苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项9.3特殊平行四边形的性质与判定综合(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项9.3特殊平行四边形的性质与判定综合(原卷版+解析)，共18页。
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是矩形；
②则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是菱形．
2.（2020•金昌）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
3.（2021春•黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
5.（2021•丰台区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
6.（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
7.（春•江汉区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；
（2）若AB＝4，∠ACB＝30°，求四边形OCED的面积．
8.（2021秋•凤翔县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
9.（2021春•固始县期末）在Rt△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
10.（2021秋•南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．
（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．
11.（2021春•昆明期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论．
12.（2021•平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
（培优特训）
专项9.3 特殊平行四边形的性质与判定综合
1.（2020春•濮阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是矩形；
②则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是菱形．
【答案】（1）略 （2）80°，90°
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：①当∠ADE＝80°时，四边形BECD是矩形；
理由：∵∠A＝50°，∠ADE＝80°，
∴∠AED＝50°，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE，
∵AB＝CD＝BE，
∴BD⊥AE，
∴∠DBE＝90°，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
②当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形，
∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，
∴∠AED＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE＝∠A＝50°，
∴∠BOE＝90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形BECD是菱形，
故答案为：80，90．
2.（2020•金昌）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）略 （2）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∵BD＝＝2，
∴OB＝BD＝，
∵BD⊥EF，
∴EO＝＝，
∴EF＝2EO＝．
3.（2021春•黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【答案】（1） 略 （2）
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
5.（2021•丰台区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【答案】（1）略 （2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．
6.（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【答案】（1）略 （2）OE=5,BG=2
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
7.（春•江汉区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；
（2）若AB＝4，∠ACB＝30°，求四边形OCED的面积．
【答案】（1） 略 （2）8
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OC＝AC＝BD＝OD，
∴四边形OCED为菱形
（2）∵AB＝4，∠ACB＝30°，
∴AC＝8，
∴BC＝＝＝4
∴S△ABC＝×AB×BC＝8
∴S△ABO＝4
∵四边形ABCD是矩形
∴S△ABO＝S△CDO＝4，
∵四边形OCED为菱形
∴四边形OCED的面积＝2S△CDO＝8
8.（2021秋•凤翔县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
【答案】（1）略 （2）AE=
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：
9.（2021春•固始县期末）在Rt△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）略 （2）10
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×4×5＝10．
10.（2021秋•南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．
（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．
【答案】（1）四边形ACBD是矩形
（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形
【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形，
证明：∵CD平行MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵CD＝OC+OD，
AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形，
证明：由（1）得四边形ACBD是矩形，
∵CB＝BD，
∴四边形ACBD是正方形．
11.（2021春•昆明期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论．
【答案】（1）略 （2）
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF＝BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴DE＝BC，
∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB，
∴DE＝EF；
（2）解：当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形，
证明：∵四边形DBCF为平行四边形，
∴BD＝CF，
∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠DCA＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是正方形．
12.（2021•平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）略 （2）当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM；
（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，
∵MF＝CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AB：AD＝1：2，
∴AD＝2AB，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．