【名校】陕西省西安中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学理试题

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（时间：120分钟满分100分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题3.5分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知，则大小关系正确的为（）
A. B.
C. D.
3. 甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制如图所示）．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学成绩的极差是18；
④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是（）
A. ③④B. ①④C. ②④D. ②③
4. 若，，，且，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
5. 某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，再用系统抽样的方法随机抽取50位同学了解他们的学习状况，若编号为213的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是（）
A. 83B. 343C. 253D. 763
6. 在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为（）
A. B. C. D.
7. 若关于x的不等式在上无解，则（）
A. B. C. D.
8. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）
A. 2B. C. 3D. 4
9. 2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控及时､措施得当，很多企业的生产所受影响甚微.我国某电子公司于2020年6月底推出了一款领先于世界的5G电子产品，现调查得到该5G产品上市时间x和市场占有率y(单位：%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2020年8月，2代表2020年9月……，5代表2020年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，则该产品市场占有率最早何时能超过0.5%(精确到月)（）
A. 2021年5月B. 2021年6月C. 2021年7月D. 2021年8月
10. 关于的不等式的解集为，且，则实数（）
AB.
C. 或D. 或
11. 已知实数满足则的最小值是（）
AB. C. D.
12. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：（本题共4小题，每题3.5分，共14分）
13. 若不等式的解集为，则实数的值为________．
14. 已知x，y满足约束条件，则最大值为______．
15. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则曲线上的点到曲线：为参数上的点的最短距离为______.
16. 已知，则的最小值为__________.
三、解答题：（本题共5小题，17题8分，18，19，20，21每题9分，共44分）
17. 已知函数，．
（1）在直角坐标系中画出和的图象；
（2）若恒成立，求的取值范围．
18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcs（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
19. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”．
30名女生成绩频数分布表：
（1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；
（2）设男生和女生样本平均数分别为和，样本的中位数分别为和，求（精确到0.01）．
附：
20. 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
（1）探究直线l与曲线C2的位置关系，并说明理由；
（2）若曲线C3极坐标方程为，且曲线C3与曲线C1、C2分别交于M、N两点，求|OM|2•|ON|2的取值范围.
21. 已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．成绩
频数
10
10
6
4
男生
女生
合计
防疫标兵
非防疫标兵
合计
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828