2022年甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校中考数学一模试卷
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这是一份2022年甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校中考数学一模试卷,共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
A.B.
C.D.
2.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片,7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为( )
A.0.7×10﹣8B.7×10﹣7C.7×10﹣8D.7×10﹣9
3.不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( )
A.x≤3B.x≤﹣3C.x≥3D.x≥﹣3
4.如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D,若OD=2,tan∠OAB=,则AB的长是( )
A.4B.2C.8D.4
5.在一个不透明的盒子中装有12个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是,则黄球的个数为( )
A.18B.20C.24D.28
6.在△ABC中,AB=12,AC=13,cs∠B=,则BC边长为( )
A.7B.8C.8或17D.7或17
7.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,则k的取值范围是( )
A.k>B.k≥C.k>且k≠1D.k≥且k≠1
8.如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则∠ASB的度数是( )
A.22.5°B.30°C.45°D.60°
9.已知如图,一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点,不等式ax+b>的解集为( )
A.x<﹣3B.﹣3<x<0或x>1
C.x<﹣3或x>1D.﹣3<x<1
10.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,6)、B(﹣9,﹣3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(﹣1,2)B.(﹣9,18)
C.(﹣9,18)或(9,﹣18)D.(﹣1,2)或(1,﹣2)
11.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE:S△DEA=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为( )
A.B.C.D.
12.如图①,在矩形ABCD中,AB<AD,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发,沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则AD边的长为( )
A.3B.4C.5D.6
二、填空题
13.因式分解:xy2﹣4x= .
14.方程=的解为 .
15.关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根,则m的取值为 .
16.如图,AB是⊙O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠ADC= .
17.一位同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上.如图所示,他先测得留在墙上的影高为1.2m,又测得地面部分的影长为5m,请算一下这棵树的高是 m.
18.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=5,CD=2.以A为圆心.AD为半径的圆与BC边相切于点M,与AB交于点E,将扇形A﹣DME剪下围成一个圆锥,则圆锥的高为 .
19.若点A(﹣3,y1),B(﹣4,y2)在反比例函数y=的图象上,则y1 y2.(填“>”或“<”或“=”)
20.一组按规律排列的代数式:a+2b,a2﹣2b3,a3+2b5,a4﹣2b7,…,则第n个式子是 .
三、解答题:
21.计算:.
22.先化简,再求值:(a﹣)÷(),其中a满足a2﹣3a+2=0.
23.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,且BD=BA.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作∠ABC的角平分线交AD于点E;
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.
(2)连接EF,直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.
24.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动.点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么,当t为何值时,△POQ与△AOB相似?
25.如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求此反比例函数的表达式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
26.如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)
27.如图,在ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥AD,交AB于点E,AE为⊙O的直径.
(1)判断BC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若csB=,AE=4,求CD.
28.已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式;
(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题
1.如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:根据题意得:AB==,AC=2,BC==,
∴BC:AC:AB=1::,
A、三边之比为1::,图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似;
B、三边之比::3,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;
C、三边之比为1::2,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;
D、三边之比为2::,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似.
故选:A.
2.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片,7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为( )
A.0.7×10﹣8B.7×10﹣7C.7×10﹣8D.7×10﹣9
【解答】解:0.000000007=7×10﹣9;
故选:D.
3.不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( )
A.x≤3B.x≤﹣3C.x≥3D.x≥﹣3
【解答】解:去括号,得2x+9≥3x+6,
移项,合并得﹣x≥﹣3
系数化为1,得x≤3;
故选:A.
4.如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D,若OD=2,tan∠OAB=,则AB的长是( )
A.4B.2C.8D.4
【解答】解:连接OC,
∵大圆的弦AB切小圆于点C,
∴OC⊥AB,
∴AB=2AC,
∵OD=2,
∴OC=2,
∵tan∠OAB=,
∴AC=4,
∴AB=8,
故选:C.
5.在一个不透明的盒子中装有12个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是,则黄球的个数为( )
A.18B.20C.24D.28
【解答】解:设黄球的个数为x个,
根据题意得:=,
解得:x=24,
经检验:x=24是原分式方程的解;
∴黄球的个数为24.
故选:C.
6.在△ABC中,AB=12,AC=13,cs∠B=,则BC边长为( )
A.7B.8C.8或17D.7或17
【解答】解:∵cs∠B=,
∴∠B=45°,
当△ABC为钝角三角形时,如图1,
∵AB=12,∠B=45°,
∴AD=BD=12,
∵AC=13,
∴由勾股定理得CD=5,
∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7;
当△ABC为锐角三角形时,如图2,
BC=BD+CD=12+5=17,
故选:D.
7.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,则k的取值范围是( )
A.k>B.k≥C.k>且k≠1D.k≥且k≠1
【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,
∴Δ=22﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,
解得k>;且k﹣1≠0,即k≠1.
故选:C.
8.如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则∠ASB的度数是( )
A.22.5°B.30°C.45°D.60°
【解答】解:设圆心为O,连接OA、OB,如图,
∵弦AB的长度等于圆半径的倍,
即AB=OA,
∴OA2+OB2=AB2,
∴∠AOB=90°,
∴∠ASB=∠AOB=45°.
故选:C.
9.已知如图,一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点,不等式ax+b>的解集为( )
A.x<﹣3B.﹣3<x<0或x>1
C.x<﹣3或x>1D.﹣3<x<1
【解答】解:不等式ax+b>的解集为﹣3<x<0或x>1.
故选:B.
10.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,6)、B(﹣9,﹣3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(﹣1,2)B.(﹣9,18)
C.(﹣9,18)或(9,﹣18)D.(﹣1,2)或(1,﹣2)
【解答】解:∵点A(﹣3,6),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,
∴点A的对应点A′的坐标是(﹣1,2)或(1,﹣2),
故选:D.
11.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE:S△DEA=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为( )
A.B.C.D.
【解答】解:∵S△BDE:S△DEA=1:3,
∴BD:AD=1:3;
∴BD:BA=1:4;
∵DE∥AC,
∴△DOE∽△AOC,
∴==,
∴S△DOE:S△AOC==,
故选:D.
12.如图①,在矩形ABCD中,AB<AD,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发,沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则AD边的长为( )
A.3B.4C.5D.6
【解答】解:当P点在AB上运动时,△AOP面积逐渐增大,当P点到达B点时,△AOP面积最大为3.
∴AB•BC=3,即AB•BC=12.
当P点在BC上运动时,△AOP面积逐渐减小,当P点到达C点时,△AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,
∴AB+BC=7.
则BC=7﹣AB,代入AB•BC=12,得AB2﹣7AB+12=0,解得AB=4或3,
因为AB<AD,即AB<BC,
所以AB=3,BC=4.
故选:B.
二、填空题
13.因式分解:xy2﹣4x= x(y+2)(y﹣2) .
【解答】解:xy2﹣4x,
=x(y2﹣4),
=x(y+2)(y﹣2).
14.方程=的解为 x=6 .
【解答】解:去分母得:3x﹣6=2x,
解得:x=6,
经检验x=6是分式方程的解.
故答案为:x=6
15.关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根,则m的取值为 4 .
【解答】解:
由题意,Δ=b2﹣4ac=()2﹣4=0
得m=4
故答案为4
16.如图,AB是⊙O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠ADC= .
【解答】解:∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC==12,
∴tan∠ADC=tanB===,
故答案为.
17.一位同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上.如图所示,他先测得留在墙上的影高为1.2m,又测得地面部分的影长为5m,请算一下这棵树的高是 7.45 m.
【解答】解:设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m,树高为h m,
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.8m,墙上的影高CD为1.2m,
∴=,解得x=0.96(m),
∴树的影长为:0.96+5=5.96(m),
∴=,解得h=7.45(m).
故答案为:7.45m.
18.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=5,CD=2.以A为圆心.AD为半径的圆与BC边相切于点M,与AB交于点E,将扇形A﹣DME剪下围成一个圆锥,则圆锥的高为 .
【解答】解:如图,作CF⊥AB于F,连接AM.
∵AD∥CF,CD∥AF,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∴∠A=90°,
∴四边形ADCF是矩形,
∴AD=CF=AM,CD=AF=2,
∵AB=5,
∴BF=3,
在△AMB和△CFB中,
,
∴△AMB≌△CFB(AAS),
∴BM=BF=3,
在Rt△AMB中,AM===4,
设圆锥的高为h,底面半径为r,
由题意2π•r=•2π•4,
∴r=1,
∴h==,
故答案为:.
19.若点A(﹣3,y1),B(﹣4,y2)在反比例函数y=的图象上,则y1 < y2.(填“>”或“<”或“=”)
【解答】解:∵k=a2+1>0,
∴反比例函数y=的图象在一、三象限,且在每个象限内y随x的增大而减小,
∵点A(﹣3,y1),B(﹣4,y2)同在第三象限,且﹣3>﹣4,
∴y1<y2,
故答案为:<.
20.一组按规律排列的代数式:a+2b,a2﹣2b3,a3+2b5,a4﹣2b7,…,则第n个式子是 an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1 .
【解答】解:观察代数式,得到第n个式子是:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1.
故答案为:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1.
三、解答题:
21.计算:.
【解答】解:
=2﹣+2×﹣1+
=2﹣+﹣
=2﹣
=.
22.先化简,再求值:(a﹣)÷(),其中a满足a2﹣3a+2=0.
【解答】解:(a﹣)÷()
=
=
=
=a,
由a2﹣3a+2=0,得a=1或a=2,
∵当a=1时,a﹣1=0,使得原分式无意义,
∴a=2,原式=2.
23.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,且BD=BA.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作∠ABC的角平分线交AD于点E;
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.
(2)连接EF,直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.
【解答】解:(1)如图,①BE即为所求;
②如图,线段DC的垂直平分线交DC于点F.
(2)∵BD=BA,BE平分∠ABD,
∴点E是AD的中点,
∵点F是CD的中点,
∴EF是△ADC的中位线,
∴线段EF和AC的数量关系为:EF=AC,
位置关系为:EF∥AC.
24.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动.点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么,当t为何值时,△POQ与△AOB相似?
【解答】解:①若△POQ∽△AOB时,=,即=,
整理得:12﹣2t=t,
解得:t=4.
②若△POQ∽△BOA时,=,即=,
整理得:6﹣t=2t,
解得:t=2.
∵0≤t≤6,
∴t=4和t=2均符合题意,
∴当t=4或t=2时,△POQ与△AOB相似.
25.如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求此反比例函数的表达式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
【解答】解:(1)把点A(﹣1,a)代入y=x+4,得a=3,
∴A(﹣1,3)
把A(﹣1,3)代入反比例函数y=
∴k=﹣3,
∴反比例函数的表达式为y=﹣
(2)联立两个函数的表达式得
解得
或
∴点B的坐标为B(﹣3,1)
当y=x+4=0时,得x=﹣4
∴点C(﹣4,0)
设点P的坐标为(x,0)
∵S△ACP=S△BOC
∴
解得x1=﹣6,x2=﹣2
∴点P(﹣6,0)或(﹣2,0)
26.如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)
【解答】解:如图,过点C作CF⊥AB于点F.
设塔高AE=x m,
由题意得,EF=BE﹣CD=56﹣27=29m,AF=AE+EF=(x+29)m,
在Rt△AFC中,∠ACF=36°52′,AF=(x+29)m,
则CF=≈=x+,
在Rt△ABD中,∠ADB=45°,AB=x+56,
则BD=AB=x+56,
∵CF=BD,
∴x+56=x+,
解得:x=52,
答:该铁塔的高AE为52米.
27.如图,在ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥AD,交AB于点E,AE为⊙O的直径.
(1)判断BC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若csB=,AE=4,求CD.
【解答】解:(1)结论:BC与⊙O相切,证明如下:
如图连接OD.
∵DE⊥AD,
∴∠ADE=90°,
∴点D在⊙O上,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD,
∵AC⊥BC,
∴OD⊥BC.
∴BC是⊙O的切线.
(2)在Rt△ODB中,
∵csB==,设BD=2k,OB=3k,
∵OD2+BD2=OB2,
∴4+8k2=9k2,
∴k=2,
∴BO=6,BD=4,
∵DO∥AC,
∴=,
∴=,
∴CD=.
28.已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式;
(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),
∴根据题意,得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4得,D点坐标为(1,4),
定义抛物线y=﹣x2+2x+3.令y=0,﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∴CD==,
BC==3,
BD==2,
∵CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=20,
∴CD2+BC2=BD2,
∴△BCD是直角三角形;
(3)存在.
y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1.
①若以CD为底边,则P1D=P1C,
设P1点坐标为(x,y),根据勾股定理可得P1C2=x2+(3﹣y)2,P1D2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,
因此x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,
即y=4﹣x.
又P1点(x,y)在抛物线上,
∴4﹣x=﹣x2+2x+3,
即x2﹣3x+1=0,
解得x1=,x2=<1,应舍去,
∴x=,
∴y=4﹣x=,
即点P1坐标为(,).
②若以CD为一腰,
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P2与点C关于直线x=1对称,
此时点P2坐标为(2,3).
∴符合条件的点P坐标为(,)或(2,3).
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