山东省临沂市郯城县美澳学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份山东省临沂市郯城县美澳学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．（2，0）B．（0，2）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
2．一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则此组数据的方差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．某中学共有400名职工，其中不到35岁的有120人，35﹣49岁的有m，50岁及以上的有n，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了50人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（ ）
A．80B．120C．30D．20
4．在△ABC中，若，则AC＝（ ）
A．B．C．D．
5．某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（ ）
A．是对立事件
B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件
D．不是互斥事件
6．已知函数，则函数f（x）的值域为（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数z＝i（1+i）（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．C．2D．3
8．已知圆锥SO被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是45°，圆台轴截面的面积为20，则圆锥SO的体积为（ ）
A．72πB．C．D．
二、多选题
（多选）9．下列关于复数的说法中正确的有（ ）
A．复数z的虚部为
B．复数z的共轭复数是
C．复数z的模是4
D．复数z的对应的点在第四象限
（多选）10．某市教体局对全市高三年级学生的身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层级内，根据抽样结果得到如图所示的统计图表，则下列叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数少于男生人数
B．样本中B层人数最多
C．样本中E层男生人数为6
D．样本中D层男生人数多于女生
（多选）11．袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ）
A．甲与乙是对立事件B．甲与乙是互斥事件
C．丙与丁相互独立D．甲与丁相互独立
（多选）12．如图所示，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G为BB1的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．CG与A1C1所成角的余弦值为
B．DB1与面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心
C．三棱锥A1﹣BB1C1的外接球的体积为
D．BB1与面A1BC1所成角的正弦值为
三、填空题
13．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品．若从中任取2支，那么两支都是一等品的概率为 ．
14．如图所示，点D为BC上靠近C的四等分点，若，则λ+μ＝ ．
15．若数据3x1﹣2，3x2﹣2，…，3x10﹣2的方差为18，则数据x1，x2，…，x10的方差为 ．
16．正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 ．
四、解答题
17．已知向量，满足，，．求：
（1）；
（2）与的夹角．
18．某校组织防控疫情知识竞赛活动，某班经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为i的球有i个（i＝1，2，3），甲同学从6个球中随机摸取3个球记下球的标号之和后放回，乙同学再从中摸出3个球记下其标号之和，两人中所取球的标号之和多者获胜．
（1）求甲所取球的标号之和为7的概率；
（2）求甲获胜的概率．
19．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：cm）按[140，150），[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在[150，170）的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160cm的概率．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．
（1）证明：BE⊥平面PCD；
（2）求二面角P﹣BD﹣E的余弦值．
21．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点，AA1＝2，AC＝BC＝1，，DC1⊥BD．
（1）求证：A1E∥平面C1BD；
（2）求点A1到平面C1BD的距离．
22．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccsA+2acsC＝b+2asinB．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，求a的最小值．
参考答案与试题解析
一、单选题
1．向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．（2，0）B．（0，2）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
【解答】解：在上的投影向量为＝﹣3＝（0，﹣3）．
故选：D．
2．一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则此组数据的方差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据题意，数据6，7，8，a，10的平均数为8，则（6+7+8+a+10）＝8，
解可得a＝9，
则此组数据的方差S2＝（4+1+0+1+4）＝2；
故选：B．
3．某中学共有400名职工，其中不到35岁的有120人，35﹣49岁的有m，50岁及以上的有n，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了50人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（ ）
A．80B．120C．30D．20
【解答】解：计算抽样比例为，
所以不到35岁的应抽取（人），
所以50岁及以上的应抽取100﹣30﹣50＝20（人）．
故选：D．
4．在△ABC中，若，则AC＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，，
由正弦定理得，，即，
解得：．
故选：A．
5．某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（ ）
A．是对立事件
B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件
D．不是互斥事件
【解答】解：事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．
故选：D．
6．已知函数，则函数f（x）的值域为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）＝csx（sinx+csx）﹣＝sin2x+•﹣＝sin（2x+），
由 x∈[0，]，可得2x+∈[，]，故sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴f（x）∈[﹣，1]，
故函数f（x）的值域为）∈[﹣，1]，
故选：B．
7．已知复数z＝i（1+i）（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．C．2D．3
【解答】解：∵z＝i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，
∴|z|＝＝．
故选：A．
8．已知圆锥SO被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是45°，圆台轴截面的面积为20，则圆锥SO的体积为（ ）
A．72πB．C．D．
【解答】解：记圆O1截圆锥形成的圆台的两个底面面积之比为4：9，则两圆半径之比为2：3，
设圆O1的半径为r1＝2m（m＞0），圆O的半径为r＝3m，
圆台的轴截面记作平面ABCD，则四边形ABCD为等腰梯形，
因为母线与底面的夹角是45°，所以∠SDO＝∠SBO1＝45°，
因此SO1＝r1tan45°＝2m，SO＝rtan45°＝3m，则OO1＝m，
又圆台轴截面的面积为20，
所以，即5m2＝20，解得m＝2，
因此圆锥SO的体积为．
故选：A．
二、多选题
（多选）9．下列关于复数的说法中正确的有（ ）
A．复数z的虚部为
B．复数z的共轭复数是
C．复数z的模是4
D．复数z的对应的点在第四象限
【解答】解：对于A，复数z的虚部为﹣，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，复数z的对应的点（1，﹣）在第四象限，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．某市教体局对全市高三年级学生的身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层级内，根据抽样结果得到如图所示的统计图表，则下列叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数少于男生人数
B．样本中B层人数最多
C．样本中E层男生人数为6
D．样本中D层男生人数多于女生
【解答】解：对于A：由女生身高情况条形图可得：女生人数为9+24+15+9+3＝60人，
则男生人数为100﹣60＝40人，所以女生人数多于男生人数，故A错误；
对于B：在女生身高情况条形图中，B层人数最多，
在男生身高情况扇形图中，B层比例最高，人数最多，所以样本中B层人数最多，故B正确；
对于C：由男生身高情况扇形图可得：E层人数为40×15%＝6人，故C正确
对于D：由女生身高情况条形图可得：D层人数为9人，
由男生身高情况扇形图可得：D层人数为40×20%＝8人，男生少于女生，故D错误；
故选：BC．
（多选）11．袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ）
A．甲与乙是对立事件B．甲与乙是互斥事件
C．丙与丁相互独立D．甲与丁相互独立
【解答】解：设甲、乙、丙、丁事件分别对应A，B，C，D，则，，丁包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），
则，，，
对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误，B正确，
对于C，，则P（CD）≠P（C）•P（D），则C错误，
对于D，，则P（AD）＝P（A）•P（D），故D正确．
故选：BD．
（多选）12．如图所示，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G为BB1的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．CG与A1C1所成角的余弦值为
B．DB1与面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心
C．三棱锥A1﹣BB1C1的外接球的体积为
D．BB1与面A1BC1所成角的正弦值为
【解答】解：对于A：连接AC，则由正方体的性质可知AC∥A1C1，
∴∠ACG即为异面直线CG与A1C1所成角或其补角，
连接AG，BD，设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，连接OG，则AG＝CG＝＝＝，
AC＝2，OG⊥AC，
在Rt△COG中，cs∠OCG＝＝＝＝cs∠ACG，即CG与A1C1所成角的余弦值为，故A错误；
对于B：连接DA1，DC1，则DA1＝DC1＝DB＝A1B＝A1C1＝BC1，则四面体D﹣A1BC1为正四面体，
∵A1C1⊥D1B1，A1C1⊥BB1，D1B1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
∵DB1⊂平面BB1D1D，∴DB1⊥平面A1BC1，垂足为H，
又四面体D﹣A1BC1为正四面体，所以H为H是△A1BC1的重心，故B正确；
对于C，由于三棱锥A1﹣BB1C1的顶点均为正方体的顶点，∴三棱锥A1﹣BB1C1和正方体有相同的外接球，
∴外接球半径为R＝D1B＝×2＝，体积为V＝πR3＝4π，故C正确；
对于D：连接BH，并延长交A1C1于点O1，由选项B知B1H⊥平面A1BC1，∠B1BH为BB1与面A1BC1所成角，
由△A1BC1为正三角形，且H为是△A1BC1的中心，所以O1为A1C1的中点，也是D1B1的中点，
在Rt△O1B1B中，O1B＝＝＝，∴sin∠B1BH＝sin∠B1BO1＝＝＝，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品．若从中任取2支，那么两支都是一等品的概率为 ．
【解答】解：设取得的两支笔都是一等品的事件为A；
故概率满足P（A）＝．
故答案为：．
14．如图所示，点D为BC上靠近C的四等分点，若，则λ+μ＝ ﹣ ．
【解答】解：∵点D为BC上靠近C的四等分点，∴＝，
∴，
∵，
则，
∴．
故答案为：．
15．若数据3x1﹣2，3x2﹣2，…，3x10﹣2的方差为18，则数据x1，x2，…，x10的方差为 2 ．
【解答】解：设数据x1，x2，…，x10的方差是s2，
则9s2＝18，解得s2＝2，
故答案为：2．
16．正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 ．
【解答】解：如图，
∵正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，且点S、A、B、C、D都在同一球面上，
∴该球的球心恰好为底面ABCD的中心，
∴球的半径，则此球的体积为．
故答案为：．
四、解答题
17．已知向量，满足，，．求：
（1）；
（2）与的夹角．
【解答】解：（1）由，得||＝＝2，
即有||2＝，
又因为，，
所以，
则，
解得；
（2）因为cs＜，＞＝＝＝＝﹣，
所以与的夹角为．
18．某校组织防控疫情知识竞赛活动，某班经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为i的球有i个（i＝1，2，3），甲同学从6个球中随机摸取3个球记下球的标号之和后放回，乙同学再从中摸出3个球记下其标号之和，两人中所取球的标号之和多者获胜．
（1）求甲所取球的标号之和为7的概率；
（2）求甲获胜的概率．
【解答】解：（1）记标号为1的球为a，标号为2的球为b，c，标号为3的球为d，e，f，
则每位同学取球标号的所有情况为：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bef，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20种，
甲所取球的标号之和为7的情况为：ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，共6种，所以甲所取球的标号之和为7的概率为＝．
（2）由（1）知，每人标号之和为5的概率为，标号之和为6的概率为，标号之和为8的概率为，标号之和为9的概率为，标号之和为7的概率为，
则甲获胜的概率为×+×（+）+×（++）+×＝．
19．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：cm）按[140，150），[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在[150，170）的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160cm的概率．
【解答】解：（1）a＝0.1﹣（0.03+0.028+0.012+0.01）＝0.02．
平均数为（145×0.01+155×0.02+165×0.03+175×0.028+185×0.012）×10＝166.2，
即这100名学生身高的平均数为166.2；
（2）身高在[150，160）的学生有100×10×0.02＝20人，
身高在[160，170）的学生有100×10×0.03＝30人，
故身高在[150，170）的学生共有50人，
用分层抽样的方法从身高在[150，160）的学生中抽取名，记为1，2，
从身高在[160，170）的学生中抽取名，记为a，b，c．
从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2，12，共10种，
其中这2人中至少有1人身高不低于160cm的结果有9种．
故所求概率．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．
（1）证明：BE⊥平面PCD；
（2）求二面角P﹣BD﹣E的余弦值．
【解答】解：（1）证明：取PD的中点F，连接AF，EF，
则，又，
所以EF∥AB，EF＝AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以AF∥BE．
因为PA＝AD＝1，PF＝FD，所以AF⊥PD，所以BE⊥PD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，
所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，
所以．
又点E为PC的中点，所以BE⊥PC，
又PC∩PD＝D，所以BE⊥平面PCD；
（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
于是，
设平面PBD的法向量为，则，
得，取x1＝1，得，
设平面EBD的法向量为，则，
得，取x2＝1，得．
设二面角P﹣BD﹣E的平面角为θ，易知θ为锐角，
所以．
21．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点，AA1＝2，AC＝BC＝1，，DC1⊥BD．
（1）求证：A1E∥平面C1BD；
（2）求点A1到平面C1BD的距离．
【解答】解：（1）如图，连接B1C交BC1于点F，连接DF，EF．
∵E，F分别是B1C1，BC1的中点，∴EF∥BB1，EF＝1．
∵A1D∥BB1，A1D＝1，∴EF∥A1D，EF＝A1D，
即四边形A1DFE是平行四边形，A1E∥DF．
∵A1E⊄平面C1BD，DF⊂平面C1BD．
∴A1E∥平面C1BD．
（2）设点A1到平面C1BD的距离为d，∵CC1⊥平面ABC，∴BC⊥CC1，∵AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又∴AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1．
∵，且DC1⊥BD．
∴，∴，即，
解得．
22．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccsA+2acsC＝b+2asinB．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，求a的最小值．
【解答】解：（1）∵2ccsA+2acsC＝b+2asinB，
∴由正弦定理得2（sinCcsA+csCsinA）＝sinB+2sinAsinB，
∴2sin（C+A）＝sinB+2sinAsinB，
∵A+B+C＝π，
∴sin（C+A）＝sinB，
∴sinB＝2sinAsinB．
在△ABC中，sinB≠0，
∴，
又∵0＜A＜π，
∴或．
（2）∵△ABC的面积为，
∴，
∴bc＝2，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+c2﹣4csA≥2bc﹣4csA＝4﹣4csA（当且仅当b＝c时取等号），
①若，则（当且仅当时取等号），
②若，则（当且仅当时取等号），
综上所述，a的最小值为．