中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题09 直角三角形的存在性问题（2份打包，原卷版+教师版）

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【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．
【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
重点还是如何求得点坐标， SKIPIF 1 < 0 求法相同，以 SKIPIF 1 < 0 为例：
【构造三垂直】
SKIPIF 1 < 0 求法相同，以 SKIPIF 1 < 0 为例：
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
【代数法】表示线段构勾股
还剩下 SKIPIF 1 < 0 待求，不妨来求下 SKIPIF 1 < 0 ：
（1）表示点：设 SKIPIF 1 < 0 坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示线段： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）分类讨论：当 SKIPIF 1 < 0 为直角时， SKIPIF 1 < 0 ；
（4）代入得方程： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：
互相垂直的两直线斜率之积为-1．
考虑到直线 SKIPIF 1 < 0 与AB互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，
所以与x轴交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~
【小结】
几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点A、B、C坐标；
（2）表示线段AB、AC、BC；
（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；
（4）代入列方程，求解．
如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．
二、典例精析
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）请在 SKIPIF 1 < 0 轴上找一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的周长最小，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点， SKIPIF 1 < 0 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线： SKIPIF 1 < 0 ，直线AC：y=3x+3；
（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了．
（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点，
有如下两种情况，
先求过A点所作垂线得到的点P：
设P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则PM=m+1，AM= SKIPIF 1 < 0 ，
易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍），
故第1个P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
再求过点C所作垂线得到的点P：
SKIPIF 1 < 0 ，CN=m，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍），
故第2个P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
三、中考真题演练
1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点是C．

(1) SKIPIF 1 < 0 _______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， SKIPIF 1 < 0 ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点 SKIPIF 1 < 0 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，求点P的坐标．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，是矩形 SKIPIF 1 < 0 “梦之点”的是___________；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是 SKIPIF 1 < 0 ___________．当 SKIPIF 1 < 0 时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧）．将抛物线 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，求此时 SKIPIF 1 < 0 所对应的函数表达式；
5．（2022·山东济南·中考真题）抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
6．（2022·广西柳州·中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
7．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
8．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)如图1，若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由；
9．（2022·四川雅安·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
10．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求线段AC的长；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形时，求点M的坐标．