大脑缺血而发生黑视。针对这种情况，飞行员必须进行严格的训练。训练装置如图所示，飞行员坐在离心舱内的座椅上，座椅到转轴的距离为，离心舱在竖直平面内做匀速圆周运动。某次训练时，质量为的飞行员在转动过程中的加速度为（为重力加速度），求：
（1）飞行员匀速转动的角速度；
（2）飞行员在圆周最高点受到座椅的支持力大小；
（3）离心舱某次从最低点转到最高点的过程中，座椅对飞行员做的功。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）由向心力公式
可得飞行员匀速转动角速度为
（2）最高点对飞行员，根据牛顿第二定律
解得飞行员在圆周最高点受到座椅的支持力大小为
（3）离心舱某次从最低点转到最高点的过程，根据动能定理
解得座椅对飞行员做功为
9. （2022湖南衡阳期中）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度匀速转动，环A与转轴间距离不变时，细线与竖直方向的夹角为37°。已知重力加速度g，，。求：
（1）装置转动的角速度为时，细线OB的拉力T。
（2）装置转动的角速度为时，细线OB的长度s。
（3）若装置转动的角速度为，环A与转轴间距离再次不变，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为时大小相等，求此时弹簧的弹力大小F。
【参考答案】（1）2.5mg；（2）；（3）
【名师解析】
（1）装置转动的角速度为时，对小球B，由竖直方向的平衡可得
解得
T=2.5mg
（2）装置转动的角速度为时，对小球B，由牛顿第二定律可得
解得
（3）装置转动的角速度为时，设OB的长度变为，对小球B，竖直方向和水平方向分别满足
联立解得
设细线的长度为L，对圆环A，角速度为时，有
角速度为时有
联立解得
10. （2022江苏第二次百校大联考）(13分)如图所示,足够长的水平轻杆中点固定在竖直轻质转轴O1O2上的O点,小球A和B分别套在水平杆中点的左右两侧,套在转轴上原长为L的轻质弹簧上端固定在O点,下端与小球C连接,小球A、C间和B、C间均用长度为54L的不可伸缩的轻质细线连接,三个小球的质量均为m,均可以看成质点。装置静止时,小球A、B紧靠在转轴上,两根绳子恰被拉直且张力为零。转动该装置并缓慢增大转速,小球C缓慢上升,弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g。求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)当弹簧恢复原长时,装置的转动角速度;
(3)在弹簧的长度由初状态变为34L的过程中,外界对装置所做的功。
【名师解析】
(1)整个装置静止时,细线恰好被拉直,细线中拉力F1=0,弹簧长度等于细线长
对小球C,由k(54L-L)=mg (2分)
得k=4mgL (1分)
(2)设弹簧恢复原长时,细线的拉力为F2,装置转动的角速度为ω1,细线与转轴间的夹角为θ1,由几何关系可知sinθ1=0.6,csθ1=0.8
对小球C有2F2csθ1=mg (2分)
对小球A有F2sinθ1=mω12×54Lsinθ1 (2分)
解得ω1=g2L (1分)
(3)设弹簧长度为34L时,细线的拉力为F3,装置转动的角速度为ω2,细线与转轴间的夹角为θ2,由几何关系可知sinθ2=0.8,csθ2=0.6
对小球C有2F3csθ2=mg+k(L-34L) (1分)
对小球A有F3sinθ2=mω22×54Lsinθ2 (1分)
在弹簧的长度由初状态变为34L的过程中,弹簧弹性势能不变,
外界对装置所做的功W=12m(ω2L)2×2+12mgL (2分)
解得 W=116mgL (1分)
11．（16分）（2022四川成都高二质检）某航天员在一个半径为R的星球表面做了如下实验：取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握直管抡动砝码，使它在水平面内做圆周运动，停止抡动细直管并保持细直管竖直。砝码继续在一水平面绕圆心O做匀速圆周运动，如图所示，此时测力计的示数为F，细直管下端和砝码之间的细线长度为L且与竖直方向的夹角为θ。
（1）求该星球表面重力加速度g的大小；
（2）求砝码在水平面内绕圆心O做匀速圆周运动时的角速度大小；
（3）若某卫星在距该星球表面h高处做匀速圆周运动，则该卫星的线速度为多大？
【名师解析】：（1）砝码在水平面内做匀速圆周运动，竖直方向处于平衡状态，则：
解得： 4分
细线拉力在水平方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
解得： 5分
在星球表面的物体有： 2分
对卫星，根据万有引力提供向心力得： 3分
解得： 2分
12. （2022江苏镇江期中）(13分)竖直转轴上固定有两根沿水平方向长度均为r的轻杆，间距为l，一轻绳上穿一个质量为m的光滑小环，轻绳两端分别固定于两杆末端A、B两点，开始时小环静止悬挂在底部，如图甲所示．重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6.
(1) 用力F使小环静止在与A等高处，力F沿绳方向，此时α＝53°，如图乙所示，求F的大小；
(2) 若从图甲状态开始用外力转动转轴，稳定时小环与B等高，如图丙所示，求：
①此时转动的角速度ω；
②此过程外力对系统所做的功W.
甲 乙 丙
【名师解析】. (1) 由m的平衡条件得
T＋Tcs α＝Fcs α，(1分)
Tsin α＋mg＝Fsin α，(1分)
可得F＝2mg.(2分)
(2) ①由向心力公式可得
T′cs α＋T′＝mω2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,tan α)＋r))，(1分)
T′sin α＝mg，(1分)
可得ω＝eq \r(,\f(8g,3l＋4r))＝2eq \r(,\f(2g,3l＋4r)).(2分)
②由几何关系可得初始时m位于B点下方eq \f(l,2)，(1分)
由能量守恒关系可得
W＝mgeq \f(l,2)＋eq \f(1,2)mω2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,tan α)＋r))eq \s\up12(2)，(2分)
可得W＝mgr＋eq \f(5,4)mgl.(2分)
13. (2022江苏名校质检)如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上A点，质量为m小球和轻弹簧套在轻杆上，小球与轻杆间的动摩擦因数为，弹簧原长为0.6L，左端固定在A点，右端与小球相连，长为L的细线一端系住小球，另一端系在转轴上B点，AB间距离为0.6L，装置静止时将小球向左缓慢推到距A点0.4L处时松手，小球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计转轴所受摩擦。
（1）求弹簧的劲度系数k；
（2）求小球与轻杆间恰无弹力时，装置转动的角速度ω；
（3）从开始转动到小球与轻杆间恰无弹力过程中，外界提供给装置的能量为E，求该过程摩擦力对小球做的功W。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）依题意，有
解得
（2）小球与轻杆间恰无弹力时受力情况如图所示，此时弹簧长度为0.8L
有
解得
（3）题设过程中弹簧的压缩量与伸长量相等，故弹性势能改变量
则由功能关系有
其中
解得
14.（2020高考全国II卷压轴卷）(12分)翼型飞行器有很好的飞行性能，其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气阻力都受到影响，同时通过控制动力的大小而改变飞行器的飞行状态。已知飞行器的动力F始终与飞行方向相同，空气升力F1与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，即F1＝C1v2；空气阻力F2与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，即F2＝C2v2。其中C1、C2相互影响，可由飞行员调节，满足如图甲所示的关系。飞行员和装备的总质量为m＝90 kg。(重力加速度取g＝10 m/s2)
(1)若飞行员使飞行器以速度v1＝10eq \r(3) m/s在空中沿水平方向匀速飞行，如图乙所示。结合甲图计算，飞行器受到的动力F为多大？
(2)若飞行员使飞行器在空中的某一水平面内做匀速圆周运动，如图丙所示，在此过程中调节C1＝5.0 N·s2/m2，机翼中垂线和竖直方向夹角为θ＝37°，求飞行器做匀速圆周运动的半径r和速度v2大小。(已知sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)
【参考答案】 (1)750 N (2)30 m 15 m/s
【名师解析】 (1)选飞行器和飞行员为研究对象，由受力分析可知，在竖直方向上有：mg＝C1veq \\al(2,1)，
得：C1＝3 N·s2/m2，
由C1、C2关系图象可得：C2＝2.5 N·s2/m2，
在水平方向上，动力和阻力平衡：F＝F2，又F2＝C2veq \\al(2,1)，
解得：F＝750 N。
(2)由题意知空气升力F1′与竖直方向夹角为θ，在竖直方向所受合力为零，有：mg＝C1veq \\al(2,2)csθ，
水平方向合力提供向心力，有：C1veq \\al(2,2)sinθ＝meq \f(v\\al(2,2),r)，
联立解得：r＝30 m；v2＝15 m/s。
15. 转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球的质量均为m，环质量为2m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为3L2，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB杆中弹簧长度为L2时，装置转动的角速度。
【名师解析】 (1)装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1，OA杆与转轴的夹角为θ1。
小环受到弹簧的弹力为：F弹1=k⋅L3
小环受力平衡，则有：F弹1=mg+2T1csθ1
小球受力平衡，则竖直方向有：F1csθ1+T1csθ1=mg
水平方向有：F1sinθ1=T1sinθ1
解得：k=6mgL。
(2)弹簧长度为12L时，设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2，OA杆与转轴的夹角为θ2。
小环受到的弹力为：F弹2=12kL=3mg
小环受力平衡，有：2T2csθ2=mg+F弹2，且csθ2=L4l
对小球，
竖直方向有：F2csθ2=T2csθ2+mg
水平方向有：F2sinθ2+T2sinθ2=mω2lsinθ2，
解得：ω=25gL。
答：(1)弹簧的劲度系数k是6mgL。
(2)弹簧长度缩短为12L时，装置转动的角速度ω是25gL。
16.(2021湖南邵阳高一期中).如图所示，“V”形光滑支架绕中轴线OO′匀速转动，支架两臂与水平面间夹角θ均为53°，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，已知小球质量为m，支架静止时弹簧被压缩了，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO′匀速转动。sin53°=，cs53°=，求：
（1）轻弹簧的劲度系数k；
（2）轻弹簧恰为原长时，支架的角速度ω0；
【参考答案】.（1）；（2）；（3）
【名师解析】：（1）受力分析如图所示：
支架静止时弹簧被压缩了，则有
解得
（2）轻弹簧恰为原长时，弹簧不产生弹力，如图所示：
设支架的角速度ω0，则
解得
17.（13分）（江苏省如东市2020届高三年级第二次学情调测）如图所示，轻杆的一端用铰链固定在竖直转轴OO′上的O端，另一端固定一小球，轻杆可在竖直平面内自由转动，当转轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周转动，此时轻杆与竖直转轴OO′的夹角为37°．已知转轴O端距离水平地面的高度为h，轻杆长度为L，小球的质量为m，重力加速度为g，取sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，求：
（1）小球做匀速圆周运动的线速度v．
（2）若某时刻小球从轻杆上脱落，小球的落地点到转轴的水平距离x．
（3）若缓慢增大转轴的转速，求轻杆与转轴的夹角从37°增加到53°的过程中，轻杆对小球所做的功W．
【名师解析】（1）合外力提供向心力。
mgtan37°=m
解得：v=
（2）根据平抛运动规律，x=vt，h-Lcsθ=gt2，
解得：x=
（3）设夹角增加到53°时，小球的速度为v’，则有mgtan53°=m
由动能定理，W-mgL（cs37°-cs53°）=mv’2-mv2
解得：W=mgL。
18. (16分)如图所示，半径为R的水平圆盘可绕着过圆心O的竖直轴转动，在圆盘上从圆心O到圆盘边缘开有一沿半径方向的光滑细槽．一根原长为R的轻弹簧置于槽内，一端固定在圆心O点，另一端贴放着一质量为m的小球，弹簧始终在弹性限度内．
(1) 若小球在沿槽方向的力F1作用下，在圆盘边缘随圆盘以角速度ω0转动，求F1的大小；
(2) 若圆盘以角速度ω1转动，小球被束缚在槽中距离圆盘边缘为x的P点，此时弹簧的弹性势能为Ep解除束缚后，小球从槽口飞离圆盘时沿槽方向的速度大小为v，求此过程中槽对小球做的功W1；
(3) 若圆盘以角速度ω2转动，小球在沿槽方向推力作用下，从圆盘边缘缓慢向内移动距离x到达P点．如果推力大小保持不变，求弹簧的劲度系数k以及此过程中推力做的功W2.
【名师解析】：
(1) 小球在沿槽方向的力F1作用下做圆周运动，由向心力公式有
F1＝mωeq \\al(2,0)R(4分)
(2) 设小球从槽口飞离圆盘时的速度为v1，则veq \\al(2,1)＝(ω1R)2＋v2(1分)
设在此过程中弹簧对小球做的功为W，由动能定理有
W1＋W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mωeq \\al(2,1)(R－x)2(2分)
由于W＝Ep(1分)
解得W1＝eq \f(1,2)m(ωeq \\al(2,1)R2＋v2)－eq \f(1,2)mωeq \\al(2,1)(R－x)2－Ep(2分)
(3) 当小球沿槽方向缓慢向内移动距离x1时，由向心力公式有
F－kx1＝mωeq \\al(2,2)(R－x1)(2分)
解得F＝mωeq \\al(2,2)R＋(k－mωeq \\al(2,2))x1(1分)
由于F大小不变，与x1无关，则有k＝mωeq \\al(2,2)，F＝mωeq \\al(2,2)R(2分)
W2＝Fx＝mωeq \\al(2,2)Rx(1分)
19、（2020北京顺义高三一模）物体沿着圆周的运动是一种常见的运动，匀速圆周运动是当中最简单也是最基本的一种，由于做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动仍旧是一种变速运动，具有加速度。
（1）可按如下模型来研究做匀速圆周运动的物体的加速度：设质点沿半径为r、圆心为O的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A，经极短时间△t 后运动到位置B，如图17所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小。
（2）在研究匀变速直线运动的“位移”时，我们常用“以恒代变”的思想；在研究曲线运动的“瞬时速度”时，又常用“化曲为直”的思想，而在研究一般的曲线运动时，我们用的更多的是一种“化曲为圆”的思想，即对于一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看做半径为某个合适值ρ的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究，ρ叫做曲率半径，如图18所示，试据此分析图19所示的斜抛运动中，轨迹最高点处的曲率半径ρ。
（3）事实上，对于涉及曲线运动加速度问题的研究中，“化曲为圆”并不是唯一的方式，我们还可以采用一种“化圆为抛物线”的思考方式，匀速圆周运动在短时间内可以看成切线方向的匀速运动，法线方向的匀变速运动，设圆弧半径为R，质点做匀速圆周运动的速度大小为v,据此推导质点在做匀速圆周运动时的向心加速度a。
【名师解析】：（1）当△t 足够小时，vA，vB的夹角θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。因此，θ=△v/v在△t 时间内，速度方向变化的角度
由此可以求得
将此式代入加速度定义式
并把代入
可以导出向心加速度大小的表达式为
上式也可以写成（4分）
（2）在斜抛运动最高点：质点的速度为：
可以把质点的运动看成是半径为ρ的圆周运动，因为质点只受重力，所以有牛顿第二定律有：
将：代入上式可以得：（4分）
（3）质点在短时间△t 内将从A以速度v匀速运动到B’，有匀速运动有：
由图可知：
代入求解得：
当△t足够小时，△t 2=0
所以（4分）
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