2023-2024学年江西省南昌十中高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌十中高一（下）第二次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs24°cs69°+sin24°sin111°=( )
A. − 22B. 22C. −12D. 12
2.为了得到y=sin(5x−π3)的图象，只要将函数y=sin5x的图象( )
A. 向右平移π15个单位长度B. 向左平移π15个单位长度
C. 向右平移π3个单位长度D. 向左平移π3个单位长度
3.下列命题中正确的是( )
A. OA−OB=ABB. AB=BA
C. 0⋅AB=0D. AB+BC+CD=AD
4.向量a=(k,3)与向量b=(1,−1)夹角为钝角，则实数k的取值范围是( )
A. k<3B. k<3且k≠−3C. k>−3D. k>−3且k≠3
5.下列函数中，周期为π且在[0,π2]上单调递增的函数是( )
A. f(x)=sin2xB. f(x)=cs2x
C. f(x)=ln(2−csx)D. f(x)=tan(x−12024)
6.如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为( )
A. 100 2米B. 100 3米C. 50( 6+ 2)米D. 200米
7.平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，AB⋅AD=−6，DM=13DC，则MA⋅MB的值为( )
A. 16B. 14C. 12D. 10
8.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=CD=2，AB⊥BC，AC⊥CD，若DB=λAB+μAC，则λ+μ=( )
A. − 22
B. 22
C. 2+12
D. 2−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(1,−1)，c=(m−2,−n)，其中m，n均为正数，且(a−b)//c，下列说法正确的是( )
A. a与b的夹角为钝角B. 向量a在b方向上的投影为 55
C. 2m+n=4D. mn的最大值为2
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列正确的是( )
A. φ=−π3
B. 函数f(x)为奇函数
C. 若π4≤x≤π2，则12≤f(x)≤ 32
D. 函数f(x)的图象关于点(7π6,0)成中心对称
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若bcsC+ccsB=b，则△ABC是等腰三角形
B. 若a=2，b=3，A=30°，则符合条件的△ABC有两个
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D. 若sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC为直角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知G为△ABC的重心，且AG=λ(AB+AC)，则λ=______．
13.计算：tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°= ______．
14.在△ABC中，CA=2CB=2，CA⋅CB=−1，O是△ABC的外心，若CO=xCA+yCB，则xy= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知sinθ，csθ是方程3x2−2x+m=0的两个实数解．
(1)求m的值；
(2)若θ为第二象限角，求csθ−sinθ的值．
16.(本小题15分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，且(3a+b)⋅(a−2b)=−16．
(1)若(a−b)⊥(a+λb)，求实数λ的值；
(2)求a与2a−b的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3cs(π2−2x)−2cs2x+1．
(1)若α∈(0,π),f(α2)=1，求α的值；
(2)若β∈(π2,π),f(β)=−12，求cs(β+π6)的值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，CA=a，CB=b，若D是AB的中点(AD=12AB)，则CD=12a+12b；若D是AB的一个三等分点(AD=13AB)，则CD=23a+13b；若D是AB的一个四等分点(AD=14AB)，则CD=34a+14b．

(1)如图①，若AD=λAB，用a，b表示CD，你能得出什么结论？并加以证明．
(2)如图②，若CM=12MB，CN=NA，AM与BN交于O，过O点的直线l与CA，CB分别交于点P，Q．
①利用(1)的结论，用a，b表示CO；
②设CP=xCA，CQ=yCB(x>0,y>0)，求x+y的最小值．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：cs24°cs69°+sin24°sin111°=cs24°cs69°+sin24°sin(180°−69°)
=cs24°cs69°+sin24°sin69°=cs(69°−24°)=cs45°= 22．
故选：B．
由诱导公式和两角差的余弦公式求解即可．
本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：为了得到y=sin(5x−π3)的图象，只要将函数y=sin5x的图象向右平移π15个单位长度得到．
故选：A．
直接利用函数图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：OA−OB=BA，AB=−BA，0⋅AB=0，AB+BC+CD=AD，
故选：D
根据向量的加减的几何意义和向量的数量积运算即可判断
本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由于向量a=(k,3)与向量b=(1,−1)夹角为钝角，
所以a⋅b=k−3<0整理得k<3，且k≠−3．
故选：B．
直接利用向量的数量积运算和向量的夹角运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积，向量的夹角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：f(x)=sin2x在[0,π2]上不单调，A错误；
f(x)=cs2x在[0,π2]上单调递减，B错误；
f(x)=ln(2−csx)的周期T=2π，C错误；
f(x)=tan(x−12024)的周期T=π且在[0,π2]上单调递增，D正确．
故选：D．
由已知结合三角函数的单调性及周期性检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数的单调性及周期性的判断，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：根据已知条件：∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，
所以：∠CBA=180°−45°−105°=30°，
利用正弦定理：则ABsin∠ACB=ACsin∠CBA，
所以AB=AC⋅sin45°sin30∘=100× 2212=100 2．
故选：A．
直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理，特殊角的三角函数值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7.【答案】A
【解析】解：因为平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，AB⋅AD=−6，
∵DM=13DC，
则MA⋅MB=(MD+DA)⋅(MC+CB)=(−13DC−AD)⋅(23DC−BC)=(−13AB−AD)⋅(23AB−AD)=−29AB2−13AB⋅AD+AD2=16；
故选：A．
把所求向量转化为用AB，AD来表示，再代入数量积求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
8.【答案】B
【解析】解：以C为坐标原点，CD，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的坐标系，
由题意得AC=2 2，则A(0,2 2),B( 2, 2),C(0,0),D(−2,0),AB=( 2,− 2),AC=(0,−2 2)，DB=( 2+2, 2)，所以 2+2= 2λ 2=− 2λ−2 2μ，
解得λ= 2+1μ=−1− 22，所以λ+μ= 22．
故选：B．
首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算求出结果．
本题考察的知识点：向量的坐标运算，平面直角坐标系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量a=(2,1)，b=(1,−1)，则a⋅b=2−1=1>0，则a、b的夹角为锐角，A错误；
对于B，向量a=(2,1)，b=(1,−1)，则向量a在b方向上的投影为a⋅b|b|= 22，B错误；
对于C，向量a=(2,1)，b=(1,−1)，则a−b=(1,2)，若(a−b)//c，则(−n)=2(m−2)，变形可得2m+n=4，C正确；
对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn=12(2m⋅n)≤12(2m+n2)2=2，即mn的最大值为2，D正确；
故选：CD．
根据题意，对于A、B，由向量数量积的性质分析可得AB错误，对于C，由向量平行的表示方法(−n)=2(m−2)，变形可得2m+n=4，可得C正确，对于D，由C的结论，2m+n=4，结合基本不等式的性质分析可得mn的最大值，可得D正确，综合可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象知：
A=2,T2=11π12−5π12，则T=π，ω=2πT=2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，又点(5π12,2)在图象上，
则sin(5π6+φ)=1，5π6+φ=2kπ+π2,k∈Z即φ=2kπ−π3,k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，故A正确；
则f(x)=2sin(2x−π3)，因为f(−x)=−2sin(2x+π3)，所以f(−x)≠−f(x)，故B错误；
因为π4≤x≤π2，所以−π6≤2x−π3≤2π3，−12≤sin(2x−π3)≤1，则−1≤f(x)≤2，故C错误；
又f(7π6)=2sin(2×7π6−π3)=2sin2π=0，所以函数f(x)的图象关于点(7π6,0)成中心对称，故D正确．
故选：AD．
根据函数的部分图象得到f(x)=2sin(2x−π3)，再逐项判断．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由正弦定理得，sinBcsC+sinCcsB=sinB，
即sinB=sin(B+C)=sinA，则A=B，△ABC是等腰三角形，故A正确；
对于B：由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，即4=9+c2−3 3c，
整理得c2−3 3c+5=0，解得c=3 3± 72，所以符合条件的△ABC有两个，故B正确；
对于C，因为A，B∈(0,π)，0<2A<2π，则0<2B<2π，又sin2A=sin2B，
所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，由sin2B+sin2C=sin(B+C+B−C)+sin(B+C−(B−C))
=2sin(B+C)cs(B−C)=sin2A=2sinAcsA，
易知sinA=sin(B+C)≠0，所以csA=cs(B−C)，
根据余弦函数的性质可知：
若B若B=C⇒A=0(舍去)，
若B>C，则B−C=A⇒B=π2，所以都能得出△ABC为直角三角形，故D正确．
故选：ABD．
利用正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式即可判断A，利用余弦定理解得c即可判断B，根据正弦函数结合角的范围分析可判断C；根据两角和与差的正弦公式与余弦函数的性质可判断D．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
12.【答案】13
【解析】解：取BC中点M，则AB+AC=2AM，
∵G为△ABC的重心，
∴AG=23AM，
∴AG=13(AB+AC)，故λ=13．
故答案为：13．
取BC中点M，则AB+AC=2AM，再结合重心的性质，即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算，以及三角形重心的性质，属于基础题．
13.【答案】−4
【解析】【分析】
由题设，可根据特殊角的使用，巧妙解决问题．本题主要考查倍角公式的应用．此类题往往与三角函数中其他常用公式如诱导公式、两角和公式等一块考查．应注意灵活掌握．
【解答】
解：∵tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°=sin12°− 3cs12°2sin12°cs12°cs24°=2sin(12°−60°)12sin48°=−4．
故答案为−4．
14.【答案】109
【解析】【分析】
本题考查了数量积运算性质、圆的垂经定理、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据数量积的定义求出CO⋅CA=2，CO⋅CB=12，从而列方程组解出x，y的值，得出答案．
【解答】
解：分别取CA，CB的中点D，E.连接OD，OE，则OD⊥CA，OE⊥CB．
∴CO⋅CA=OC⋅AC⋅cs∠OCA=CD⋅CA=2，
同理可得：CO⋅CB=CE⋅CB=12．
又CO⋅CA=xCA2+yCB⋅CA=4x−y，CO⋅CB=xCA⋅CB+yCB2=y−x，
∴4x−y=2y−x=12，解得x=56y=43，
∴xy=109．
故答案为：109．
15.【答案】解：(1)∵sinθ，csθ是方程3x2−2x+m=0的两个实数解，
∴sinθ+csθ=23①sinθcsθ=m3②4−12m≥0③，由①两边平方得：sinθcsθ=−518，
代入②，则−518=m3，即m=−56，满足③，
则m=−56；
(2)∵θ为第二象限角，
∴csθ−sinθ=− (csθ−sinθ)2=− 1−2sinθcsθ=− 1+59=− 143．
【解析】(1)由已知方程结合根与系数的关系列式求解m值；
(2)利用同角三角函数基本关系式求解．
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，考查三角函数的化简求值，是基础题．
16.【答案】解：(1)已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，且(3a+b)⋅(a−2b)=−16，
则3a2−5a⋅b−2b2=−16，
则3×22−5a⋅b−2×32=−16，
则a⋅b=2，
又∵(a−b)⊥(a+λb)，
∴(a−b)⋅(a+λb)=0，
∴a2+(λ−1)a⋅b−λb2=0，
∴7λ=2，
∴λ=27；
(2)由题意可得a⋅(2a−b)=2a2−a⋅b=8−2=6，
|2a−b|= 4a2−4a⋅b+b2= 16−8+9= 17，
则a与2a−b的夹角的余弦值为a⋅(2a−b)|a||2a−b|=62× 17=3 1717．
【解析】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算，属中档题．
(1)由平面向量数量积的运算，结合(a−b)⊥(a+λb)，即(a−b)⋅(a+λb)=0求解即可；
(2)由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算求解即可．
17.【答案】解：(1)由题意可得f(x)= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
又α∈(0,π),f(α2)=1，
所以f(α2)=2sin(α−π6)=1，
故sin(α−π6)=12，
因为α∈(0,π)，
所以α−π6∈(−π6,5π6)，
所以α−π6=π6，
故α=π3．
(2)已知β∈(π2,π),f(β)=−12，
则f(β)=2sin(2β−π6)=−12，
所以sin(2β−π6)=−14，
所以cs(2β+π3)=cs[(2β−π6)+π2]=−sin(2β−π6)=14，
又cs(2β+π3)=2cs2(β+π6)−1，
所以cs2(β+π6)=58，
因为β∈(π2,π)，
所以β+π6∈(2π3,7π6)，
所以cs(β+π6)=− 104．
【解析】(1)由三角恒等变换，结合特殊角的三角函数求解．
(2)由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
18.【答案】解：(1)猜想：CD=(1−λ)a+λb，
证明：因为AD=λAB，所以CD=CA+AD=CA+λAB=CA+λ(CB−CA)=(1−λ)CA+λCB，
因为CA=a，CB=b，所以CD=(1−λ)a+λb；
(2)①若CM=12MB，CN=NA，则CM=13CB，CN=12CA，
因为A、O、M三点共线，设AO=tAM，
则CO=(1−t)CA+tCM=(1−t)CA+t×13CB=(1−t)a+t3b，
因为B、O、N三点共线，设BO=μBN，
则CO=(1−μ)CB+μCN=(1−μ)CB+μ×12CA=μ2a+(1−μ)b，
因为a与b不共线，所以1−t=12μ13t=1−μ，解得t=35μ=45，
所以CO=25a+15b；
②因为CP=xCA，CQ=yCB(x>0,y>0)，
所以a=1xCP，b=1yCQ，
所以CO=25a+15b=25xCP+15yCQ，
因为P、O、Q三点共线，所以25x+15y=1，
所以x+y=(x+y)(25x+15y)=35+x5y+2y5x，
因为x>0，y>0，所以x5y>0，2y5x>0，
所以35+x5y+2y5x≥35+2 (x5y)⋅(2y5x)=3+2 25，
当且仅当25x+15y=1x5y=2y5x时，即x= 2+25y= 2+15时，等号成立，
所以x+y的最小值为3+2 25．
【解析】(1)根据平面向量线性运算法则计算可得；
(2)①依题意可得CM=13CB，CN=12CA，由A、O、M三点共线，设AO=tAM，结合(1)的结论用a，b表示出CO，由B、O、N三点共线，设BO=μBN，同理表示出CO，根据平面向量基本定理得到方程，求出t、μ，再代入即可；
②依题意可得a=1xCP，b=1yCQ，结合①的结论及共线定理即得出25x+15y=1，再利用基本不等式即可求解．
本题考查平面向量基本定理的应用，考查基本不等式求最值，属中档题．
19.【答案】解：(1)由已知△ABC中cs2B+cs2C−cs2A=1，即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，
故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即A=π2；
(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12×2，
整理得xy+yz+xz=4 33，
则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12×4 33=−2 33；
(3)点P为△ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．
【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C−cs2A=1可得a2=b2+c2，即可求得答案；
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(3)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．