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人教版八年级数学下册基础知识专题16.8 二次根式乘除（常考易错点分类专题）
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这是一份人教版八年级数学下册基础知识专题16.8 二次根式乘除（常考易错点分类专题），共12页。
【易错点1】最简二次根式；
【易错点2】二次根式乘除被开方因式的取值范围出错；
【易错点3】二次根式因式外(内)移时，符号出错；
【易错点4】二次根式的乘除时；运算顺序不正确（如：）；
单选题
【易错点1】最简二次根式；
1．（2021下·浙江宁波·八年级统考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017下·山东临沂·八年级阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【易错点2】二次根式乘除被开方因式的取值范围出错；
3．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）能使等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．或
【易错点3】二次根式因式外(内)移时，符号出错；
5．（2020下·江苏徐州·八年级校考期末）与根式的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018下·山东威海·八年级校联考期末）化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
【易错点4】二次根式的乘除时；运算顺序不正确（如：）；
7．（2019下·广西防城港·八年级统考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019下·八年级课时练习）计算2×÷的结果是（ ）
A． B． C． D．
填空题
【易错点1】最简二次根式；
9．（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值： ．
10．（2022·全国·八年级假期作业）下列是最简二次根式的有 ．
①；②；③；④．
【易错点2】二次根式乘除被开方因式的取值范围出错；
11．（2019上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）使等式成立的x的取值范围是
12．（2019下·广东广州·八年级统考期末）等式成立的条件是 ．
【易错点3】二次根式因式外(内)移时，符号出错；
13．（2022上·上海·八年级校考阶段练习）化简： ．
14．（2021上·九年级单元测试）把化为最简二次根式得 ．
【易错点4】二次根式的乘除时；运算顺序不正确（如：）；
15．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）化简： ．
16．（2017上·山东济宁·九年级阶段练习）计算：= ；
解答题
17．（2022·全国·八年级假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
18．（2020上·河南鹤壁·八年级校考期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简．
19．（2020上·八年级校考课时练习）
20．（2023上·上海金山·八年级校考期中）计算：．
21．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
（1）；（2）；（3）．
22．（2021上·全国·八年级专题练习）各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）；
（2）×=4××=4×=4=8．
23．（2017下·浙江杭州·八年级阶段练习）小斌同学在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝是正确的.你认为他的化简对吗？如果不对，请说明理由并改正.
参考答案：
1．B
【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，逐一解答判断即可．
解：A、，故不是
最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，故不是最简二次根式，
不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，
不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式的定义，解答的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式．
2．B
解：A. ,故不是最简二次根式;
B. 是最简二次根式;
C. ,故不是最简二次根式;
D. ,故不是最简二次根式;
故选：B.
3．B
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可．
解：，运算正确，故A不符合题意；
当，时，不成立，故B符合题意，
，运算正确，故C不符合题意；
，运算正确，故D不符合题意；
故选B
4．C
【分析】利用二次根式的性质得出，，进而求出即可．
解：成立，
，，
解得：．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质求出是解题关键．
5．D
【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.
解：由题意可得x是负数，
所以=，
故选：D.
【点拨】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x的符号是负号，这是解题的难点.
6．A
【分析】利用根式化简即可解答.
解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选A．
【点拨】本题考查二次根式性质与化简，熟悉掌握运算法则是解题关键.
7．A
【分析】根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．
解：
．
故选：．
【点拨】此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键．
8．C
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式=
=3÷
=
故选C．
【点拨】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．
9．3（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
解：∵是最简二次根式，
∴，
解得，，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点拨】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
10．②④/④②
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：＝2，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
所以最简二次根式有②④，
故答案为：②④．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式叫最简二次根式，被开方数中不含分母，也不含开得尽的因数或因式，能够熟记最简二次根式的定义是解题的关键．
11．.
【分析】根据负数没有平方根及分母不为0，即可求出x的范围．
解：根据题意,得 ，
解得：，
则使得等式 成立的x的取值范围是x；
故答案为x.
【点拨】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
12．﹣1≤a＜3
【分析】根据负数没有算术平方根列出不等式组，求出解集即可．
解：依题意，得：，解得：﹣1≤a＜3
【点拨】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则
13．
【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到，解得，根据化简即可得到答案．
解：
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查利用二次根式性质化简，涉及二次根式被开方式非负、及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键．
14．
【分析】根据最简二次根式的性质解答．
解：根据题意知，
①当x＞0、y＞0时，
==；
②当x＜0、y＜0时，
==；
故答案是：．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
15．
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可．
解：
．
故答案：
【点拨】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．
16．
解：原式= = .
17．（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见分析
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
18．0
【分析】根据数轴确定a，b，c的正负性，再判断（a+c），（b﹣c）得正负性，然后用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简．
解：由数轴可知：a＜0，c＜0, b＞0，且
所以：a+c＜0，b﹣c＞0，
原式＝|a|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|b|，
＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b，
＝0．
【点拨】本题考查的是二次根式的性质和化简，以及数轴上数的大小比较，运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，解答此题得关键判断a，b，c的符号与大小．
19．
【分析】先根据二次根式的性质把原式化简为，再根据已知条件化简绝对值即可．
解：原式=；
因为，
所以原式=．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质和化简的方法是关键．
20．．
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．
利用二次根式的乘除法则及性质“”计算即可．
解：原式
21．（1）；（2）；（3）
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
22．（1）不正确，改正见分析；（2）不正确，改正见分析
【分析】（1）根据二次根式的性质，被开方数不能小于0，改正根据二次根式的性质化简即可；
（2），改正将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质化简即可；
解：（1）不正确．
改正：＝×=2×3=6；
（2）不正确．
改正：××＝4．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，正确利用二次根式的性质化简是解题的关键．
23．不对，理由见分析
试题分析：根据负数是没有平方根的可判定这一步是错误的，根据二次根式的除法法则计算即可.
解：不对
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以这一步是错误的.
注意的前提条件是
正确的化简过程是：
点睛：本题考查了二次根式的除法法则，注意的前提条件是.
【易错点1】最简二次根式；
【易错点2】二次根式乘除被开方因式的取值范围出错；
【易错点3】二次根式因式外(内)移时，符号出错；
【易错点4】二次根式的乘除时；运算顺序不正确（如：）；
单选题
【易错点1】最简二次根式；
1．（2021下·浙江宁波·八年级统考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017下·山东临沂·八年级阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【易错点2】二次根式乘除被开方因式的取值范围出错；
3．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）能使等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．或
【易错点3】二次根式因式外(内)移时，符号出错；
5．（2020下·江苏徐州·八年级校考期末）与根式的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018下·山东威海·八年级校联考期末）化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
【易错点4】二次根式的乘除时；运算顺序不正确（如：）；
7．（2019下·广西防城港·八年级统考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019下·八年级课时练习）计算2×÷的结果是（ ）
A． B． C． D．
填空题
【易错点1】最简二次根式；
9．（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值： ．
10．（2022·全国·八年级假期作业）下列是最简二次根式的有 ．
①；②；③；④．
【易错点2】二次根式乘除被开方因式的取值范围出错；
11．（2019上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）使等式成立的x的取值范围是
12．（2019下·广东广州·八年级统考期末）等式成立的条件是 ．
【易错点3】二次根式因式外(内)移时，符号出错；
13．（2022上·上海·八年级校考阶段练习）化简： ．
14．（2021上·九年级单元测试）把化为最简二次根式得 ．
【易错点4】二次根式的乘除时；运算顺序不正确（如：）；
15．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）化简： ．
16．（2017上·山东济宁·九年级阶段练习）计算：= ；
解答题
17．（2022·全国·八年级假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
18．（2020上·河南鹤壁·八年级校考期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简．
19．（2020上·八年级校考课时练习）
20．（2023上·上海金山·八年级校考期中）计算：．
21．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
（1）；（2）；（3）．
22．（2021上·全国·八年级专题练习）各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）；
（2）×=4××=4×=4=8．
23．（2017下·浙江杭州·八年级阶段练习）小斌同学在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝是正确的.你认为他的化简对吗？如果不对，请说明理由并改正.
参考答案：
1．B
【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，逐一解答判断即可．
解：A、，故不是
最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，故不是最简二次根式，
不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，
不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式的定义，解答的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式．
2．B
解：A. ,故不是最简二次根式;
B. 是最简二次根式;
C. ,故不是最简二次根式;
D. ,故不是最简二次根式;
故选：B.
3．B
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可．
解：，运算正确，故A不符合题意；
当，时，不成立，故B符合题意，
，运算正确，故C不符合题意；
，运算正确，故D不符合题意；
故选B
4．C
【分析】利用二次根式的性质得出，，进而求出即可．
解：成立，
，，
解得：．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质求出是解题关键．
5．D
【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.
解：由题意可得x是负数，
所以=，
故选：D.
【点拨】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x的符号是负号，这是解题的难点.
6．A
【分析】利用根式化简即可解答.
解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选A．
【点拨】本题考查二次根式性质与化简，熟悉掌握运算法则是解题关键.
7．A
【分析】根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．
解：
．
故选：．
【点拨】此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键．
8．C
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式=
=3÷
=
故选C．
【点拨】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．
9．3（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
解：∵是最简二次根式，
∴，
解得，，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点拨】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
10．②④/④②
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：＝2，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
所以最简二次根式有②④，
故答案为：②④．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式叫最简二次根式，被开方数中不含分母，也不含开得尽的因数或因式，能够熟记最简二次根式的定义是解题的关键．
11．.
【分析】根据负数没有平方根及分母不为0，即可求出x的范围．
解：根据题意,得 ，
解得：，
则使得等式 成立的x的取值范围是x；
故答案为x.
【点拨】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
12．﹣1≤a＜3
【分析】根据负数没有算术平方根列出不等式组，求出解集即可．
解：依题意，得：，解得：﹣1≤a＜3
【点拨】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则
13．
【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到，解得，根据化简即可得到答案．
解：
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查利用二次根式性质化简，涉及二次根式被开方式非负、及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键．
14．
【分析】根据最简二次根式的性质解答．
解：根据题意知，
①当x＞0、y＞0时，
==；
②当x＜0、y＜0时，
==；
故答案是：．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
15．
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可．
解：
．
故答案：
【点拨】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．
16．
解：原式= = .
17．（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见分析
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
18．0
【分析】根据数轴确定a，b，c的正负性，再判断（a+c），（b﹣c）得正负性，然后用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简．
解：由数轴可知：a＜0，c＜0, b＞0，且
所以：a+c＜0，b﹣c＞0，
原式＝|a|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|b|，
＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b，
＝0．
【点拨】本题考查的是二次根式的性质和化简，以及数轴上数的大小比较，运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，解答此题得关键判断a，b，c的符号与大小．
19．
【分析】先根据二次根式的性质把原式化简为，再根据已知条件化简绝对值即可．
解：原式=；
因为，
所以原式=．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质和化简的方法是关键．
20．．
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．
利用二次根式的乘除法则及性质“”计算即可．
解：原式
21．（1）；（2）；（3）
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
22．（1）不正确，改正见分析；（2）不正确，改正见分析
【分析】（1）根据二次根式的性质，被开方数不能小于0，改正根据二次根式的性质化简即可；
（2），改正将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质化简即可；
解：（1）不正确．
改正：＝×=2×3=6；
（2）不正确．
改正：××＝4．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，正确利用二次根式的性质化简是解题的关键．
23．不对，理由见分析
试题分析：根据负数是没有平方根的可判定这一步是错误的，根据二次根式的除法法则计算即可.
解：不对
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以这一步是错误的.
注意的前提条件是
正确的化简过程是：
点睛：本题考查了二次根式的除法法则，注意的前提条件是.
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