人教版八年级数学下册基础知识专题16.18 二次根式（分层练习）（基础练）

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A． B． C． D．
2．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·浙江·八年级校联考期中）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）下列二次根式能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019上·四川达州·八年级校考阶段练习）两个数，5的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．无法比较
6．（2023下·河北唐山·八年级统考阶段练习）如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是和，则剩余区域的面积是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2011上·安徽芜湖·九年级统考期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，某小区有块长为，宽为的长方形空地，现要在中间修建一个长为，宽为的花坛，则图中空白部分的面积为（ ）

A． B．
C． D．
9．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）下列推理过程中，对应符号表示正确的是（ ）
A．“”代表B．“*”代表0.04，“★”代表0.02
C．“”代表50，“★”代表2D．“*”代表2
10．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）关于“”，下列说法不正确的是（ ）
A．它可以表示面积为10的正方形的边长
B．若，则整数
C．
D．数轴上距离原点个单位长度的点有且只有一个
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（福建省泉州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在二次根式中，x的取值范围是 ．
12．（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）已知那么 ．
13．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）计算的结果是 ．
14．（2024上·上海闵行·八年级校考期末）分母有理化： ．
15．（2020下·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）若x＝＋1，y＝﹣1，则（x＋y）2＝ ．
16．（2023上·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习） ．
17．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
18．（2022上·河北石家庄·八年级统考期末）已知、是实数，下列四条命题：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算下列各题
（1）；（2）.
20．（8分）（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算
（1）（2）
21．（10分）（2022·江苏扬州·校考三模）先化简，再求值：，其中，．
22．（10分）（2022上·陕西西安·八年级校考期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）______．
（2）化简；
（3）若，求的值．
23．（10分）（2022下·八年级课时练习）（1）计算：
（2）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
24．（12分）（2023下·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）观察下列各式：
①；
②；
（1）根据你发现的规律填空：______＝______；
（2）猜想______（，为自然数），并通过计算证实你的猜想．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如（）”可进行求解．
解：由题意可知是二次根式；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了算术平方根、二次根式的加法及二次根式的乘除法，直接根据二次根式的加、乘、除法法则逐一计算即可．
解：A. ，此选项计算错误，不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C. ，此选项计算错误，不符合题意；
D. ，此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.”是解题的关键．
解：A.是最简二次根式，结论正确，故符合题意；
B.，结论错误，故不符合题意；
C.，结论错误，故不符合题意；
D.，结论错误，故不符合题意；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，将选项依次化简即可确定．
解：A，，不能与合并；
B，，不能与合并；
C，，能与合并；
D，不能与合并；
故选C．
5．A
【分析】把两数都化为只有根式的形式，再根据根号里面的数比较大小.
解：∵,5=
则＜
∴＜5
故答案为A.
【点拨】本题考查了无理数的大小比较，解题关键在于通过比较被开方数的大小去比较无理数的大小.
6．D
【分析】根据两个正方形的面积分别求出边长，表示出长方形的长和宽求出总面积，再减去A、B两个正方形的面积即可得出最后的结果．
解：，两正方形区域的面积分别是和，
，两正方形边长分别是和，
剩余区域的面积是．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的应用，正确计算是解答本题的关键．
7．C
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
解：由题意可知：，
∴．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
8．A
【分析】分别求出长方形空地的面积和花坛的面积，再相减即可．
解：根据题意得，长方形空地的面积为，
花坛的面积为，
∴图中空白部分的面积为，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了长方形的面积，属于基础题，要熟练掌握．
9．B
【分析】先分别把用的倍数表示，即可得出“*”和“”，继而得出“★”，即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
∴“*”代表0.04，“”代表50，“★”代表0.02，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键．
10．D
【分析】根据正方形的面积公式，即可判断A；用夹逼法估算，即可判断B；根据二次根式的加法法则，即可判断C；根据数轴上的点与实数的关系，即可判断D．
解：A、设面积为10的正方形边长为，则，∴，故A正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴整数，故B正确，不符合题意；
C、，故C正确，不符合题意；
D、数轴上距离原点个单位长度的点有和，故D不正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法，二次根式的加法法则．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，建立不等式，解答即可．
解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
12．81
【分析】先求出x值，再求平方即可．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：81．
【点拨】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法．
13．4
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练运用计算法则是解题的关键．
解：，
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答．
解：依题意，
故答案为：
15．12．
【分析】直接代数，运用二次根式的法则计算即可．
解：，
故答案为：12．
【点拨】本题考查代数式的求值，涉及二次根式的运算法则，熟练法则即可．
16．
【分析】，据此即可求解．
解：原式
故答案为：
【点拨】本题考查了利用二次根式的性质化简．掌握相关法则即可．
17．7
【分析】易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可．
解：根据材料可知，与是一对“对偶式”，
∵，
∴
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
18．②④/④②
【分析】根据绝对值得性质以及二次根式的性质分别分析得出答案即可．
解：①如果|a|=|b|，那么a=±b，故此选项错误；
②如果，那么a=b；根据二次根式的性质，故此选项正确；
③如果|a|=|b|，那么，∵|a|=|b|中，a，b可以是负数，故此选项错误；
④如果，那么|a|=|b|，a，b为非负数，故此选项正确．
故答案为：②④．
【点拨】此题主要考查了实数的性质，熟练根据二次根式的性质得出是解题关键．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了二次根式的计算：
（1）利用平方差公式和二次根式化简计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式化简计算即可；
结合完全平方公式和平方差公式计算是解题的关键．
（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
=．
20．（1）；（2）
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可．
（1）解：
；
（2）
．
21．，
【分析】根据分式的四则运算进行化简，然后代入求值即可．
解：
，
将，代入得，原式．
【点拨】此题考查了分式的化简求值，涉及了分式的四则运算，完全平方公式，平方差公式，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1），
故答案为：；
（2）解：
；
（3），
，
∴，即．
∴．
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式．
23．（1）；（2）4s
【分析】（1）先计算乘方，再利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．
（2）直接将，代入公式计算即可．
解：（1）
；
（2）将，代入公式，
得：，
答：落到地面所用时间为4s.
【点拨】本题考查了整式的混合运算，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，正确代入即可．
24．（1）；；（2），证明见分析
【分析】（1）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解；
（2）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解．
（1）解：，
故答案为：；．
（2）解：，证明过程如下，
证明：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算及性质，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键．已知，用含a，b的式子表示．
解：，
，
．