苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.4平行四边形的判定(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.4平行四边形的判定(知识解读)(原卷版+解析)，共17页。

1. 探索并证明平行四边形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算．
2. 通过平行四边形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展 学生的演绎推理能力
【知识点梳理】
知识点1：平行四边形的判定
与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点2：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【典例分析】
【考点1：平行四边形的判定】
【典例1】（2022秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【变式1-1】（2022秋•魏县期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2022春•西湖区期中）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADCB．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD
C．AB∥CD，OB＝ODD．AB＝CD，OA＝OC
【变式1-3】（2022秋•海淀区校级期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）种．
A．2B．3C．4D．5
【典例2】（2022•苏州模拟）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-1】（2022春•天山区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，∠BAC＝∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-2】（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-3】（2022春•桂林期末）如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【考点2：平行四边形判定与性质】
【典例3】（2022秋•绥中县校级期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
【变式3-1】（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．
【变式3-2】（2022春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）当∠B＝60°，AB＝6时，求AD与BC之间的距离．
专题9.4 平行四边形的判定（知识解读）
【学习目标】
1. 探索并证明平行四边形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算．
2. 通过平行四边形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展 学生的演绎推理能力
【知识点梳理】
知识点1：平行四边形的判定
与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点2：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【典例分析】
【考点1：平行四边形的判定】
【典例1】（2022秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•魏县期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故A选项不符合题意；
B、80°+110°≠180°，故B选项不符合条件；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（2022春•西湖区期中）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADCB．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD
C．AB∥CD，OB＝ODD．AB＝CD，OA＝OC
【答案】D
【解答】解：如图，
A．∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B．∵∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C．∵AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D．AB＝CD，OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•海淀区校级期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）种．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：C．
【典例2】（2022•苏州模拟）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC．
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-1】（2022春•天山区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，∠BAC＝∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-2】（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-3】（2022春•桂林期末）如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；
（2）∵△ACD≌△CAB，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【考点2：平行四边形判定与性质】
【典例3】（2022秋•绥中县校级期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AE⊥DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
又∵∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
同理可得CD＝CE，
∴BF＝CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，
∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AF＝CK＝8，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC＝6，
∴KI＝CI＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵CI⊥DE，
∴EI＝DI，
∵DI＝＝＝2，
∴DE＝2DI＝4．
【变式3-1】（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠FCE，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB＝CF，
又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝60°，BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BA＝BE＝BC＝CE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEB＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
∴AC⊥AB，AC＝＝＝4，
∴▱ABCD的面积＝AB•AC＝4×4＝16．
【变式3-2】（2022春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）当∠B＝60°，AB＝6时，求AD与BC之间的距离．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，F分别为边BC，AD的中点，
∴CE＝BC，AF＝AD，
∴AF＝EC，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，过A作AM⊥BC于M，
则∠AMB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAM＝90°﹣60°＝30°，
∴BM＝AB＝3，
∴AM＝＝＝3，
即AD与BC之间的距离为3．