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浙教版九年级上册4.7 图形的位似精品课后作业题
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这是一份浙教版九年级上册4.7 图形的位似精品课后作业题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A. 2：1B. 3：1C. 4：1D. 5：1
2.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA=2，AD=3，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为( )
A. 6B. 9C. 10D. 25
3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，OB=2OE，若△COB的面积为4，则△FOE的面积为( )
A. 2B. 32C. 1D. 12
4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形.若OB=2OD，△OCD的周长为3，则△OAB的周长为( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 30
5.如图，在ΔABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，顺次连接DE、EF、DF得到ΔDEF，则下列说法错误的是( )
A. ΔDEF与ΔABC是位似图形B. ΔDEF与ΔABC是相似图形
C. ΔDEF与ΔABC的周长比是1：2D. ΔDEF与ΔABC的面积比是1：2
6.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AC：DF的值为( )
A. 2：3
B. 2：5
C. 4：9
D. 4：13
7.如图，ΔABC与ΔDEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1:2，下列结论不正确的是( )
A. AC//DFB. ABDE=OAOD=12
C. BC是ΔOEF的中位线D. SΔABC:SΔDEF=1:2
8.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 ( )
A. (−8,4)B. (8,−4)C. (−8,4)或(8,−4)D. (−2,1)或(2,−1)
9.如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=3：1，△A′B′C′的面积为27，则△ABC的面积为( )
A. 48
B. 24
C. 32
D. 916
10.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中相似比为1:2，则△ABC与△DEF的面积之比是( )
A. 1:2B. 1:4C. 1:3D. 1:9
11.如图，△ABC的两个顶点B、C均在第一象限内，以点A(0,1)为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形△ADE，△ABC与△ADE的相似比为1:2.若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是( )
A. −m+32B. 2m+3C. −(2m+3)D. −2m+3
12.如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是( )
A. (3,3)
B. (4,4)
C. (5,5)
D. (6,6)
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图所示，△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0)，O(0,0)，B(3,6)，以点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ．
14.如图，▵ABC与▵DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB=BE，若S▵ABC=2，则S▵DEF= ．
15.《墨子⋅天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB=2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆半径为______．
16.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,3)，B(1,2)，C(3,1)．
(1)把△ABC向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心在第三象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1:2;
(3)连接CC1，请用无刻度的直尺在线段CC1上确定一点P(m,n)，使得m+n=0．
18.(本小题8分)
已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为(3,1)、(2,−1)．
(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2:1；
(3)若点D(a,b)在线段OA上，直接写出变化(2)后点D的对应点D2的坐标为_________．
19.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)，其中点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(6,1)，(2,4)．
(1)在给定的网格中，以点A为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，得到△AB′C′，请画出△AB′C′;
(2)画出以AB，AC为邻边的平行四边形ABCD，则顶点D的坐标为 ;(3)在图中标出边BC的中点M．
20.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)．
(1)以点O为旋转中心，将△ABC绕点O顺时针旋转90∘后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心，在第一象限内把△ABC放大2倍后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
21.(本小题8分)
如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，B(2,2)．
(1)以点A为位似中心，在x轴的上方将△ABC放大到原图的2倍，(即新图与原图的相似比为2)，画出对应的△AB′C′；
(2)直接写出四边形CBB′C′的面积：______．
22.(本小题8分)
在如图所示4×4小正方形方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(不要求写画法)．
(1)在图中请以C为端点作一条线段CD，使它与线段AB平行且相等;
(2)以点C为位似中心，将线段AB按1:2缩小为A′B′，在图中画出线段A′B′，并保留作图痕迹．
23.(本小题8分)
已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为A(2,6)，B(6,2)．
(1)在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2:1;
(2)画出△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90∘后的△A1B2C2．
24.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图(保留画图痕迹)．
(1)请画一个△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于点O位似;
(2)请画一个△A2B2C2，使得△A2B2C2可通过△ABC绕点O旋转得到．
25.(本小题8分)
已知，点M(m−1,3−m2)在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了下表：
他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A(−1,3)为顶点的抛物线上．
(1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论m取何实数值，点M都在此抛物线上；
(2)设(1)中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C(点B在点C的左侧)，点D在该抛物线的对称轴上，△PQM是△ABC以点D为位似中心的位似图形(点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M).若△PQM与△ABC的相似比是1: 3，求m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△FED，AB//ED，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OBOE=2，
∴S△ABCS△DEF=(ABDE)2=4，
即△ABC与△DEF的面积比是：4：1．
故选：C．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△FED，AB//DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD，
∵OA=2，AD=3，
∴OD=OA+AD=5，
∴ABDE=25，
∴S△ABCS△DEF=(25)2=425，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为25，
故选：D．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB=2OE，
∴△COB与△FOE相似比为：2：1，
∴△COB与△FOE面积之比为4：1，
∵△COB的面积为4，
∴△FOE的面积为：14×4=1．
故选：C．
直接利用位似图形的性质得出△DEF与△ABC的面积比，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，OB=2OD，
∴△OAB和△OCD的相似比为：2：1，
∴△OAB和△OCD的周长比为：2：1，
∵△OCD的周长为3，
∴△OAB的周长为6；
故选：A．
根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果．
本题考查坐标与位似，掌握位似比等于相似比，周长比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
根据三角形中位线的性质得到EF//BC，EF=12BC，DF//AC，DF=12AC，DE//AB，DE=12AB，则可判定△ABC∽△DEF，接着根据位似的定义可判断△ABC与△DEF是位似图形，利用位似性质得到△DEF与△ABC的周长比是1：2，面积比是1：4．
【解答】
解：∵AO、BO、CO的中点分别为D、E、F，
∴EF//BC，EF=12BC，DF//AC，DF=12AC，DE//AB，DE=12AB，
∴△DEF∽△ABC，
∴△DEF与△ABC是位似图形，位似中心为点O，
∴△DEF与△ABC的周长比是1：2，△ABC与△DEF的面积比是1：4．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC～△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=(ACDF)2=49，
∴AC：DF=2：3，
故选：A．
由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质即可求得△ABC的面积：△DEF面积=4：9，得到AC：DF=2：3．
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线的概念判断即可．
【解答】解：A、∵ΔABC与ΔDEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC//DF，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵ΔABC与ΔDEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1:2，
∴AB//DE，
∴ΔOAB∽ΔODE，
∴ABDE=OAOD=12，本选项说法正确，不符合题意；
C、同B选项可知，OBOE=OCOF=12，
∴BC是ΔOEF的中位线，本选项说法正确，不符合题意；
D、∵ΔABC与ΔDEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1:2，
∴SΔABC:SΔDEF=1:4，本选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k是解题的关键．
根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．
【解答】
解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是(−4,2)，以原点O为位似中心相似比为12，将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，
∴若A′与A在原点同侧，则将A点的横纵坐标均乘以12，得到点A′的坐标是(−12×4,12×2)，即(−2,1)，
若A′与A在原点异侧，则将A点的横纵坐标均乘以−12，得到点A′的坐标是[−12×(−4),−12×2]，即(2,−1)，
综上所述：点A的对应点A′的坐标是(−2,1)或(2,−1)．
故选：D．
9.【答案】A
【解析】解：∵OC′CC′=34，
∴OC′OC=34，
∵△A′B′C′与△ABC位似，
∴△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′与△ABC的相似比为34，
∴S△A′B′C′S△ABC=916，
∴S△ABC=169S△A′B′C′=169×27=48．
故选：A．
由OC′：CC′=3：4得到OC′：OC=3：4，从而得到△A′B′C′与△ABC的相似比为3：4，S△A′B′C′：S△ABC=9：16，进而即可解答．
本题考查位似的性质、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】
解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比是1：4，
故选：B．
11.【答案】D
【解析】解：点C的纵坐标为m，则A、C间的垂直距离为(m−1)，
∵△ABC与△ADE的相似比为1:2，∴E，A间的垂直距离为2(m−1)，
∴点E的纵坐标是−[2(m−1)−1]=−(2m−3)=−2m+3．
12.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BE⊥OC于E，
∵点B坐标为(1,1)，
∴BE=OE=1．
∵△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，
∴△AOB∽△CDB且相似比为1：2，OA//CD．
∴OE：EC=1：2，OACD=12，BEOA=ECOC，BECD=OEOC．
∴OC=OE+2OE=3，CD=3BE=3，
∴D(3,3)．
故选：A．
根据题意可以推知：△AOB∽△CDB且相似比为1：2；由平行线分线段成比例、对应边上的高线之比等于相似比求得答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
13.【答案】(2,4)或(−2,−4)
【解析】略
14.【答案】8
【解析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到▵ABC∽▵DEF，BC//EF，得到▵OBC∽▵OEF，根据相似三角形的性质求出BCEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵OB=BE，
∴OBOE=12，
∵▵ABC与▵DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴▵ABC∽▵DEF，BC//EF，
∴▵OBC∽▵OEF，
∴BCEF=OBOE=12，
∴S▵ABCS▵DEF=122=14，
∵S▵ABC=2，
∴S△DEF=8，
故答案为：8．
15.【答案】8 2
【解析】解：如图，连接A′C′，
∵正方形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形A′B′C′D′是正方形，
∴∠A′B′C′=90°，
∵正方形ABCD的边长为4，A′B′：AB=2：1，
∴A′B′=8，
∴A′C′= 82+82=8 2，
∴四边形A′B′C′D′的外接圆半径为8 2，
故答案为：8 2．
连接A′C′，根据位似图形的概念得到四边形A′B′C′D′是正方形，根据题意求出A′C′，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、正方形的性质，掌握位似图形的概念的解题的关键．
16.【答案】1：4
【解析】解：∵OA=AD，
∴OA：OD=1：2，
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴∠ODE=∠OAB，∠OBA=∠OED，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=12，
∴△ABC与△DEF的面积比为：(12)2=14，
故答案为：1：4．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图：△A1B1C1即为所求;
(2)如图：△A2B2C2即为所求．
(3)如图：P即为所求．
【解析】本题考查了作图−位似变换，作图−平移变换，解题的关键是运用正方形网格的特征正确的作出图形．
(1)利用作图−平移变换找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)利用作图−位似变换，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可；
(3)由m+n=0，得出P在二，四象限的角平分线上，即可作出P．
18.【答案】解：(1)如图所示，△OA1B1即为所求;
(2)如图所示，△OA2B2即为所求;
(3)(−2a,−2b)．
【解析】【分析】
本题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)根据位似图形的性质，即可求解．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵作的位似图形，新图与原图相似比为2：1，且D(a,b)，
∴点D的对应点D2的坐标为(−2a,−2b)；
故答案为：(−2a,−2b)．
19.【答案】解：(1)如图，△AB′C′即为所求．
(2)①(7,4)．
②连接AD，交BC于点M，
∵四边形ABDC为平行四边形，
∴点M为BC的中点，
则点M即为所求．
【解析】【分析】
本题考查作图−位似变换、平行四边形的性质，熟练掌握位似变换、平行四边形的性质是解答本题的关键．
(1)根据位似变换的性质作图即可．
(2)①根据平行四边形的性质可得答案．
②连接AD，与BC的交点即为点M．
【解答】
解：(1)见答案;
(2)①如图，取格点D，使CD=AB，且CD//AB，
∴顶点D的坐标为(7,4)．
故答案为：(7,4)．
②见答案．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为要作为的三角形；
(2)如图，△A2B2C2即为要作为的三角形．
【解析】本题考查了作图−位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)延长AO到A2使OA2=2OA，延长BO到B2使OB2=2OB，延长CO到C2使OC2=2OC，则△A2B2C2满足条件．
21.【答案】16.5
【解析】解：(1)如图，△AB′C′即为所求；
(2)四边形CBB′C′的面积=5×7−12×1×3−12×6×4−12×2×3−12×1×4=16.5．
故答案为：16.5．
(1)利用位似变换的性质，画出三角形AB′C′即可；
(2)利用分割法求出四边形面积即可．
本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求；
(2)如图，线段A’B’即为所求．
【解析】本题考查了平行线的判定及性质，位似变换作图，熟悉网格中的平行作图和位似作图是解题的关键．
(1)结合网格特征，找到格点D，并连接CD即可；
(2)连接BC，AC，利用网格特征找到线段BC，AC的中点并连接即可．
23.【答案】解：(1)如图所示，
△A1B1C1即为所求图形;
(2)如图所示，
△A1B2C2即为所求图形．
【解析】此题主要考查了作图−位似变换，作图−旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)分别画出△ABC以原点O为位似中心，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2:1的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得；
(2)分别作出点B1、C1绕点A1按逆时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
24.【答案】解：(1)如答图1，△A1B1C1即为所求;
(2)如答图2，△A2B2C2即为所求．
【解析】本题主要考查位似变换和旋转变换，掌握相关性质是解题的关键．
(1)根据位似变换的性质，确定位似比，进而得到对应点，即可画出图形；
(2)根据旋转变换的性质，结合网格特点作图即可．
25.【答案】解：(1)∵抛物线的顶点A的坐标为(−1,3)，
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)2+3，
把(−2,2)代入y=a(x+1)2+3中，得：2=a+3，
∴a=−1，
∴抛物线的函数表达式为y=−(x+1)2+3，
当x=m−1时，y=−m2+3，
∴无论m取何实数值，点M都在此抛物线上；
(2)由(1)可知，抛物线的函数表达式为y=−(x+1)2+3，
令y=0，得−(x+1)2+3=0，
∴x=−1± 3，
∴B(−1− 3,0)，C(−1+ 3,0)，BC=2 3，抛物线的对称轴垂直平分BC，
又∵A(−1,3)，
∴AB= 32+32=2 3，AC= − 32+32=2 3，
∵AB=AC=BC=2 3，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D在该抛物线的对称轴上，△PQM是△ABC以点D为位似中心的位似图形，
∴点P在抛物线的对称轴上，
∵△PQM与△ABC的相似比是1: 3，
∴BC//QM，QMBC=1 3，
∴QM=2，
∵抛物线的对称轴垂直平分QM，抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴点Q与点M关于抛物线的对称轴对称，
当点M在抛物线位于对称轴的左侧部分时，如图：
则−1−(m−1)=1，得m=−1；
当点M在抛物线位于对称轴的右侧部分时，如图：
则m−1−(−1)=1，得m=1；
综上所述，m=±1.
【解析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形性质，位似图形，解答本题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．
(1)利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，再根据当x=m−1时，y=−m2+3，得出无论m取何实数值，点M都在此抛物线上即可；
(2)根据抛物线的解析式求出B(−1− 3,0)，C(−1+ 3,0)，BC=2 3，抛物线的对称轴垂直平分BC，再根据A(−1,3)，求出AB=2 3，AC=2 3，进而得出AB=AC=BC=2 3，△ABC是等边三角形，根据点D在该抛物线的对称轴上，△PQM是△ABC以点D为位似中心的位似图形，得出点P在抛物线的对称轴上，根据△PQM与△ABC的相似比是1: 3，得出BC//QM，QMBC=1 3，求出QM=2，根据抛物线的对称轴垂直平分QM，抛物线的对称轴为直线x=−1，得出点Q与点M关于抛物线的对称轴对称，当点M在抛物线位于对称轴的左侧部分时，−1−(m−1)=1，得m=−1；当点M在抛物线位于对称轴的右侧部分时，m−1−(−1)=1，得m=1；综合上述情况，即可求解．m
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
m−1
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
…
3−m2
…
−6
−1
2
3
2
−1
−6
…
1.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A. 2：1B. 3：1C. 4：1D. 5：1
2.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA=2，AD=3，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为( )
A. 6B. 9C. 10D. 25
3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，OB=2OE，若△COB的面积为4，则△FOE的面积为( )
A. 2B. 32C. 1D. 12
4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形.若OB=2OD，△OCD的周长为3，则△OAB的周长为( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 30
5.如图，在ΔABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，顺次连接DE、EF、DF得到ΔDEF，则下列说法错误的是( )
A. ΔDEF与ΔABC是位似图形B. ΔDEF与ΔABC是相似图形
C. ΔDEF与ΔABC的周长比是1：2D. ΔDEF与ΔABC的面积比是1：2
6.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AC：DF的值为( )
A. 2：3
B. 2：5
C. 4：9
D. 4：13
7.如图，ΔABC与ΔDEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1:2，下列结论不正确的是( )
A. AC//DFB. ABDE=OAOD=12
C. BC是ΔOEF的中位线D. SΔABC:SΔDEF=1:2
8.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 ( )
A. (−8,4)B. (8,−4)C. (−8,4)或(8,−4)D. (−2,1)或(2,−1)
9.如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=3：1，△A′B′C′的面积为27，则△ABC的面积为( )
A. 48
B. 24
C. 32
D. 916
10.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中相似比为1:2，则△ABC与△DEF的面积之比是( )
A. 1:2B. 1:4C. 1:3D. 1:9
11.如图，△ABC的两个顶点B、C均在第一象限内，以点A(0,1)为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形△ADE，△ABC与△ADE的相似比为1:2.若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是( )
A. −m+32B. 2m+3C. −(2m+3)D. −2m+3
12.如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是( )
A. (3,3)
B. (4,4)
C. (5,5)
D. (6,6)
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图所示，△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0)，O(0,0)，B(3,6)，以点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ．
14.如图，▵ABC与▵DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB=BE，若S▵ABC=2，则S▵DEF= ．
15.《墨子⋅天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB=2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆半径为______．
16.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,3)，B(1,2)，C(3,1)．
(1)把△ABC向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心在第三象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1:2;
(3)连接CC1，请用无刻度的直尺在线段CC1上确定一点P(m,n)，使得m+n=0．
18.(本小题8分)
已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为(3,1)、(2,−1)．
(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2:1；
(3)若点D(a,b)在线段OA上，直接写出变化(2)后点D的对应点D2的坐标为_________．
19.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)，其中点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(6,1)，(2,4)．
(1)在给定的网格中，以点A为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，得到△AB′C′，请画出△AB′C′;
(2)画出以AB，AC为邻边的平行四边形ABCD，则顶点D的坐标为 ;(3)在图中标出边BC的中点M．
20.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)．
(1)以点O为旋转中心，将△ABC绕点O顺时针旋转90∘后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心，在第一象限内把△ABC放大2倍后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
21.(本小题8分)
如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，B(2,2)．
(1)以点A为位似中心，在x轴的上方将△ABC放大到原图的2倍，(即新图与原图的相似比为2)，画出对应的△AB′C′；
(2)直接写出四边形CBB′C′的面积：______．
22.(本小题8分)
在如图所示4×4小正方形方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(不要求写画法)．
(1)在图中请以C为端点作一条线段CD，使它与线段AB平行且相等;
(2)以点C为位似中心，将线段AB按1:2缩小为A′B′，在图中画出线段A′B′，并保留作图痕迹．
23.(本小题8分)
已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为A(2,6)，B(6,2)．
(1)在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2:1;
(2)画出△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90∘后的△A1B2C2．
24.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图(保留画图痕迹)．
(1)请画一个△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于点O位似;
(2)请画一个△A2B2C2，使得△A2B2C2可通过△ABC绕点O旋转得到．
25.(本小题8分)
已知，点M(m−1,3−m2)在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了下表：
他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A(−1,3)为顶点的抛物线上．
(1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论m取何实数值，点M都在此抛物线上；
(2)设(1)中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C(点B在点C的左侧)，点D在该抛物线的对称轴上，△PQM是△ABC以点D为位似中心的位似图形(点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M).若△PQM与△ABC的相似比是1: 3，求m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△FED，AB//ED，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OBOE=2，
∴S△ABCS△DEF=(ABDE)2=4，
即△ABC与△DEF的面积比是：4：1．
故选：C．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△FED，AB//DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD，
∵OA=2，AD=3，
∴OD=OA+AD=5，
∴ABDE=25，
∴S△ABCS△DEF=(25)2=425，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为25，
故选：D．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB=2OE，
∴△COB与△FOE相似比为：2：1，
∴△COB与△FOE面积之比为4：1，
∵△COB的面积为4，
∴△FOE的面积为：14×4=1．
故选：C．
直接利用位似图形的性质得出△DEF与△ABC的面积比，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，OB=2OD，
∴△OAB和△OCD的相似比为：2：1，
∴△OAB和△OCD的周长比为：2：1，
∵△OCD的周长为3，
∴△OAB的周长为6；
故选：A．
根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果．
本题考查坐标与位似，掌握位似比等于相似比，周长比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
根据三角形中位线的性质得到EF//BC，EF=12BC，DF//AC，DF=12AC，DE//AB，DE=12AB，则可判定△ABC∽△DEF，接着根据位似的定义可判断△ABC与△DEF是位似图形，利用位似性质得到△DEF与△ABC的周长比是1：2，面积比是1：4．
【解答】
解：∵AO、BO、CO的中点分别为D、E、F，
∴EF//BC，EF=12BC，DF//AC，DF=12AC，DE//AB，DE=12AB，
∴△DEF∽△ABC，
∴△DEF与△ABC是位似图形，位似中心为点O，
∴△DEF与△ABC的周长比是1：2，△ABC与△DEF的面积比是1：4．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC～△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=(ACDF)2=49，
∴AC：DF=2：3，
故选：A．
由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质即可求得△ABC的面积：△DEF面积=4：9，得到AC：DF=2：3．
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线的概念判断即可．
【解答】解：A、∵ΔABC与ΔDEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC//DF，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵ΔABC与ΔDEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1:2，
∴AB//DE，
∴ΔOAB∽ΔODE，
∴ABDE=OAOD=12，本选项说法正确，不符合题意；
C、同B选项可知，OBOE=OCOF=12，
∴BC是ΔOEF的中位线，本选项说法正确，不符合题意；
D、∵ΔABC与ΔDEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1:2，
∴SΔABC:SΔDEF=1:4，本选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k是解题的关键．
根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．
【解答】
解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是(−4,2)，以原点O为位似中心相似比为12，将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，
∴若A′与A在原点同侧，则将A点的横纵坐标均乘以12，得到点A′的坐标是(−12×4,12×2)，即(−2,1)，
若A′与A在原点异侧，则将A点的横纵坐标均乘以−12，得到点A′的坐标是[−12×(−4),−12×2]，即(2,−1)，
综上所述：点A的对应点A′的坐标是(−2,1)或(2,−1)．
故选：D．
9.【答案】A
【解析】解：∵OC′CC′=34，
∴OC′OC=34，
∵△A′B′C′与△ABC位似，
∴△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′与△ABC的相似比为34，
∴S△A′B′C′S△ABC=916，
∴S△ABC=169S△A′B′C′=169×27=48．
故选：A．
由OC′：CC′=3：4得到OC′：OC=3：4，从而得到△A′B′C′与△ABC的相似比为3：4，S△A′B′C′：S△ABC=9：16，进而即可解答．
本题考查位似的性质、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】
解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比是1：4，
故选：B．
11.【答案】D
【解析】解：点C的纵坐标为m，则A、C间的垂直距离为(m−1)，
∵△ABC与△ADE的相似比为1:2，∴E，A间的垂直距离为2(m−1)，
∴点E的纵坐标是−[2(m−1)−1]=−(2m−3)=−2m+3．
12.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BE⊥OC于E，
∵点B坐标为(1,1)，
∴BE=OE=1．
∵△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，
∴△AOB∽△CDB且相似比为1：2，OA//CD．
∴OE：EC=1：2，OACD=12，BEOA=ECOC，BECD=OEOC．
∴OC=OE+2OE=3，CD=3BE=3，
∴D(3,3)．
故选：A．
根据题意可以推知：△AOB∽△CDB且相似比为1：2；由平行线分线段成比例、对应边上的高线之比等于相似比求得答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
13.【答案】(2,4)或(−2,−4)
【解析】略
14.【答案】8
【解析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到▵ABC∽▵DEF，BC//EF，得到▵OBC∽▵OEF，根据相似三角形的性质求出BCEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵OB=BE，
∴OBOE=12，
∵▵ABC与▵DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴▵ABC∽▵DEF，BC//EF，
∴▵OBC∽▵OEF，
∴BCEF=OBOE=12，
∴S▵ABCS▵DEF=122=14，
∵S▵ABC=2，
∴S△DEF=8，
故答案为：8．
15.【答案】8 2
【解析】解：如图，连接A′C′，
∵正方形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形A′B′C′D′是正方形，
∴∠A′B′C′=90°，
∵正方形ABCD的边长为4，A′B′：AB=2：1，
∴A′B′=8，
∴A′C′= 82+82=8 2，
∴四边形A′B′C′D′的外接圆半径为8 2，
故答案为：8 2．
连接A′C′，根据位似图形的概念得到四边形A′B′C′D′是正方形，根据题意求出A′C′，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、正方形的性质，掌握位似图形的概念的解题的关键．
16.【答案】1：4
【解析】解：∵OA=AD，
∴OA：OD=1：2，
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴∠ODE=∠OAB，∠OBA=∠OED，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=12，
∴△ABC与△DEF的面积比为：(12)2=14，
故答案为：1：4．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图：△A1B1C1即为所求;
(2)如图：△A2B2C2即为所求．
(3)如图：P即为所求．
【解析】本题考查了作图−位似变换，作图−平移变换，解题的关键是运用正方形网格的特征正确的作出图形．
(1)利用作图−平移变换找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)利用作图−位似变换，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可；
(3)由m+n=0，得出P在二，四象限的角平分线上，即可作出P．
18.【答案】解：(1)如图所示，△OA1B1即为所求;
(2)如图所示，△OA2B2即为所求;
(3)(−2a,−2b)．
【解析】【分析】
本题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)根据位似图形的性质，即可求解．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵作的位似图形，新图与原图相似比为2：1，且D(a,b)，
∴点D的对应点D2的坐标为(−2a,−2b)；
故答案为：(−2a,−2b)．
19.【答案】解：(1)如图，△AB′C′即为所求．
(2)①(7,4)．
②连接AD，交BC于点M，
∵四边形ABDC为平行四边形，
∴点M为BC的中点，
则点M即为所求．
【解析】【分析】
本题考查作图−位似变换、平行四边形的性质，熟练掌握位似变换、平行四边形的性质是解答本题的关键．
(1)根据位似变换的性质作图即可．
(2)①根据平行四边形的性质可得答案．
②连接AD，与BC的交点即为点M．
【解答】
解：(1)见答案;
(2)①如图，取格点D，使CD=AB，且CD//AB，
∴顶点D的坐标为(7,4)．
故答案为：(7,4)．
②见答案．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为要作为的三角形；
(2)如图，△A2B2C2即为要作为的三角形．
【解析】本题考查了作图−位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)延长AO到A2使OA2=2OA，延长BO到B2使OB2=2OB，延长CO到C2使OC2=2OC，则△A2B2C2满足条件．
21.【答案】16.5
【解析】解：(1)如图，△AB′C′即为所求；
(2)四边形CBB′C′的面积=5×7−12×1×3−12×6×4−12×2×3−12×1×4=16.5．
故答案为：16.5．
(1)利用位似变换的性质，画出三角形AB′C′即可；
(2)利用分割法求出四边形面积即可．
本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求；
(2)如图，线段A’B’即为所求．
【解析】本题考查了平行线的判定及性质，位似变换作图，熟悉网格中的平行作图和位似作图是解题的关键．
(1)结合网格特征，找到格点D，并连接CD即可；
(2)连接BC，AC，利用网格特征找到线段BC，AC的中点并连接即可．
23.【答案】解：(1)如图所示，
△A1B1C1即为所求图形;
(2)如图所示，
△A1B2C2即为所求图形．
【解析】此题主要考查了作图−位似变换，作图−旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)分别画出△ABC以原点O为位似中心，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2:1的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得；
(2)分别作出点B1、C1绕点A1按逆时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
24.【答案】解：(1)如答图1，△A1B1C1即为所求;
(2)如答图2，△A2B2C2即为所求．
【解析】本题主要考查位似变换和旋转变换，掌握相关性质是解题的关键．
(1)根据位似变换的性质，确定位似比，进而得到对应点，即可画出图形；
(2)根据旋转变换的性质，结合网格特点作图即可．
25.【答案】解：(1)∵抛物线的顶点A的坐标为(−1,3)，
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)2+3，
把(−2,2)代入y=a(x+1)2+3中，得：2=a+3，
∴a=−1，
∴抛物线的函数表达式为y=−(x+1)2+3，
当x=m−1时，y=−m2+3，
∴无论m取何实数值，点M都在此抛物线上；
(2)由(1)可知，抛物线的函数表达式为y=−(x+1)2+3，
令y=0，得−(x+1)2+3=0，
∴x=−1± 3，
∴B(−1− 3,0)，C(−1+ 3,0)，BC=2 3，抛物线的对称轴垂直平分BC，
又∵A(−1,3)，
∴AB= 32+32=2 3，AC= − 32+32=2 3，
∵AB=AC=BC=2 3，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D在该抛物线的对称轴上，△PQM是△ABC以点D为位似中心的位似图形，
∴点P在抛物线的对称轴上，
∵△PQM与△ABC的相似比是1: 3，
∴BC//QM，QMBC=1 3，
∴QM=2，
∵抛物线的对称轴垂直平分QM，抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴点Q与点M关于抛物线的对称轴对称，
当点M在抛物线位于对称轴的左侧部分时，如图：
则−1−(m−1)=1，得m=−1；
当点M在抛物线位于对称轴的右侧部分时，如图：
则m−1−(−1)=1，得m=1；
综上所述，m=±1.
【解析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形性质，位似图形，解答本题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．
(1)利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，再根据当x=m−1时，y=−m2+3，得出无论m取何实数值，点M都在此抛物线上即可；
(2)根据抛物线的解析式求出B(−1− 3,0)，C(−1+ 3,0)，BC=2 3，抛物线的对称轴垂直平分BC，再根据A(−1,3)，求出AB=2 3，AC=2 3，进而得出AB=AC=BC=2 3，△ABC是等边三角形，根据点D在该抛物线的对称轴上，△PQM是△ABC以点D为位似中心的位似图形，得出点P在抛物线的对称轴上，根据△PQM与△ABC的相似比是1: 3，得出BC//QM，QMBC=1 3，求出QM=2，根据抛物线的对称轴垂直平分QM，抛物线的对称轴为直线x=−1，得出点Q与点M关于抛物线的对称轴对称，当点M在抛物线位于对称轴的左侧部分时，−1−(m−1)=1，得m=−1；当点M在抛物线位于对称轴的右侧部分时，m−1−(−1)=1，得m=1；综合上述情况，即可求解．m
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
m−1
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
…
3−m2
…
−6
−1
2
3
2
−1
−6
…
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