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苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项12.2二次根式的运算及运用(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项12.2二次根式的运算及运用(原卷版+解析)，共34页。
【类型一：二次根数加减运算】
1．（2022秋•铁西区期末）．
2．（2022秋•南关区校级期末）计算：．
3．（2022秋•济南期末）计算：﹣．
4．（2022•长安区校级开学）计算：（）﹣3（）．
5．（2021秋•奉贤区校级期末）计算：．
6．（2022秋•北碚区校级月考）计算下列各题：
（1）；
（2）．
7．（2022春•大连月考）计算：
（1）2﹣6+3；
（2）+6﹣a．
8．（2021春•江岸区校级月考）计算：
（1）（+）﹣（﹣）；
（2）+6﹣2x（x＞0）．
9．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．
10．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0 ）．
11．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．
12．（2022秋•嘉定区月考）计算：．
37．（2022春•东莞市期中）计算．
（2022秋•南关区校级月考）计算：．
14．（2022•惠阳区校级开学）计算：．
15．（2022•惠阳区校级开学）计算：．
16．（2022春•宜州区期中）计算：．
17．（2022•蓬江区校级开学）计算：．
18．（2022春•宁江区校级期末）计算：2﹣+3．
19．（2022春•岚皋县期末）计算：．
20．（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．
21．（2022春•芝罘区期末）计算：﹣4﹣+．
【类型二：二次根数混合运算】
22．（2023春•长寿区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
23．（2023春•西乡塘区校级月考）计算：
（1）（）﹣1+（1﹣）0﹣；
（2）．
24．（2023春•龙江县月考）（1）；
（2）．
25．（2023春•洪山区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
26．（2023春•江津区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
27．（2023春•潮安区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
28．（2023春•夏邑县月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
29．（2023•合阳县校级一模）计算：3×+（﹣）﹣1+|﹣2|．
30．（2022秋•顺德区期末）计算：．
31．（2023春•江津区期中）（1）计算：2﹣6+3；
（2）计算：．
32．（2023春•偃师市校级月考）计算：
（1）；
（2）3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣|．
33．（2023春•富顺县校级月考）计算：（2﹣1）2+（1+）（1﹣）．
【类型三：分母有理化】
34．（2022•南京模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：
（1）将分母有理化可得 ；
（2）关于x的方程的解是 ．
35.（2021秋•怀化期末）阅读并解答问题：
；
；
；
⋯⋯
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将的分母有理化；
（2）已知a＝，求a+b的值；
（3）计算．
36．（2023春•崇左月考）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
方法一：＝＝＝+；
方法二：＝＝＝＝．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）直接写出化简结果：＝ ，＝ ；
（2）请参照以上化简的方法，用两种方法化简：；
（3）计算：+…+．
【二次根数化简求值】
37．（2023•新市区一模）先化简，，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的x值代入求值．
38．（2023春•江岸区校级月考）已知，，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）．
39．（2023•广饶县校级开学）化简求值
（1）已知x＝，y＝，试求代数式2x2﹣4xy+2y2的值．
（2）先化简，再求值，其中x＝2﹣1，y＝2﹣．
40．（2022秋•惠安县期末）先化简，再求值：，其中．
【类型四：二次根式有关材料阅读题】
41．（2023春•潮安区校级月考）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ；
（2）填空：＝ ；
（3）化简：．
42．（2023春•鹿城区校级月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简下列格式：
①
②
③．
43．（2022秋•海曙区校级期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
（2）若且a，m，n均为正整数，求a值．
【类型五：二次根式实际应用】
44．（2023春•罗定市校级月考）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
45．（2023春•夏邑县月考）濮阳市指出要全力做好国土绿化工作，加快推进森林濮阳生态建设．现濮阳某公园有一块长方形绿地ABCD，BC为m，AB为m，内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为（+1）m，宽为（﹣1）m．
（1）求长方形ABCD的周长；
（2）图片中的空白部分另作他用，需要50元/平方米的定期维护费，求定期维护的总费用．
（培优特训）专项12.2 二次根式的运算及运用
【类型一：二次根数加减运算】
1．（2022秋•铁西区期末）．
【解答】解：
＝4﹣4×+
＝4﹣2+
＝3．
2．（2022秋•南关区校级期末）计算：．
【解答】解：原式＝2+2﹣4
＝﹣2．
3．（2022秋•济南期末）计算：﹣．
【解答】解：原式＝2﹣2﹣3+3
＝﹣．
4．（2022•长安区校级开学）计算：（）﹣3（）．
【解答】解：原式＝4﹣10×﹣3（3﹣）
＝4﹣2﹣9+
＝5﹣11．
5．（2021秋•奉贤区校级期末）计算：．
【解答】解：
＝
＝（﹣2﹣+3）
＝0．
6．（2022秋•北碚区校级月考）计算下列各题：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2）解：
＝
＝
＝．
7．（2022春•大连月考）计算：
（1）2﹣6+3；
（2）+6﹣a．
【解答】解：（1）原式＝2×2﹣6×+3×4
＝4﹣2+12
＝14；
（2）原式＝×3+6×﹣a×
＝2+3﹣
＝4．
8．（2021春•江岸区校级月考）计算：
（1）（+）﹣（﹣）；
（2）+6﹣2x（x＞0）．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣+
＝3+；
（2）原式＝•3+6•﹣2x•
＝2+3﹣2
＝3．
9．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．
【解答】解：4mn﹣（﹣m）
＝2mn﹣mn+mn
＝mn．
10．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0 ）．
【解答】解：原式＝•2+2×﹣x•+2×
＝3+﹣+
＝+．
11．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．
【解答】解：原式＝+x﹣2x
＝x﹣2x
＝﹣x．
12．（2022秋•嘉定区月考）计算：．
【解答】解：原式＝
＝+﹣
＝．
37．（2022春•东莞市期中）计算．
【解答】解：
＝4﹣5+4﹣2
＝﹣+2．
13．（2022秋•南关区校级月考）计算：．
【解答】解：+﹣
＝4+2﹣
＝（4+2﹣）
＝．
14．（2022•惠阳区校级开学）计算：．
【解答】解：由题意可知：x＞0，
原式＝4+5﹣3﹣2
＝4．
15．（2022•惠阳区校级开学）计算：．
【解答】解：原式＝10+14﹣20
＝．
16．（2022春•宜州区期中）计算：．
【解答】解：原式＝
＝+．
17．（2022•蓬江区校级开学）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣+5﹣3
＝7﹣．
18．（2022春•宁江区校级期末）计算：2﹣+3．
【解答】解：2﹣+3
＝2×﹣+3×
＝4﹣+
＝4．
19．（2022春•岚皋县期末）计算：．
【解答】解：
＝2
＝2．
20．（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．
【解答】解：原式＝4﹣+2＝．
21．（2022春•芝罘区期末）计算：﹣4﹣+．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣3+
＝﹣2．
【类型二：二次根数混合运算】
22．（2023春•长寿区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
23．（2023春•西乡塘区校级月考）计算：
（1）（）﹣1+（1﹣）0﹣；
（2）．
【答案】（1）7﹣π；
（2）20﹣3．
【解答】解：（1）（）﹣1+（1﹣）0﹣
＝3+1﹣|3﹣π|
＝3+1﹣（π﹣3）
＝4﹣π+3
＝7﹣π；
（2）
＝25﹣2﹣（3+2）
＝23﹣3﹣2
＝20﹣3．
24．（2023春•龙江县月考）（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
25．（2023春•洪山区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
26．（2023春•江津区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
27．（2023春•潮安区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）5+2；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣+3
＝5+2；
（2）原式＝3×÷6
＝
＝．
28．（2023春•夏邑县月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）30+12；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）
＝12+12+18
＝30+12；
（2）
＝2÷2
＝；
（3）
＝+++
＝．
29．（2023•合阳县校级一模）计算：3×+（﹣）﹣1+|﹣2|．
【答案】﹣1．
【解答】解：3×+（﹣）﹣1+|﹣2|
＝+（﹣3）+2﹣
＝﹣1．
30．（2022秋•顺德区期末）计算：．
【答案】．
【解答】解：原式＝，
＝，
31．（2023春•江津区期中）（1）计算：2﹣6+3；
（2）计算：．
【答案】（1）14；
（2）2﹣2．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+12
＝14；
（2）原式＝﹣1﹣（2﹣1）
＝﹣1﹣1
＝2﹣2．
32．（2023春•偃师市校级月考）计算：
（1）；
（2）3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣|．
【答案】（1）﹣23；
（2）1．
【解答】解：（1）
＝2﹣1+（﹣8）÷
＝1+（﹣8）×3
＝1+（﹣24）
＝﹣23；
（2）3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣|
＝+1﹣
＝1．
33．（2023春•富顺县校级月考）计算：（2﹣1）2+（1+）（1﹣）．
【答案】7﹣4．
【解答】解：原式＝（2）2﹣2×2+1+1﹣（）2
＝8﹣4+1+1﹣3
＝7﹣4
【类型三：分母有理化】
34．（2022•南京模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：
（1）将分母有理化可得 ；
（2）关于x的方程的解是 ．
【解答】解：（1），
故答案为：﹣1．
（2），
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
35.（2021秋•怀化期末）阅读并解答问题：
；
；
；
⋯⋯
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将的分母有理化；
（2）已知a＝，求a+b的值；
（3）计算．
【答案】（1）﹣2 （2）2 （3）9
【解答】解：（1）＝＝﹣2；
（2）∵a＝，
∴a+b
＝+
＝﹣++
＝2；
（3）
＝﹣1++…++
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
36．（2023春•崇左月考）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
方法一：＝＝＝+；
方法二：＝＝＝＝．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）直接写出化简结果：＝ ，＝ ；
（2）请参照以上化简的方法，用两种方法化简：；
（3）计算：+…+．
【答案】（1）；；
（2）见解答过程；
（3）．
【解答】解：（1）
＝
＝；
＝
＝，
故答案为：；；
（2）方法一：
＝
＝
＝；
方法二：
＝
＝
＝；
（3）+…+
＝+…+
＝．
【二次根数化简求值】
37．（2023•新市区一模）先化简，，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的x值代入求值．
【答案】；当时，原式＝．
【解答】解：
＝
＝•
＝，
∵当x＝±1，0时，原分式无意义，
∴x＝﹣1，
当时，原式＝．
38．（2023春•江岸区校级月考）已知，，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）．
【答案】（1）16；
（2）．
【解答】解：（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2，
当，时，
原式＝＝16；
（2）
＝
＝，
当，时，
原式＝
＝
＝．
39．（2023•广饶县校级开学）化简求值
（1）已知x＝，y＝，试求代数式2x2﹣4xy+2y2的值．
（2）先化简，再求值，其中x＝2﹣1，y＝2﹣．
【答案】（1）2（x﹣y）2，40．
（2），．
【解答】解：（1）2x2﹣4xy+2y2，
＝2（x2﹣2xy+y2），
＝2（x﹣y）2，
当x＝+，y＝﹣时
原式＝2（+﹣+）2，
＝2×20，
＝40；
（2）原式＝，
＝（﹣）•，
＝[]•，
＝•，
＝，
当x＝2﹣1，y＝时，原式＝．
40．（2022秋•惠安县期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】x﹣5；1﹣2．
【解答】解：原式＝＝，
当时，
原式＝．
【类型四：二次根式有关材料阅读题】
41．（2023春•潮安区校级月考）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ；
（2）填空：＝ ；
（3）化简：．
【答案】（1）﹣1；（2）﹣2；（3）1．
【解答】解：（1）∵3+1＝4，3×1＝3，即（）2+12＝4，×1＝，
∴＝＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，
∵15+4＝19，15×4＝60，即（）2+（）2＝19，×＝，
∴＝＝＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2；
（3）
＝++
＝﹣1+﹣+2﹣
＝1．
42．（2023春•鹿城区校级月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简下列格式：
①
②
③．
【答案】（1）m2+7n2，2mn；
（2）12或28；
（3）①，②，③．
【解答】解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+7n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），
则有a＝m2+7n2，b＝2mn；
故答案为：m2+7n2，2mn；
（2）∵6＝2mn，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝12+3×32＝28；
当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝32+3×12＝12；
即a的值为12或28；
（3）①＝
＝
＝；
②
＝
＝
＝；
③设，
则
＝
＝
＝
＝
＝，
∴．
43．（2022秋•海曙区校级期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
（2）若且a，m，n均为正整数，求a值．
【答案】（1）；
（2）a＝22或10．
【解答】解：（1）
＝（2+5）+2
＝（）2+（）2+2
＝（）2；
（2）∵，
∴a+2＝（）2，
a+2＝（）2，
∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．
【类型五：二次根式实际应用】
44．（2023春•罗定市校级月考）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】（1）长方形ABCD的周长是；
（2）张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝＝＝．
答：长方形ABCD的周长是；
（2）蔬菜地的面积＝
＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）．
39×8×15＝4680（元）．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
45．（2023春•夏邑县月考）濮阳市指出要全力做好国土绿化工作，加快推进森林濮阳生态建设．现濮阳某公园有一块长方形绿地ABCD，BC为m，AB为m，内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为（+1）m，宽为（﹣1）m．
（1）求长方形ABCD的周长；
（2）图片中的空白部分另作他用，需要50元/平方米的定期维护费，求定期维护的总费用．
【答案】（1）34m；
（2）6600元．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长为：
2（+）
＝2（9+8）
＝2×17
＝34（m），
答：长方形ABCD的周长是34m；
（2）定期维护的总费用为：
50×[×﹣（+1）（﹣1）]
＝50×[9×8）﹣（13﹣1）]
＝50×（144﹣12）
＝6600（元）．
答：定期维护的总费用为6600元．
【类型一：二次根数加减运算】
1．（2022秋•铁西区期末）．
2．（2022秋•南关区校级期末）计算：．
3．（2022秋•济南期末）计算：﹣．
4．（2022•长安区校级开学）计算：（）﹣3（）．
5．（2021秋•奉贤区校级期末）计算：．
6．（2022秋•北碚区校级月考）计算下列各题：
（1）；
（2）．
7．（2022春•大连月考）计算：
（1）2﹣6+3；
（2）+6﹣a．
8．（2021春•江岸区校级月考）计算：
（1）（+）﹣（﹣）；
（2）+6﹣2x（x＞0）．
9．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．
10．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0 ）．
11．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．
12．（2022秋•嘉定区月考）计算：．
37．（2022春•东莞市期中）计算．
（2022秋•南关区校级月考）计算：．
14．（2022•惠阳区校级开学）计算：．
15．（2022•惠阳区校级开学）计算：．
16．（2022春•宜州区期中）计算：．
17．（2022•蓬江区校级开学）计算：．
18．（2022春•宁江区校级期末）计算：2﹣+3．
19．（2022春•岚皋县期末）计算：．
20．（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．
21．（2022春•芝罘区期末）计算：﹣4﹣+．
【类型二：二次根数混合运算】
22．（2023春•长寿区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
23．（2023春•西乡塘区校级月考）计算：
（1）（）﹣1+（1﹣）0﹣；
（2）．
24．（2023春•龙江县月考）（1）；
（2）．
25．（2023春•洪山区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
26．（2023春•江津区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
27．（2023春•潮安区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
28．（2023春•夏邑县月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
29．（2023•合阳县校级一模）计算：3×+（﹣）﹣1+|﹣2|．
30．（2022秋•顺德区期末）计算：．
31．（2023春•江津区期中）（1）计算：2﹣6+3；
（2）计算：．
32．（2023春•偃师市校级月考）计算：
（1）；
（2）3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣|．
33．（2023春•富顺县校级月考）计算：（2﹣1）2+（1+）（1﹣）．
【类型三：分母有理化】
34．（2022•南京模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：
（1）将分母有理化可得 ；
（2）关于x的方程的解是 ．
35.（2021秋•怀化期末）阅读并解答问题：
；
；
；
⋯⋯
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将的分母有理化；
（2）已知a＝，求a+b的值；
（3）计算．
36．（2023春•崇左月考）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
方法一：＝＝＝+；
方法二：＝＝＝＝．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）直接写出化简结果：＝ ，＝ ；
（2）请参照以上化简的方法，用两种方法化简：；
（3）计算：+…+．
【二次根数化简求值】
37．（2023•新市区一模）先化简，，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的x值代入求值．
38．（2023春•江岸区校级月考）已知，，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）．
39．（2023•广饶县校级开学）化简求值
（1）已知x＝，y＝，试求代数式2x2﹣4xy+2y2的值．
（2）先化简，再求值，其中x＝2﹣1，y＝2﹣．
40．（2022秋•惠安县期末）先化简，再求值：，其中．
【类型四：二次根式有关材料阅读题】
41．（2023春•潮安区校级月考）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ；
（2）填空：＝ ；
（3）化简：．
42．（2023春•鹿城区校级月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简下列格式：
①
②
③．
43．（2022秋•海曙区校级期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
（2）若且a，m，n均为正整数，求a值．
【类型五：二次根式实际应用】
44．（2023春•罗定市校级月考）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
45．（2023春•夏邑县月考）濮阳市指出要全力做好国土绿化工作，加快推进森林濮阳生态建设．现濮阳某公园有一块长方形绿地ABCD，BC为m，AB为m，内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为（+1）m，宽为（﹣1）m．
（1）求长方形ABCD的周长；
（2）图片中的空白部分另作他用，需要50元/平方米的定期维护费，求定期维护的总费用．
（培优特训）专项12.2 二次根式的运算及运用
【类型一：二次根数加减运算】
1．（2022秋•铁西区期末）．
【解答】解：
＝4﹣4×+
＝4﹣2+
＝3．
2．（2022秋•南关区校级期末）计算：．
【解答】解：原式＝2+2﹣4
＝﹣2．
3．（2022秋•济南期末）计算：﹣．
【解答】解：原式＝2﹣2﹣3+3
＝﹣．
4．（2022•长安区校级开学）计算：（）﹣3（）．
【解答】解：原式＝4﹣10×﹣3（3﹣）
＝4﹣2﹣9+
＝5﹣11．
5．（2021秋•奉贤区校级期末）计算：．
【解答】解：
＝
＝（﹣2﹣+3）
＝0．
6．（2022秋•北碚区校级月考）计算下列各题：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2）解：
＝
＝
＝．
7．（2022春•大连月考）计算：
（1）2﹣6+3；
（2）+6﹣a．
【解答】解：（1）原式＝2×2﹣6×+3×4
＝4﹣2+12
＝14；
（2）原式＝×3+6×﹣a×
＝2+3﹣
＝4．
8．（2021春•江岸区校级月考）计算：
（1）（+）﹣（﹣）；
（2）+6﹣2x（x＞0）．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣+
＝3+；
（2）原式＝•3+6•﹣2x•
＝2+3﹣2
＝3．
9．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．
【解答】解：4mn﹣（﹣m）
＝2mn﹣mn+mn
＝mn．
10．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0 ）．
【解答】解：原式＝•2+2×﹣x•+2×
＝3+﹣+
＝+．
11．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．
【解答】解：原式＝+x﹣2x
＝x﹣2x
＝﹣x．
12．（2022秋•嘉定区月考）计算：．
【解答】解：原式＝
＝+﹣
＝．
37．（2022春•东莞市期中）计算．
【解答】解：
＝4﹣5+4﹣2
＝﹣+2．
13．（2022秋•南关区校级月考）计算：．
【解答】解：+﹣
＝4+2﹣
＝（4+2﹣）
＝．
14．（2022•惠阳区校级开学）计算：．
【解答】解：由题意可知：x＞0，
原式＝4+5﹣3﹣2
＝4．
15．（2022•惠阳区校级开学）计算：．
【解答】解：原式＝10+14﹣20
＝．
16．（2022春•宜州区期中）计算：．
【解答】解：原式＝
＝+．
17．（2022•蓬江区校级开学）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣+5﹣3
＝7﹣．
18．（2022春•宁江区校级期末）计算：2﹣+3．
【解答】解：2﹣+3
＝2×﹣+3×
＝4﹣+
＝4．
19．（2022春•岚皋县期末）计算：．
【解答】解：
＝2
＝2．
20．（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．
【解答】解：原式＝4﹣+2＝．
21．（2022春•芝罘区期末）计算：﹣4﹣+．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣3+
＝﹣2．
【类型二：二次根数混合运算】
22．（2023春•长寿区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
23．（2023春•西乡塘区校级月考）计算：
（1）（）﹣1+（1﹣）0﹣；
（2）．
【答案】（1）7﹣π；
（2）20﹣3．
【解答】解：（1）（）﹣1+（1﹣）0﹣
＝3+1﹣|3﹣π|
＝3+1﹣（π﹣3）
＝4﹣π+3
＝7﹣π；
（2）
＝25﹣2﹣（3+2）
＝23﹣3﹣2
＝20﹣3．
24．（2023春•龙江县月考）（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
25．（2023春•洪山区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
26．（2023春•江津区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
27．（2023春•潮安区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）5+2；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣+3
＝5+2；
（2）原式＝3×÷6
＝
＝．
28．（2023春•夏邑县月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）30+12；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）
＝12+12+18
＝30+12；
（2）
＝2÷2
＝；
（3）
＝+++
＝．
29．（2023•合阳县校级一模）计算：3×+（﹣）﹣1+|﹣2|．
【答案】﹣1．
【解答】解：3×+（﹣）﹣1+|﹣2|
＝+（﹣3）+2﹣
＝﹣1．
30．（2022秋•顺德区期末）计算：．
【答案】．
【解答】解：原式＝，
＝，
31．（2023春•江津区期中）（1）计算：2﹣6+3；
（2）计算：．
【答案】（1）14；
（2）2﹣2．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+12
＝14；
（2）原式＝﹣1﹣（2﹣1）
＝﹣1﹣1
＝2﹣2．
32．（2023春•偃师市校级月考）计算：
（1）；
（2）3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣|．
【答案】（1）﹣23；
（2）1．
【解答】解：（1）
＝2﹣1+（﹣8）÷
＝1+（﹣8）×3
＝1+（﹣24）
＝﹣23；
（2）3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣|
＝+1﹣
＝1．
33．（2023春•富顺县校级月考）计算：（2﹣1）2+（1+）（1﹣）．
【答案】7﹣4．
【解答】解：原式＝（2）2﹣2×2+1+1﹣（）2
＝8﹣4+1+1﹣3
＝7﹣4
【类型三：分母有理化】
34．（2022•南京模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：
（1）将分母有理化可得 ；
（2）关于x的方程的解是 ．
【解答】解：（1），
故答案为：﹣1．
（2），
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
35.（2021秋•怀化期末）阅读并解答问题：
；
；
；
⋯⋯
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将的分母有理化；
（2）已知a＝，求a+b的值；
（3）计算．
【答案】（1）﹣2 （2）2 （3）9
【解答】解：（1）＝＝﹣2；
（2）∵a＝，
∴a+b
＝+
＝﹣++
＝2；
（3）
＝﹣1++…++
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
36．（2023春•崇左月考）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
方法一：＝＝＝+；
方法二：＝＝＝＝．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）直接写出化简结果：＝ ，＝ ；
（2）请参照以上化简的方法，用两种方法化简：；
（3）计算：+…+．
【答案】（1）；；
（2）见解答过程；
（3）．
【解答】解：（1）
＝
＝；
＝
＝，
故答案为：；；
（2）方法一：
＝
＝
＝；
方法二：
＝
＝
＝；
（3）+…+
＝+…+
＝．
【二次根数化简求值】
37．（2023•新市区一模）先化简，，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的x值代入求值．
【答案】；当时，原式＝．
【解答】解：
＝
＝•
＝，
∵当x＝±1，0时，原分式无意义，
∴x＝﹣1，
当时，原式＝．
38．（2023春•江岸区校级月考）已知，，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）．
【答案】（1）16；
（2）．
【解答】解：（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2，
当，时，
原式＝＝16；
（2）
＝
＝，
当，时，
原式＝
＝
＝．
39．（2023•广饶县校级开学）化简求值
（1）已知x＝，y＝，试求代数式2x2﹣4xy+2y2的值．
（2）先化简，再求值，其中x＝2﹣1，y＝2﹣．
【答案】（1）2（x﹣y）2，40．
（2），．
【解答】解：（1）2x2﹣4xy+2y2，
＝2（x2﹣2xy+y2），
＝2（x﹣y）2，
当x＝+，y＝﹣时
原式＝2（+﹣+）2，
＝2×20，
＝40；
（2）原式＝，
＝（﹣）•，
＝[]•，
＝•，
＝，
当x＝2﹣1，y＝时，原式＝．
40．（2022秋•惠安县期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】x﹣5；1﹣2．
【解答】解：原式＝＝，
当时，
原式＝．
【类型四：二次根式有关材料阅读题】
41．（2023春•潮安区校级月考）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ；
（2）填空：＝ ；
（3）化简：．
【答案】（1）﹣1；（2）﹣2；（3）1．
【解答】解：（1）∵3+1＝4，3×1＝3，即（）2+12＝4，×1＝，
∴＝＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，
∵15+4＝19，15×4＝60，即（）2+（）2＝19，×＝，
∴＝＝＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2；
（3）
＝++
＝﹣1+﹣+2﹣
＝1．
42．（2023春•鹿城区校级月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简下列格式：
①
②
③．
【答案】（1）m2+7n2，2mn；
（2）12或28；
（3）①，②，③．
【解答】解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+7n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），
则有a＝m2+7n2，b＝2mn；
故答案为：m2+7n2，2mn；
（2）∵6＝2mn，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝12+3×32＝28；
当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝32+3×12＝12；
即a的值为12或28；
（3）①＝
＝
＝；
②
＝
＝
＝；
③设，
则
＝
＝
＝
＝
＝，
∴．
43．（2022秋•海曙区校级期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
（2）若且a，m，n均为正整数，求a值．
【答案】（1）；
（2）a＝22或10．
【解答】解：（1）
＝（2+5）+2
＝（）2+（）2+2
＝（）2；
（2）∵，
∴a+2＝（）2，
a+2＝（）2，
∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．
【类型五：二次根式实际应用】
44．（2023春•罗定市校级月考）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】（1）长方形ABCD的周长是；
（2）张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝＝＝．
答：长方形ABCD的周长是；
（2）蔬菜地的面积＝
＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）．
39×8×15＝4680（元）．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
45．（2023春•夏邑县月考）濮阳市指出要全力做好国土绿化工作，加快推进森林濮阳生态建设．现濮阳某公园有一块长方形绿地ABCD，BC为m，AB为m，内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为（+1）m，宽为（﹣1）m．
（1）求长方形ABCD的周长；
（2）图片中的空白部分另作他用，需要50元/平方米的定期维护费，求定期维护的总费用．
【答案】（1）34m；
（2）6600元．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长为：
2（+）
＝2（9+8）
＝2×17
＝34（m），
答：长方形ABCD的周长是34m；
（2）定期维护的总费用为：
50×[×﹣（+1）（﹣1）]
＝50×[9×8）﹣（13﹣1）]
＝50×（144﹣12）
＝6600（元）．
答：定期维护的总费用为6600元．
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