中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题22 胡不归模型（2份打包，原卷版+教师版）

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在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1【问题分析】
SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，
即求BC+kAC的最小值．
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
二、典例精析
如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_______．
【分析】本题关键在于处理“ SKIPIF 1 < 0 ”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故作DH⊥AB交AB于H点，则 SKIPIF 1 < 0 ．

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：
则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
三、中考真题演练
1．（2023·山东·中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，其对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的表达式；
(3)如图2，动点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线上，过点P作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，分别交直线 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 于点E，F，过点F作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为G，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点，且一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(3)将抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，此抛物线的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 点左侧）．点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点且在直线 SKIPIF 1 < 0 下方．已知点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值是多少？
3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 SKIPIF 1 < 0 于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此时点P的坐标；
4．（2023·天津·中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线上的点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ．
①求点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
5．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴从左至右依次交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一交点为 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)若点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点（不含端点），连接 SKIPIF 1 < 0 ，一动点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿线段 SKIPIF 1 < 0 以每秒1个单位的速度运动到 SKIPIF 1 < 0 ，再沿线段 SKIPIF 1 < 0 以每秒2个单位的速度运动到 SKIPIF 1 < 0 后停止．当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是多少时，点 SKIPIF 1 < 0 在整个运动过程中用时最少?
6．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

(1)求抛物线的解析式及顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上位于直线 SKIPIF 1 < 0 下方的一动点，当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，问： SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
7．（2022·四川成都·模拟预测）抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ SKIPIF 1 < 0 MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
8．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与x，y轴交于点A，B，抛物线 SKIPIF 1 < 0 恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点C逆时针旋转90°得到 SKIPIF 1 < 0 ，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，点P的坐标．
9．（2018·江苏徐州·一模）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线AC：y=- SKIPIF 1 < 0 交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点EF∥y轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）直接写出抛物线y=-x2+bx+c的解析式为_______；
（2）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求 SKIPIF 1 < 0 AM+CM的最小值．
10．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求 SKIPIF 1 < 0 PB＋PD的最小值．
11．（2019·四川绵阳·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 (点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧)， SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数的图象下方，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上任意一点，在(2)的结论下，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．