云南省保山市部分学校2023-2024学年高一下学期6月质量检测卷数学试题

这是一份云南省保山市部分学校2023-2024学年高一下学期6月质量检测卷数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 若复数z满足，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2． 已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A．B．
C．D．或
3．已知向量满足，且，则( )
A．B．C．D．
4．一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为( )
A．B．C．D．
5． 在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6． 在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7． 若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．如图，一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏西的方向，随后该船以海里小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点，测得灯塔在其南偏西的方向，此时船与灯塔间的距离为( )
A．海里B．海里C．海里D．海里
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若复数，则
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则或
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10． 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．这10年粮食年产量的极差为15
B．这10年粮食年产量的平均数为33
C．这10年粮食年产量的中位数为29
D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
11．如图，该多面体的表面由个全等的正方形和个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上若，则( )
A．
B．该多面体外接球的表面积为
C．直线与直线的夹角为
D．二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，，则最小角的余弦值＝ .
13．如图，在中，分别是边AB，AC上的点，，且，点是线段DE的中点，且，则 .
14． 我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． 已知向量，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
16．在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A；
（2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.
17．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.
（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.
18．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，M，N分别为，AC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线MN与平面所成角的正弦值.
19．“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分， 距今已有 2000 多年的历史。相传在东周春秋时期， 墨翟以木头制成木鸟， 是人类最早的风筝起源。后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”。到南北朝时， 风筝开始成为传递信息的工具； 从隋唐开始， 由于造纸业的发达， 民间开始用纸来䄇糊风筝； 到了宋代的时候， 放风筝成为人们喜爱的户外活动。风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成。如图(1)就是一个由菱形的风筝面和两个直角三角形尾翼 和所组成的风筝。其中，，，，.现将此风筝的两个尾翼分别沿、折起， 使得P与点Q重合于点S，并连结， 得到如图(2)所示的四棱锥.
（1）求证：平面.
（2）若E为棱上一点，记.
①若求直线与平面所成角的正切值；
②是否存在点E使得直线与直线所成角为， 若存在请求出的值， 若不存在请说明理由.
答案
1．B
2．B
3．D
4．C
5．C
6．A
7．D
8．C
9．A,D
10．A,C
11．B,C,D
12．
13．
14．
15．（1）解：方法一：由题意得，，
，
∵，∴，
解得.
方法二：由题意得，，不平行，
设，
则，∴，
解得.
（2）解：由题意得，，
∵，∴，
解得.
16．（1）【解答】：由，
由正弦定理得，
即，所以，得
（2）由M在边BC上满足，可得，
两边平方可得，
所以，所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以
17．（1）根据分层抽样知：
应抽取小吃类家，生鲜类家，
所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家
（2）（i）根据题意可得，解得，
设75百分位数为x，因为，
所以，解得，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元
（ii），
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.
18．（1）解：证明：取BC中点K，连接NK，，
∵M为的中点. ∴，且，
∵N为AC的中点. ∴，且，
∴四边形是平行四边形，故，
平面；平面，
∴平面
（2）过点M作，连接NQ，
∵是三棱柱，且平面ABC，
∴平面ABC，∴平面，平面，
∴，，
∴平面……9分
∴直线MN与平面所成角为；
∵，，
∴，∴，
过M作，
∴，
∴，∴，
∴
19．（1）连结， 交于点O，
底面为菱形，
由题可得，且于点D，
平面
于点D
平面.
（2）连结交于点G，由(1)得平面
为直线与平面所成角
，，，
，
，，，
，
直线与平面所成角的正切值为
连结
或其补角为直线与直线所成角
由题得，
，
解得
存在使得直线与直线所成角为.