苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.7正方形的性质与判定(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.7正方形的性质与判定(知识解读)(原卷版+解析)，共20页。

1. 理解正方形的概念；
2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；
4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．
【知识点梳理】
知识点1：正方形的概念与性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
知识点2：正方形的判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
【典例分析】
【考点1：正方形的概念和性质】
【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
D．每条对角线平分一组对角
【变式1-1】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等
【变式1-2】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等垂直B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等D．菱形的四个角都是直角
【典例2】（2022秋•铁西区期中）如图，已知正方形ABCD的面积为64平方厘米，DE＝10厘米，则CE的长为（ ）
A．6B．12C．2D．2
【变式2-1】（2021秋•仁寿县校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为 ．
【变式2-3】（2022秋•龙岗区校级期末）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为 cm2．
【考点2：正方形的判定】
【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【变式3-1】（2022春•张家川县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝ABB．DC＝ADC．∠AOB＝60°D．OD＝CD
【变式3-2】（2022春•平南县期末）下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半
【变式3-3】（2020春•久治县期末）对角线互相垂直且相等的平行四边形是 ．
【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．
【变式4-1】（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．
【变式4-2】（2022春•寻乌县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足条件 时，四边形AEDF是正方形．
【变式4-3】（2022春•江宁区期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当△ABC满足 时，四边形ADFE是正方形．
【考点2：正方形的性质与判定综合】
【典例5】（2022秋•砀山县校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
【变式5-1】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．
【变式5-2】（2021春•梨树县期末）如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
专题9.7 正方形的性质与判定（知识解读）
【学习目标】
1. 理解正方形的概念；
2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；
4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．
【知识点梳理】
知识点1：正方形的概念与性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
知识点2：正方形的判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
【典例分析】
【考点1：正方形的概念和性质】
【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
D．每条对角线平分一组对角
【答案】D
【解答】解：矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们同时具有平行四边形的一切性质，而备选答案A、B、C具有平行四边形的性质，所以只有备选答案D符合题意．
故选：D．
【变式1-1】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等
【答案】B
【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意；
C、对角线互相垂直,矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分且相等,菱形不具有对角线相等的性质，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等垂直B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等D．菱形的四个角都是直角
【答案】C
【解答】解：A、矩形的对角线相等且平分，选项错误，不符合题意；
B、菱形的对角线垂直且平分，选项错误，不符合题意；
C、正方形的对角线相等，选项正确，符合题意；
D、矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角不是直角，选项错误，不符合题意；
故选：C
【典例2】（2022秋•铁西区期中）如图，已知正方形ABCD的面积为64平方厘米，DE＝10厘米，则CE的长为（ ）
A．6B．12C．2D．2
【答案】D
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为64平方厘米，
∴∠ADC＝90°，DC＝8厘米，
∵DE＝10厘米，
∴CE＝（厘米），
故选：D．
【变式2-1】（2021秋•仁寿县校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解；如图，把△ADF绕A逆时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG+∠ABE＝180°，
∴G、B、E三点共线，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
∴BE的长为2．
故选：A．
【变式2-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为 ．
【答案】6
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵BE⊥l，DF⊥l，
∴∠AFD＝∠AEB＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝90°，且∠EAB+∠FAD＝90°，
∴∠FDA＝∠EAB，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
即AE＝DF＝4，AF＝BE＝2，
∴EF＝AE+AF＝4+2＝6，
故答案为：6．
【变式2-3】（2022秋•龙岗区校级期末）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为 cm2．
【答案】18
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC＝BD＝6cm，AC⊥BD，
∴正方形ABCD的面积＝×AC×BD＝18cm2，
故答案为：18．
【考点2：正方形的判定】
【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意；
故选：D．
【变式3-1】（2022春•张家川县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝ABB．DC＝ADC．∠AOB＝60°D．OD＝CD
【答案】B
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：B．
【变式3-2】（2022春•平南县期末）下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半
【答案】D
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；
D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【变式3-3】（2020春•久治县期末）对角线互相垂直且相等的平行四边形是 ．
【答案】正方形
【解答】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，理由如下：
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
故答案为：正方形．
【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．
【解答】解：（1）四边形MENF是菱形．理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，
∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形．
（2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．
∵四边形MENF是正方形，则∠EMF＝90°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝AB，
∴AD＝2AB，
∴当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．
【变式4-1】（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．
【解答】证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE＝CF，
在△CEB和△DFC中，
，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE＝DF．
【变式4-2】（2022春•寻乌县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足条件 时，四边形AEDF是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
故答案为：∠BAC＝90°．
【变式4-3】（2022春•江宁区期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当△ABC满足 时，四边形ADFE是正方形．
【解答】（1）证明：∵△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O，
∴EF是△ABC的中位线，AD＝BD，
∴EF∥AB，EF＝AB＝AD，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
（2）解：当△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形，
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∵AB＝AC，AF是△ABC的中线，
∴AF⊥BC，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴AF⊥DE，
∴平行四边形ADFE是菱形．
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADFE是正方形．
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．
【考点2：正方形的性质与判定综合】
【典例5】（2022秋•砀山县校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB＝，
∴DF＝＝＝，
∴正方形DEFG的面积＝DF2＝（）2＝．
【变式5-1】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD．
∴∠EDA＝∠EAD．
∴AE＝DE．
∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形．
（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2，
∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2．
∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．
【变式5-2】（2021春•梨树县期末）如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．