上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题（含答案）

这是一份上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了06，本试卷分设试卷和答题纸，在中，若，那么______等内容，欢迎下载使用。

2024．06
考生注意：
1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中115题每题3分，610题每题4分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．已知向量，则______．
2．若复数满足（为虚数单位），则______．
3．已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______．
4．已知角的终边经过点，则______．
5．已知向量，且，则实数______．
6．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______．
7．在中，若，那么______．
8．设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图像，则的最大值______．
9．已知角的终边经过点，则______．
10．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______．
二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】
11．已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
12．已知函数，且，则（ ）
A．11B．14C．17D．20
13．若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分53分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
14．（本题满分10分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）
已知一元二次方程．
（1）在复数范围内解该方程；
（2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）
15．（本题满分10分）
设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．
16．（本题满分10分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）化简下列各式：
（1）；
（2）．
17．（本题满分11分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分4分）已知函数．
（1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下：
请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间；
（2）将（1）中函数的图像向下平移个单位得到的图像，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围．
18．（本题满分12分，本题共有3个小题，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？
该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：
1．通过路口的车辆长度都相等；
2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；
3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；
4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；
5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．
一名建模爱好者收集数据整理如下：
1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；
2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；
3．前后车启动延迟时间记为，取；
4．第辆车启动延迟时间为；
5．该十字路口限速，换算为；
6．第辆车到达最高限速的时间为取．
设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：
（1）求；（结果保留一位小数，单位：）
（2）对于第辆车，写出函数的分段表达式；
（3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．
静安区2023学年第二学期教学质量调研
高一数学试卷含评分标准 2024.6
考生注意：
1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中题每题3分，题每题4分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．已知向量，则______．-2
2．若复数满足（i为虚数单位），则______
3．已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______．
3
4．已知角的终边经过点，则______．
5．已知向量，且，则实数______．2
6．已知平面上两点的坐标分别是，是直线上的一点，且，则点M的坐标是______．（0，15）
7．在中，若，那么______．
8．设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图像，则a的最大值为______．
9．已知角终边上有一点，则______．
10．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______．
二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】
11．已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限．
A．—B．二C．三D．四
C
12．已知函数，且，则（ ）．
A．11B．14C．17D．20
B
13．若函数在内是严格减函数，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
D
三、解答题（本大题共有5题，满分53分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
14．（本题满分10分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）
已知一元二次方程．
（1）在复数范围内解该方程；
（2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）
解：
（1），方程有一对虚数根．（1分）（累计1分）
解得．（4分）（累计5分）
（2），（2分）（累计7分）
，求得
与夹角的大小为．（3分）（累计10分）
15．（本题满分10分）
设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．
解：设公差为，
，（或者即，）（2分）（累计2分）
又，所以（或者）（2分）（累计2分）
解得．（2分）（累计6分）
所以为正整数（3分）（累计9分）
所以．（1分）（累计10分）
16．（本题满分10分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）
化简下列各式：
（1）；
（2）．
解：（1）．（5分）（累计5分）（辅助角公式3分，结果2分）
方法2：（5分）（累计5分）
（两角和与差公式3分，结果2分）
（2）．（5分）
（累计10分）
（诱导公式3分，化简结果2分）
17．（本题满分11分，本题共有2个问题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分4分）已知函数．
（1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下：
请在答题纸填写上表的空格处，并写出函数的表达式和单调递增区间；
（2）将（1）中函数的图像向下平移个单位得到的图像，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出的取值范围．
解：．（3分）（累计3分）
（累计分）
单调递增区间．（2分）（累计7分）
（2）的取值范围是．（4分）（累计11分）（区间端点或者不等式值正确得2分，在区间端点值正确的前提下，区间端点处开闭或者不等式符号一处1分，共2分）
18．（本题满分12分，本题共有3个小题，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（s为时间单位：秒），那么，每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？
该问题涉及车长，车距、车速、前方堵塞状况，包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，建模爱好者提出如下基本假设：
1．通过路口的车辆长度都相等；
2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；
3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟1s时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；
5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．
一名建模爱好者收集数据整理如下：
1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；
2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；
3．前后车启动延迟时间记为，取；
4．第辆车启动延迟时间为；
5．该十字路口限速，换算为，
6．第辆车到达最高限速的时间为取．
设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：
（1）求；（结果保留一位小数，单位：m）
（2）对于第辆车，写出函数的分段表达式；
（3）求在亮绿灯的15s内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．
解：（1），（1分）
（2分）（累计3分）
（2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题．
通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得：
（4分）（累计7分）
其中，，
或者写成
（4分）（累计7分）
（表达式中可以保留，也可以写成—；表达式书写结果只要合理都应适当给分，例如某段表达正确或者某个具体的正确，给1分；题设已经明确，可以不写）
（3）由于十字路口亮绿灯的时长为，即，于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大．（1分）（累计8分）
与计算的方法相同，计算，
，第8辆车没有行驶到停车线时绿灯已经结束，没能通过十字路口．
在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向至多有7辆汽车通过该十字路口．
（4分）（累计12分）
（从，解得正整数，计算进行判断或者从递减判断亦可）
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