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所属成套资源：【期末试卷】北师大版七年级下学期数学期末试卷汇集
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【期末测试】北师大版7年级数学下册期末数学试卷08
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这是一份【期末测试】北师大版7年级数学下册期末数学试卷08，共19页。试卷主要包含了高度抽象性，严密逻辑性，广泛应用性，之间的关系式为 等内容，欢迎下载使用。
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
【期末模拟】北师大版七年级数学下册期末模拟试卷08
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算a6÷a3结果正确的是（ ）
A．a2B．a3C．a﹣3D．a8
2．（3分）下列轴对称图形中，有三条对称轴的是（ ）
A．
线段 B．
角
C．
等腰直角三角形D．
等边三角形
3．（3分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4B．2.1×10﹣6C．2.1×10﹣5D．2.1×10﹣4
4．（3分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
6．（3分）用尺规作∠AOB平分线的方法如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA，OB于点C，点D；②分别以点C，点D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP，则OP平分∠AOB，由作法得△OCP≌△ODP，其判定的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
7．（3分）如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC=∠B′AC′；③直线l垂直平分线段BB′，其中正确的结论共有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
8．（3分）一个不透明的袋子里装有4个黑球和2个白球，它们除颜色外完全相同，随机从袋中一次性摸出三个球，其中的必然事件是下列的（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中有两个球是黑球
D．摸出的三个球中有两个球是白球
9．（3分）小亮从家到达A地后立即返回家中，下列图象，能描述小亮与家之间的距离s与时间t的关系的是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
A．25°B．45°C．50°D．70°
二、填空题（本大题含6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算（）﹣1结果等于 ．
12．（3分）如图，AD是△ABC的高，AE是中线，若AD=5，CE=4，则△AEB的面积为 ．
13．（3分）如图的正方形地板，是由9块除颜色外完全相同的正方形地砖拼接而成的，其中黑色地砖5块，一个小球在这块地板上自由滚动，并随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，若∠BAD=20°，则∠C的度数为 °．
15．（3分）某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关系式为 ．
16．（3分）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE= ．
三、解答题（本大题共含8小题，共52分）
17．（9分）计算：
（1）（2xy2）2•（3x2y）；
（2）（x+1）（x﹣3）；
（3）（x+2y+1）（x+2y﹣1）
18．（5分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab），其中a=2，b=1．
19．（4分）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
已知：（如图）线段a和∠α，
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
20．（5分）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格：
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；
（3）根据图象，摩天轮的直径为 m，它旋转一周需要的时间为 min．
21．（6分）桌子上倒扣着背面图案相同的6张扑克牌，其中4张黑桃，2张红桃，将这些牌洗匀后，从中随机抽取1张．
（1）抽到黑桃、红桃的概率分别是多少？
（2）如何改变两种花色扑克牌的张数，使抽到两种花色扑克牌的概率相等？请写出一种改变的方法，并且使桌面上扑克牌的总数不超过8张．
22．（5分）阅读下列材料，解答相应问题：
数学知识伴随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始资料，和古巴比伦楔形文字泥板书，古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式：
ab=[（a+b）2﹣（a﹣b）2]…①
ab=[（a+b）2﹣a2 ]…②
（1）补全材料中公式②中的空缺部分；
（2）验证材料中的公式①；
（3）当a+b=5，a﹣b=7时，利用公式①计算ab的值．
23．（8分）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：CE与BF相等吗？为什么？
B：若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
我选择： ．
24．（10分）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
我选择： ．
七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2016春•太原期末）计算a6÷a3结果正确的是（ ）
A．a2B．a3C．a﹣3D．a8
【分析】原式利用同底数幂的除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：a6÷a3=a3，
故选B．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）（2016春•太原期末）下列轴对称图形中，有三条对称轴的是（ ）
A．
线段B．
角
C．
等腰直角三角形D．
等边三角形
【分析】根据轴对称图形的性质分别写出各图形的对称轴的条数，然后选择即可．
【解答】解：A、线段有两条对称轴：线段的垂直平分线和线段本身所在的直线；
B、角有一条对称轴：角平分线所在的直线；
C、等腰直角三角形一条对称轴：斜边的垂直平分线；
D、等边三角形有三条对称轴：三边的垂直平分线．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握各种常见图形的对称轴的条数是解题的关键，要注意对称轴是直线．
3．（3分）（2015•唐山二模）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4B．2.1×10﹣6C．2.1×10﹣5D．2.1×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将数据0.000021用科学记数法表示为2.1×10﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）（2014•山西）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和“对顶角相等”来求∠2的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1=110°，
∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，
∴∠3=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质．
总结：平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
6．（3分）（2016春•太原期末）用尺规作∠AOB平分线的方法如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA，OB于点C，点D；②分别以点C，点D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP，则OP平分∠AOB，由作法得△OCP≌△ODP，其判定的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
【分析】利用基本作图和三角形全等的判定方法可得到正确选项．
【解答】解：根据作法得到OC=OD，CP=DP，
而OP=OP，
所以利用“SSS”可判断△OCP≌△ODP．
故选D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定方法．
7．（3分）（2016春•太原期末）如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC=∠B′AC′；③直线l垂直平分线段BB′，其中正确的结论共有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】利用轴对称的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△AB′C′，∠BAC=∠B′AC′，直线l垂直平分线段BB′，
即正确的结论有3个．
故选：A．
【点评】本题考查了对称轴的性质：如果两个图形关于某直线对称，这两个图形全等，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
8．（3分）（2016春•太原期末）一个不透明的袋子里装有4个黑球和2个白球，它们除颜色外完全相同，随机从袋中一次性摸出三个球，其中的必然事件是下列的（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中有两个球是黑球
D．摸出的三个球中有两个球是白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：摸出的三个球中至少有一个球是黑球是必然事件；
摸出的三个球中至少有一个球是白球是随机事件；
摸出的三个球中有两个球是黑球是随机事件；
摸出的三个球中有两个球是白球是随机事件，
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（3分）（2016春•太原期末）小亮从家到达A地后立即返回家中，下列图象，能描述小亮与家之间的距离s与时间t的关系的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题目中的描述可以得到s与t的关系，从而可以解答本题．
【解答】解：小亮从家到A地，s随着时间的增加而增大，
小亮从A地返回家中，s随着时间的增加而减小，
故选C．
【点评】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）（2016春•太原期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
A．25°B．45°C．50°D．70°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=25°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣25°×2=70°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=25°，
∴∠ACF=70°﹣25°=45°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题（本大题含6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2016春•太原期末）计算（）﹣1结果等于 2 ．
【分析】根据负整数指数幂的概念解答即可．
【解答】解：（）﹣1
=（2﹣1）﹣1
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了负整数指数幂的知识，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
12．（3分）（2016春•太原期末）如图，AD是△ABC的高，AE是中线，若AD=5，CE=4，则△AEB的面积为 10 ．
【分析】由三角形的中线的定义可得BE=CE=4，再根据三角形的面积公式即可求得△AEB的面积．
【解答】解：∵AE是△ABC的中线，CE=4，
∴BE=CE=4，
又∵高AD=5，
∴S△AEB=•BE•AD=×4×5=10．
故答案为：10．
【点评】此题考查三角形的面积公式，三角形的中线的定义，关键是掌握三角形的面积等于底与高乘积的一半．
13．（3分）（2016春•太原期末）如图的正方形地板，是由9块除颜色外完全相同的正方形地砖拼接而成的，其中黑色地砖5块，一个小球在这块地板上自由滚动，并随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率为 ．
【分析】用黑色地砖的面积除以正方形地板的面积即可．
【解答】解：随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率=．
故答案为．
【点评】本题考查了几何概率：概率=相应的面积与总面积之比．
14．（3分）（2016春•太原期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，若∠BAD=20°，则∠C的度数为 70 °．
【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD=20°，∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是中线，
∴∠CAD=∠BAD=20°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°﹣∠ADC﹣∠CAD=180°﹣90°﹣20°=70°．
故答案为70．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了三角形的内角和定理．
15．（3分）（2016春•太原期末）某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关系式为 y=50x+3600 ．
【分析】当8≤x≤23时，每平方米的售价应为4000+（x﹣8）×50元；
【解答】解：当8≤x≤23时，每平方米的售价应为：
y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．
故答案为：y=50x+3600；
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，读懂题目信息，找出数量关系表示出各楼层的单价以及是交房款的关系式是解题的关键．
16．（3分）（2011•台州）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE= 80° ．
【分析】由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB1，由两角对应相等可得△ADF∽△B1GF，那么所求角等于∠ADF的度数．
【解答】解：由翻折可得∠B1=∠B=60°，
∴∠A=∠B1=60°，
∵∠AFD=∠GFB1，
∴△ADF∽△B1GF，
∴∠ADF=∠B1GF，
∵∠CGE=∠FGB1，
∴∠CGE=∠ADF=80°．
故答案为：80°
【点评】本题考查了翻折变换问题；得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共含8小题，共52分）
17．（9分）（2016春•太原期末）计算：
（1）（2xy2）2•（3x2y）；
（2）（x+1）（x﹣3）；
（3）（x+2y+1）（x+2y﹣1）
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法即可；
（2）根据多项式乘多项式法则计算即可；
（3）先根据平方差公式计算，再计算完全平方式．
【解答】解：（1）原式=4x2y4•（3x2y）=12x4y5；
（2）原式=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3；
（3）原式=[（x+2y）+1][（x+2y）﹣1]
=（x+2y）2﹣1
=x2+4xy+4y2﹣1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算顺序与运算法则是解题的关键．
18．（5分）（2016春•太原期末）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab），其中a=2，b=1．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab）
=4a2﹣b2+b2﹣2b
=4a2﹣2b，
当a=2，b=1时，原式=14．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．（4分）（2016春•太原期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
已知：（如图）线段a和∠α，
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
【分析】可做∠A=∠α，然后在∠A的两边上分别截取AC=AB=a，连接BC即可．
【解答】解：
【点评】本题考查作图﹣基本作图，用到的知识点为：边角边可判定两三角形全等；注意先画一个角等于已知角．
20．（5分）（2016春•太原期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格：
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 旋转时间x ，因变量是 高度y ；
（3）根据图象，摩天轮的直径为 65 m，它旋转一周需要的时间为 6 min．
【分析】（1）根据图象得到x=3和x=8时，y的值；
（2）根据常量和变量的概念解答即可；
（3）结合图象计算即可．
【解答】解：（1）由图象可知，当x=3时，y=70，
当x=8时，y=54，
故答案为：70；54；
（2）表反映的两个变量中，自变量是旋转时间x，因变量是高度y；
故答案为：旋转时间x；高度y；
（3）由图象可知，摩天轮的直径为：70﹣5=65m，旋转一周需要的时间为6min．
故答案为：65；6．
【点评】本题考查的是函数的概念与图象，正确理解常量和变量的概念、读懂函数图象是解题的关键．
21．（6分）（2016春•太原期末）桌子上倒扣着背面图案相同的6张扑克牌，其中4张黑桃，2张红桃，将这些牌洗匀后，从中随机抽取1张．
（1）抽到黑桃、红桃的概率分别是多少？
（2）如何改变两种花色扑克牌的张数，使抽到两种花色扑克牌的概率相等？请写出一种改变的方法，并且使桌面上扑克牌的总数不超过8张．
【分析】（1）从6张扑克牌中随机抽取一张，有6种等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有4种，抽到红桃的结果有2种，据此计算即可；
（2）使两种牌的数量相等，即可使抽到两种花色扑克牌的概率相等．
【解答】解：∵从6张扑克牌中随机抽取一张，有6种等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有4种，抽到红桃的结果有2种，
∴抽到黑桃的概率为：=，
抽到红桃的概率为：=；
（2）将一张黑桃牌换成红桃牌，使红桃牌与黑桃牌均为3张即可．
【点评】本题主要考查了概率的计算，随机事件A的概率P（A）=．
22．（5分）（2016春•太原期末）阅读下列材料，解答相应问题：
数学知识伴随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始资料，和古巴比伦楔形文字泥板书，古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式：
ab=[（a+b）2﹣（a﹣b）2]…①
ab=[（a+b）2﹣a2 ﹣b2 ]…②
（1）补全材料中公式②中的空缺部分；
（2）验证材料中的公式①；
（3）当a+b=5，a﹣b=7时，利用公式①计算ab的值．
【分析】（1）利用完全平方公式将（a+b）2展开，留下含ab的项，即可得出结论；
（2）利用完全平方公式将（a+b）2和（a﹣b）2展开，合并同类项后即可得出公式右边=ab=公式左边，由此即可证出公式成立；
（3）将a+b=5，a﹣b=7代入公式①中，即可求出ab的值．
【解答】解：（1）∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴ab=[（a+b）2﹣a2﹣b2]．
故答案为：﹣b2．
（2）公式①的右边=[a2+b2+2ab﹣（a2+b2﹣2ab）]，
=[a2+b2+2ab﹣a2﹣b2+2ab]，
=×4ab，
=ab．
因为公式①的左边=ab，
所以公式①左边=右边，公式成立．
（3）把a+b=5，a﹣b=7代入公式①，
得：ab=×（52﹣72），
=×（﹣24），
=﹣6．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是：（1）根据完全平方公式的展开式将公式②补充完整；（2）利用完全平方公式的展开式将公式①的右边进行变形，从而得出结论成立；（3）套用公式①代入数据求值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握完全平方公式的应用是关键．
23．（8分）（2016春•太原期末）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：CE与BF相等吗？为什么？
B：若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
我选择： A ．
【分析】（1）由平行线的性质可求得∠B=∠C，再结合所给条件可证明△ABE≌△DCF；
（2）若选择A，由（1）可得到BE=CF，利用线段的和差可证明；若选择B，由（1）可得到AB=BE，可证得∠A=∠AEB，在△ABE中由三角形内角和可求得∠A，则可求得∠D．
【解答】解：
（1）△ABE≌△DCF．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF（AAS）；
（2）A：相等，理由如下：
由（1）得△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴BE﹣EF=CF﹣EF，
即CE=BF；
B：由（1）得△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∵AB=CF，
∴AB=BE，
∴∠A=∠AEB，
在△ABE中，∠A+∠AEB+∠B=180°，且∠B=30°，
∴∠A=75°，
∵∠A=∠D，
∴∠D=75°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
24．（10分）（2016春•太原期末）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
我选择： A ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，根据平行线的性质得到∠DAE=∠B=45°，根据等腰三角形的性质、等量代换证明即可；
（2）A、根据同角的余角相等得到∠BDE=∠ADP，证明△DEB≌△DAP，根据全等三角形的性质定理证明结论；
B、与A的证明方法类似，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，证明△DFB≌△DAP即可．
【解答】解：（1）DE⊥DA．
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵MN∥BC，
∴∠DAE=∠B=45°，
∵DA=DE，
∴∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠ADE=90°，即DE⊥DA；
（2）A、DB=DP．
证明：∵DP⊥DB，
∴∠BDE+∠EDP=90°，
∵DE⊥DA，
∴∠ADP+∠EDP=90°，
∴∠BDE=∠ADP，
∵∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠BED=135°，∠ADP=135°，
∴∠BED=∠ADP，
在△DEB和△DAP中，
，
∴△DEB≌△DAP，
∴DB=DP．
B、DB=DP．
证明：如图3，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，
由（1）得，∴∠DFA=∠DAF=45°，
∴∠ADF=90°，又DP⊥DB，
∴∠FDB=∠AMP，
∵∠BAC=90°，∠DAF=45°，
∴∠PAM=45°，
∴∠BFD=∠PAM，
在△DFB和△DAP中，
，
∴△DFB≌△DAP，
∴DB=DP．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等腰直角三角形的两锐角都是45°、两直角边相等、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
旋转时间x/min
0
3
6
8
12
…
高度y/m
5
5
5
…
旋转时间x/min
0
3
6
8
12
…
高度y/m
5
70
5
54
5
…
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
【期末模拟】北师大版七年级数学下册期末模拟试卷08
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算a6÷a3结果正确的是（ ）
A．a2B．a3C．a﹣3D．a8
2．（3分）下列轴对称图形中，有三条对称轴的是（ ）
A．
线段 B．
角
C．
等腰直角三角形D．
等边三角形
3．（3分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4B．2.1×10﹣6C．2.1×10﹣5D．2.1×10﹣4
4．（3分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
6．（3分）用尺规作∠AOB平分线的方法如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA，OB于点C，点D；②分别以点C，点D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP，则OP平分∠AOB，由作法得△OCP≌△ODP，其判定的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
7．（3分）如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC=∠B′AC′；③直线l垂直平分线段BB′，其中正确的结论共有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
8．（3分）一个不透明的袋子里装有4个黑球和2个白球，它们除颜色外完全相同，随机从袋中一次性摸出三个球，其中的必然事件是下列的（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中有两个球是黑球
D．摸出的三个球中有两个球是白球
9．（3分）小亮从家到达A地后立即返回家中，下列图象，能描述小亮与家之间的距离s与时间t的关系的是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
A．25°B．45°C．50°D．70°
二、填空题（本大题含6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算（）﹣1结果等于 ．
12．（3分）如图，AD是△ABC的高，AE是中线，若AD=5，CE=4，则△AEB的面积为 ．
13．（3分）如图的正方形地板，是由9块除颜色外完全相同的正方形地砖拼接而成的，其中黑色地砖5块，一个小球在这块地板上自由滚动，并随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，若∠BAD=20°，则∠C的度数为 °．
15．（3分）某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关系式为 ．
16．（3分）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE= ．
三、解答题（本大题共含8小题，共52分）
17．（9分）计算：
（1）（2xy2）2•（3x2y）；
（2）（x+1）（x﹣3）；
（3）（x+2y+1）（x+2y﹣1）
18．（5分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab），其中a=2，b=1．
19．（4分）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
已知：（如图）线段a和∠α，
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
20．（5分）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格：
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；
（3）根据图象，摩天轮的直径为 m，它旋转一周需要的时间为 min．
21．（6分）桌子上倒扣着背面图案相同的6张扑克牌，其中4张黑桃，2张红桃，将这些牌洗匀后，从中随机抽取1张．
（1）抽到黑桃、红桃的概率分别是多少？
（2）如何改变两种花色扑克牌的张数，使抽到两种花色扑克牌的概率相等？请写出一种改变的方法，并且使桌面上扑克牌的总数不超过8张．
22．（5分）阅读下列材料，解答相应问题：
数学知识伴随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始资料，和古巴比伦楔形文字泥板书，古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式：
ab=[（a+b）2﹣（a﹣b）2]…①
ab=[（a+b）2﹣a2 ]…②
（1）补全材料中公式②中的空缺部分；
（2）验证材料中的公式①；
（3）当a+b=5，a﹣b=7时，利用公式①计算ab的值．
23．（8分）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：CE与BF相等吗？为什么？
B：若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
我选择： ．
24．（10分）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
我选择： ．
七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2016春•太原期末）计算a6÷a3结果正确的是（ ）
A．a2B．a3C．a﹣3D．a8
【分析】原式利用同底数幂的除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：a6÷a3=a3，
故选B．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）（2016春•太原期末）下列轴对称图形中，有三条对称轴的是（ ）
A．
线段B．
角
C．
等腰直角三角形D．
等边三角形
【分析】根据轴对称图形的性质分别写出各图形的对称轴的条数，然后选择即可．
【解答】解：A、线段有两条对称轴：线段的垂直平分线和线段本身所在的直线；
B、角有一条对称轴：角平分线所在的直线；
C、等腰直角三角形一条对称轴：斜边的垂直平分线；
D、等边三角形有三条对称轴：三边的垂直平分线．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握各种常见图形的对称轴的条数是解题的关键，要注意对称轴是直线．
3．（3分）（2015•唐山二模）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4B．2.1×10﹣6C．2.1×10﹣5D．2.1×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将数据0.000021用科学记数法表示为2.1×10﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）（2014•山西）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和“对顶角相等”来求∠2的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1=110°，
∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，
∴∠3=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质．
总结：平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
6．（3分）（2016春•太原期末）用尺规作∠AOB平分线的方法如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA，OB于点C，点D；②分别以点C，点D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP，则OP平分∠AOB，由作法得△OCP≌△ODP，其判定的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
【分析】利用基本作图和三角形全等的判定方法可得到正确选项．
【解答】解：根据作法得到OC=OD，CP=DP，
而OP=OP，
所以利用“SSS”可判断△OCP≌△ODP．
故选D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定方法．
7．（3分）（2016春•太原期末）如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC=∠B′AC′；③直线l垂直平分线段BB′，其中正确的结论共有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】利用轴对称的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△AB′C′，∠BAC=∠B′AC′，直线l垂直平分线段BB′，
即正确的结论有3个．
故选：A．
【点评】本题考查了对称轴的性质：如果两个图形关于某直线对称，这两个图形全等，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
8．（3分）（2016春•太原期末）一个不透明的袋子里装有4个黑球和2个白球，它们除颜色外完全相同，随机从袋中一次性摸出三个球，其中的必然事件是下列的（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中有两个球是黑球
D．摸出的三个球中有两个球是白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：摸出的三个球中至少有一个球是黑球是必然事件；
摸出的三个球中至少有一个球是白球是随机事件；
摸出的三个球中有两个球是黑球是随机事件；
摸出的三个球中有两个球是白球是随机事件，
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（3分）（2016春•太原期末）小亮从家到达A地后立即返回家中，下列图象，能描述小亮与家之间的距离s与时间t的关系的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题目中的描述可以得到s与t的关系，从而可以解答本题．
【解答】解：小亮从家到A地，s随着时间的增加而增大，
小亮从A地返回家中，s随着时间的增加而减小，
故选C．
【点评】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）（2016春•太原期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
A．25°B．45°C．50°D．70°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=25°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣25°×2=70°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=25°，
∴∠ACF=70°﹣25°=45°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题（本大题含6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2016春•太原期末）计算（）﹣1结果等于 2 ．
【分析】根据负整数指数幂的概念解答即可．
【解答】解：（）﹣1
=（2﹣1）﹣1
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了负整数指数幂的知识，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
12．（3分）（2016春•太原期末）如图，AD是△ABC的高，AE是中线，若AD=5，CE=4，则△AEB的面积为 10 ．
【分析】由三角形的中线的定义可得BE=CE=4，再根据三角形的面积公式即可求得△AEB的面积．
【解答】解：∵AE是△ABC的中线，CE=4，
∴BE=CE=4，
又∵高AD=5，
∴S△AEB=•BE•AD=×4×5=10．
故答案为：10．
【点评】此题考查三角形的面积公式，三角形的中线的定义，关键是掌握三角形的面积等于底与高乘积的一半．
13．（3分）（2016春•太原期末）如图的正方形地板，是由9块除颜色外完全相同的正方形地砖拼接而成的，其中黑色地砖5块，一个小球在这块地板上自由滚动，并随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率为 ．
【分析】用黑色地砖的面积除以正方形地板的面积即可．
【解答】解：随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率=．
故答案为．
【点评】本题考查了几何概率：概率=相应的面积与总面积之比．
14．（3分）（2016春•太原期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，若∠BAD=20°，则∠C的度数为 70 °．
【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD=20°，∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是中线，
∴∠CAD=∠BAD=20°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°﹣∠ADC﹣∠CAD=180°﹣90°﹣20°=70°．
故答案为70．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了三角形的内角和定理．
15．（3分）（2016春•太原期末）某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关系式为 y=50x+3600 ．
【分析】当8≤x≤23时，每平方米的售价应为4000+（x﹣8）×50元；
【解答】解：当8≤x≤23时，每平方米的售价应为：
y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．
故答案为：y=50x+3600；
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，读懂题目信息，找出数量关系表示出各楼层的单价以及是交房款的关系式是解题的关键．
16．（3分）（2011•台州）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE= 80° ．
【分析】由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB1，由两角对应相等可得△ADF∽△B1GF，那么所求角等于∠ADF的度数．
【解答】解：由翻折可得∠B1=∠B=60°，
∴∠A=∠B1=60°，
∵∠AFD=∠GFB1，
∴△ADF∽△B1GF，
∴∠ADF=∠B1GF，
∵∠CGE=∠FGB1，
∴∠CGE=∠ADF=80°．
故答案为：80°
【点评】本题考查了翻折变换问题；得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共含8小题，共52分）
17．（9分）（2016春•太原期末）计算：
（1）（2xy2）2•（3x2y）；
（2）（x+1）（x﹣3）；
（3）（x+2y+1）（x+2y﹣1）
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法即可；
（2）根据多项式乘多项式法则计算即可；
（3）先根据平方差公式计算，再计算完全平方式．
【解答】解：（1）原式=4x2y4•（3x2y）=12x4y5；
（2）原式=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3；
（3）原式=[（x+2y）+1][（x+2y）﹣1]
=（x+2y）2﹣1
=x2+4xy+4y2﹣1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算顺序与运算法则是解题的关键．
18．（5分）（2016春•太原期末）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab），其中a=2，b=1．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab）
=4a2﹣b2+b2﹣2b
=4a2﹣2b，
当a=2，b=1时，原式=14．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．（4分）（2016春•太原期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
已知：（如图）线段a和∠α，
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
【分析】可做∠A=∠α，然后在∠A的两边上分别截取AC=AB=a，连接BC即可．
【解答】解：
【点评】本题考查作图﹣基本作图，用到的知识点为：边角边可判定两三角形全等；注意先画一个角等于已知角．
20．（5分）（2016春•太原期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格：
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 旋转时间x ，因变量是 高度y ；
（3）根据图象，摩天轮的直径为 65 m，它旋转一周需要的时间为 6 min．
【分析】（1）根据图象得到x=3和x=8时，y的值；
（2）根据常量和变量的概念解答即可；
（3）结合图象计算即可．
【解答】解：（1）由图象可知，当x=3时，y=70，
当x=8时，y=54，
故答案为：70；54；
（2）表反映的两个变量中，自变量是旋转时间x，因变量是高度y；
故答案为：旋转时间x；高度y；
（3）由图象可知，摩天轮的直径为：70﹣5=65m，旋转一周需要的时间为6min．
故答案为：65；6．
【点评】本题考查的是函数的概念与图象，正确理解常量和变量的概念、读懂函数图象是解题的关键．
21．（6分）（2016春•太原期末）桌子上倒扣着背面图案相同的6张扑克牌，其中4张黑桃，2张红桃，将这些牌洗匀后，从中随机抽取1张．
（1）抽到黑桃、红桃的概率分别是多少？
（2）如何改变两种花色扑克牌的张数，使抽到两种花色扑克牌的概率相等？请写出一种改变的方法，并且使桌面上扑克牌的总数不超过8张．
【分析】（1）从6张扑克牌中随机抽取一张，有6种等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有4种，抽到红桃的结果有2种，据此计算即可；
（2）使两种牌的数量相等，即可使抽到两种花色扑克牌的概率相等．
【解答】解：∵从6张扑克牌中随机抽取一张，有6种等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有4种，抽到红桃的结果有2种，
∴抽到黑桃的概率为：=，
抽到红桃的概率为：=；
（2）将一张黑桃牌换成红桃牌，使红桃牌与黑桃牌均为3张即可．
【点评】本题主要考查了概率的计算，随机事件A的概率P（A）=．
22．（5分）（2016春•太原期末）阅读下列材料，解答相应问题：
数学知识伴随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始资料，和古巴比伦楔形文字泥板书，古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式：
ab=[（a+b）2﹣（a﹣b）2]…①
ab=[（a+b）2﹣a2 ﹣b2 ]…②
（1）补全材料中公式②中的空缺部分；
（2）验证材料中的公式①；
（3）当a+b=5，a﹣b=7时，利用公式①计算ab的值．
【分析】（1）利用完全平方公式将（a+b）2展开，留下含ab的项，即可得出结论；
（2）利用完全平方公式将（a+b）2和（a﹣b）2展开，合并同类项后即可得出公式右边=ab=公式左边，由此即可证出公式成立；
（3）将a+b=5，a﹣b=7代入公式①中，即可求出ab的值．
【解答】解：（1）∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴ab=[（a+b）2﹣a2﹣b2]．
故答案为：﹣b2．
（2）公式①的右边=[a2+b2+2ab﹣（a2+b2﹣2ab）]，
=[a2+b2+2ab﹣a2﹣b2+2ab]，
=×4ab，
=ab．
因为公式①的左边=ab，
所以公式①左边=右边，公式成立．
（3）把a+b=5，a﹣b=7代入公式①，
得：ab=×（52﹣72），
=×（﹣24），
=﹣6．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是：（1）根据完全平方公式的展开式将公式②补充完整；（2）利用完全平方公式的展开式将公式①的右边进行变形，从而得出结论成立；（3）套用公式①代入数据求值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握完全平方公式的应用是关键．
23．（8分）（2016春•太原期末）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：CE与BF相等吗？为什么？
B：若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
我选择： A ．
【分析】（1）由平行线的性质可求得∠B=∠C，再结合所给条件可证明△ABE≌△DCF；
（2）若选择A，由（1）可得到BE=CF，利用线段的和差可证明；若选择B，由（1）可得到AB=BE，可证得∠A=∠AEB，在△ABE中由三角形内角和可求得∠A，则可求得∠D．
【解答】解：
（1）△ABE≌△DCF．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF（AAS）；
（2）A：相等，理由如下：
由（1）得△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴BE﹣EF=CF﹣EF，
即CE=BF；
B：由（1）得△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∵AB=CF，
∴AB=BE，
∴∠A=∠AEB，
在△ABE中，∠A+∠AEB+∠B=180°，且∠B=30°，
∴∠A=75°，
∵∠A=∠D，
∴∠D=75°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
24．（10分）（2016春•太原期末）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
我选择： A ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，根据平行线的性质得到∠DAE=∠B=45°，根据等腰三角形的性质、等量代换证明即可；
（2）A、根据同角的余角相等得到∠BDE=∠ADP，证明△DEB≌△DAP，根据全等三角形的性质定理证明结论；
B、与A的证明方法类似，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，证明△DFB≌△DAP即可．
【解答】解：（1）DE⊥DA．
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵MN∥BC，
∴∠DAE=∠B=45°，
∵DA=DE，
∴∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠ADE=90°，即DE⊥DA；
（2）A、DB=DP．
证明：∵DP⊥DB，
∴∠BDE+∠EDP=90°，
∵DE⊥DA，
∴∠ADP+∠EDP=90°，
∴∠BDE=∠ADP，
∵∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠BED=135°，∠ADP=135°，
∴∠BED=∠ADP，
在△DEB和△DAP中，
，
∴△DEB≌△DAP，
∴DB=DP．
B、DB=DP．
证明：如图3，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，
由（1）得，∴∠DFA=∠DAF=45°，
∴∠ADF=90°，又DP⊥DB，
∴∠FDB=∠AMP，
∵∠BAC=90°，∠DAF=45°，
∴∠PAM=45°，
∴∠BFD=∠PAM，
在△DFB和△DAP中，
，
∴△DFB≌△DAP，
∴DB=DP．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等腰直角三角形的两锐角都是45°、两直角边相等、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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