2024年广东省初中学业水平考试数学押题卷（1）

这是一份2024年广东省初中学业水平考试数学押题卷（1），共10页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：本试卷共4页，23 小题，满分120分，考试用时120分钟.
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名等填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向东3米记作+3米，则-5米表示
A. 向东5米 B. 向东2米 C. 向西5米 D. 向西2米
2. 2023年春节档期电影总票房达6 758 000 000 元，成为中国影史春节档总票房第二名，数据6 758 000 000 用科学记数法表示为
×10⁸ ×10⁹ ×10⁸ ×10⁹
3. 如题3图所示, AB∥CD, 若∠B=40°, 则∠C的度数为
A. 10° B. 20°
C. 30° D. 40°
4.一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的8个红球和2个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是
A. 45 B. 35 C. 25 D. 15
5. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
6. 小明将一副 (分别含60°和45°角的两个直角三角形)三角尺拼成如题6图所示的图案, 其中AE∥BC, 则∠CAD =
A. 15° B. 20°
C. 25° D. 30°
7. 如题7图所示, 在△ABC中, 以点 C为圆心, CA长为半径画弧, 与边AB 交于点 E,再分别以点 A,E 为圆心,大于 12AE的长为半径画弧，两弧相交于点 F，连接CE，射线CF与AE 交于点 G，则下列选项判断不正确的是
A. AG=EG B. CG⊥AE
C.SACE=SBCE D. ∠ACE=2∠ECF
8. 已知 ab=3,a-b=-2,则 ab²-a²b的值为
A.43 B.±23 C.-23 D.23
9. 如题9图所示，在平面直角坐标系中，等腰△OAB的边OB在y轴上, OA=OB, 点A(2, 2). 若将等腰△OAB绕点 O 顺时针旋转60°得到△OA'B', 则点 B'的坐标是
A. ( 3, 1)
B.62
C.21
D.32
10. 若一次函数y=(a-1)x+a的图象过第一、 二、 三象限, 则 y=ax²+ax
A. 有最大值 a/ B. 有最大值 -a4 C. 有最小值a/4 D. 有最小值 -a4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11.18-2=¯.
12. 如题12图所示, 在等腰三角形ABC中, AB=AC, ∠A=40°, 边AB上有一点 D 满足DA =DC, 则∠BCD= .
13. 题13图(1)是南海博物馆收藏的文物“清仿哥釉笔筒”，仿哥釉是明清时景德镇窑仿宋哥窑制作的釉色品种，以开片为装饰，开片形状并无一定规则. 题13图(2)是从题13图(1)的侧面展开图中提取出来的4条线段围成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4= .
14. 若关于x的不等式组 -x+2m≥4,2x+1≥3(m为常数) 的解集为1≤x≤2, 则m的值是 .
15. 如题15图所示, 在四边形ABCD中, AB=AD, BC=CD. 给出以下判断:
①AC 垂直平分 BD;
②四边形ABCD 的面积S=AC·BD;
③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形.其中正确的是 . (写出所有正确判断的序号)
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16. 解方程组: 2x-3y=11,12+y=1.
17.市面上有 A，B 两种型号的净水器，每台A 型净水器比每台B 型净水器进价多200元，用5万元购进A 型净水器与用4.5 万元购进B型净水器的数量相等，则每台A型、B 型净水器的进价各是多少元?
18. 如题18图所示，购物中心的高度CD为15米，在购物中心顶部C点测得写字楼顶部A点的仰角为60°，底部 B 点的俯角为45°，则写字楼的高度是多少米?(结果保留根号)
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19. 如题19 图所示， 已知一次函数 y₁=ax+b与反比例函数 y2=kx的图象在第二、 四象限分别交于A(-2,2), B(n, -6)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 设直线AB 与y轴交于点C, 点P在x轴上, PA=AC, 求点P 的坐标.
20. 2022年10月12 日， “天宫课堂”第三课在中国空间站开讲. 某校组织学生一起观看，观看结束后，某校团委开展“选择你最爱的太空实验”活动，随机对部分九年级的学生进行问卷调查，调查结果分成四个类别：A 代表“微重力环境下毛细效应实验”，B代表“水球变 ‘懒’ 实验”，C 代表“太空趣味饮水”，D 代表“会调头的扳手”. 根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图 [题20图(1)(2)]，请结合统计图回答下列问题：
(1)参加这次调查的学生总人数为 人，并将条形统计图补充完整；
(2)请计算扇形统计图中 A 部分扇形所对应的圆心角度数；
(3)现从这4名学生中(分别从A、B、C、D 四类学生中选择1人)， 随机抽取2名谈谈对应的太空实验观后感，请利用树状图或列表的方法，求所抽取的学生恰好是C类和D类的概率.
21. 综合实践
阅读材料，并解决以下问题.
【学习研究】：北师大版教材九年级上册介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法. 以 x²+2x-35=0为例，构造方法如下：首先将方程 x²+2x-35=0变形为x(x+2)=35, 然后画四个长为x+2, 宽为x的矩形，按题21图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为 x+x+2²,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，得 4xx+2+2²=4×35+4,因此，可得新方程 x+x+2²=144.：x表示边长，∴2x+2=12， 即x=5. 这样的做法可以得到方程的其中一个正根.
【类比迁移】：请你根据赵爽的办法求出方程 x²-x-253=0的一个正根.
第一步：将原方程 x²-12x-253=0变形， 即x( ) =253;
第二步：根据赵爽的办法，请在画图区画出示意图，标明各边长，然后求出这个方程的一个正根.
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22. 综合运用
如题22图所示, 在△ABC中, AB=AC, ∠BAC的平分线AE与边AC上的高BD 交于点F, 以AF 为直径的⊙O交∠ADB的平分线于点 H, AF与HD交于点G, 连接DE.
(1) 证明: DFCD=ADBD;
(2)试判断 DE与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(3) 若BD=3CD =6, 求HG·DH的值.
23. 综合探究
如题23 图所示，已知抛物线 y=x²+2x-3的顶点为点 D，且与x轴交于A，B 两点(B 在A的左侧)，与y轴交于点 C. 点 E在抛物线对称轴上，且 CE‖BD,点P为第三象限抛物线上的一个动点.
(1) 求tan∠DEC 的值.
(2) 连接PE, PD, 并把△PED 沿着抛物线的对称轴对折, 得到四边形 PEP'D. 是否存在点 P, 使得四边形 PEP'D 是菱形?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)在点 P的运动过程中，△PEC面积是否存在最大值?若存在请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11.2 212. 30°13. 360° 14. 3 15. ①③
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
①16. 解:
②
②×4, 得2x+4y=4.③
③-①, 得7y= -7.
解得y=-1…… …………………………………………………………… ··(3分)
将y=-1代入①, 得2x-3x( -1) =11.
解得x=4.……………………………………………………… ··(6分)
∴原方程组的解为(8分)
17.解：设每台B型净水器的进价是x元，则每台A 型净水器的进价为(x+200)元，根据题意,得 50000x+200=45000x, ··(3分)解得
x=1800.………………………………………………………………(5分)
经检验，x=1800是原分式方程的解，且符合题意.…………………………(6分)
∴x+200 =2 000.
答：每台A型净水器的进价是2000元，每台B型净水器的进价是1800元………
…………………………………………………………………………………(8分)
18. 解: 过点 C 作 CE⊥AB, 垂足为点 E, 则四边形CDBE 是矩形, 如答题18图所示, 在矩形CDBE 中,BE=CD=15.
……………………………………(1分)
∵在Rt△BCE 中, ∠ECB=45° ,
∴CE=BEtan∠ECB=15米)...…(4分)
∵在 Rt△ACE 中, ∠ACE=60° ,
∴AE =CE⋅tan∠ACE=15 3(米).………………(7分)(
∴AB=AE+BE=153+15(米).
答：写字楼的高度为( 153+15)米.……………………(8分)
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19. 解:(1)把A(-2, 2)代入 y2=kx,得 k=-4,y2=-4x. …(3分)
把y= -6代入 y2=kx, 焦 x=-4-6=23.
将 A-22,B23-6代入 y₁=ax+b中，得
解得
∴y₁=-3x-4. (6分)
(2) 设P(t, 0),
将x=0代入 y₁=-3x-4,得y= -4,
∴C(0, -4).
∵ PA=AC,
∴PA²= AC², 即(-2--t)²+2²= 2²+6².
解得[ |₁=4,t₂=-8.
∴P₁(4,0),P₂(-8,0).· …(9分)
20. 解:
(1)240;……… ……………………………(1分)
240-(40+60+80)=60(人),补全的条形统计图如答题20图所示.………(2分)
…………………(3分)
240240×360∘=60∘.
∴A部分扇形所对应的圆心角为60°.…………………………………………(4分)
(3)列表如答题20 表:
答题20表· · · (7分)
共有12种等可能的结果，其中所抽取的学生恰好是C类和D类的情况有2种，分别为(C，D)和(D, C), 则P(抽到C类和D类) =212=16.…………………………(9分)
21.解:第一步:x-12.……………………(2分)
第二步：画图结果见答题21图.………………(4分)
∵x(x-12)=253,……………………………(5分)
∴4·x(x--12) + 12² = 253×4+12²,
∴[x+(x-12)]²=1156.………………………(7分)
∴ (2x﹣12)²=34².
∴2x-12=34.
解得x=23.
∴其中一个正根为x=23.………………………(9分)
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22.(1)证明:
∵AB=AC, AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC,BE=CE(三线合一).……………………………………………(1分)
∵ BD 是边AC上的高,
∴∠BDC =∠AEB=90° .
∴∠FAD+∠AFD=∠DBC+∠BFE=90° , ∠AFD=∠BFE.
∴∠FAD=∠DBC.……………………………………………………………(2分)
∵∠BDA=∠BDC=90° ,
∴△AFD∽△BCD……………………………………………………………(3分)
∴DFCD=ADBD,⋯.(4分)
(2)解:DE与⊙O相切.理由如下:………………(5分)
连接OD, 见答题22图(1).
∵在Rt△ADF 中, 点O 是AF 的中点,
∴OD=OA=OF,即点D在⊙O上.………………(6分)
由(1)得, ∠BDC=90°, E是BC的中点,
∴DE=12BC=BE.
∴∠EBD=∠EDB.
∵OF=OD,
∴∠OFD=∠ODF.
∵∠EBD+∠BFE=90° , ∠BFE=∠OFD,
∴∠ODF+∠EDB=90° , 即DE⊥OD.
∴DE与⊙O相切.……………………………(8分)
(3)解: 连接AH, 见答题22图(2).
∵DH平分∠ADB,
∴∠ADH=∠BDH=45° .
∴∠HAG=∠BDH=45°=∠ADH.
∵∠AHG=∠DHA,
∴△AHG∽△DHA.
∴AHDH=||GAH.
∴AH²=HG·DH.……………………………………………(10分)
连接CF,
由(1)得, AE 垂直平分BC.
∴BF=CF.
设DF=x, 则BF=CF=6-x,
在 Rt△CDF 中,2²+x²=(6﹣x)²,
解得 x=83.
∵DFCD=ADBD,
∴x2=AD6.
∴AD=3x.
∴AF=10DF=8310.
连接HF, ∵∠HAG=45°,
∴AH2=AF22=8352=3209.
∴HG⋅DH=3209.220(12分)
23. 解:(1) ∵ y = x²+2x﹣3,
令y=x²+2x-3=0,解得 x₁=1,x₂=-3.
∴A(1,0),B(-3,0).…………… ……(1分)
把x=0代入y=x²+2x-3=0中, 得y= -3.
∴C(0,-3).
∵y=x²+2x-3=(x+1)²-4,
∴对称轴是直线x=-1,顶点D(-1,-4)………(2分)
设抛物线对称轴与x轴交于点 F，见答题23图(1).
∴BF=-1-(-3)=2, DF=4.
∵CE∥BD,
∴∠BDF=∠CED.
∵△BFD 是直角三角形,
∴tan∠DEC=tan∠BDF=BFDF=24=12
(2)仔仕点P，使得四辺形 PEP'D 是菱形，埋田如下:过点 E 作EH⊥OC 于点H, 见答题23 图(2).
∵ CE∥BD,
∴∠BDE =∠CED.
∵DE∥OC,
∴∠HCE=∠CED.
∵∠BFD=∠EHC =90° ,
∴△BFD∽△EHC.
∴BFEH=FDHC.
即 21=4HC,解得HC=2.
∴OH=1.
∴E(-1,-1)...………… …………………………………………………………………(4分)
∵四边形 PEP'D 是菱形,
∴PP'垂直平分ED.
∵ED=3,
∴ P的纵坐标为 -1-32=-52.(5分)
令 y=x2+2x-3=-52,
解得 x=-2±62.(6分)
∵ P 在第三象限的抛物线上， ∴P-2-62-52. (7分)
(3)△PEC 面积存在最大值, 理由如下: 过点 P 作PM⊥x轴交CE 的延长线于点 M, 见答题23图(3).
由(2)可知: E(-1, -1), C(0, -3).
设直线CE的函数解析式为: y=kx+b(k≠0), 代入 E(-1,-1), C(0, -3),
得解得
∴直线CE的函数解析式为y=-2x-3.…………(8分)
设P(t,t²+2t-3),则M(t, -2t-3).
∴PM =-2t-3-(t²+2t-3) = -t²- 4t.
∴SPEC=SMPC-SMPE=12PM×xc-xk
=12-t2-4t×0--1
=-12t2-2t.(10分)
∵-12