中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题10 平行四边形的存在性问题（2份打包，原卷版+教师版）

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考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：
（1）对应边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为： SKIPIF 1 < 0 ，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
（2）对角线互相平分转化为： SKIPIF 1 < 0 ，
可以理解为AC的中点也是BD的中点．
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 → SKIPIF 1 < 0 ．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为： SKIPIF 1 < 0 （各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
二、典例精析
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．
三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）AC为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）AB为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（此处特指点的横纵坐标相加减）
两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C（-2，0）、D（0，1）．
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： SKIPIF 1 < 0 ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
三、中考真题演练
1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点，其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，点 SKIPIF 1 < 0 的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ．问是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·广东广州·中考真题）已知点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求n的值；
(2)抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为C， SKIPIF 1 < 0 与y轴的另一个交点为F，当 SKIPIF 1 < 0 时，是否存在四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·山东·中考真题）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线经过 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交抛物线于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形？
4．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
5．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段 SKIPIF 1 < 0 方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点 SKIPIF 1 < 0 作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的表达式．
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后， SKIPIF 1 < 0 为平移后抛物线上一动点．在（ SKIPIF 1 < 0 ）的条件下求得的点 SKIPIF 1 < 0 ，是否能与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 构成平行四边形？若能构成，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标；若不能构成，请说明理由．
8．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
9．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线解析式及 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点坐标；
(2)以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形，求点 SKIPIF 1 < 0 坐标；