2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题02 选择压轴题（几何类）（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题02 选择压轴题（几何类）（含解析），共49页。试卷主要包含了中点转化为中线，将军饮马，隐圆——确定点的运动轨迹等内容，欢迎下载使用。


通用的解题思路：
1、共边三角形的面积问题可转化为线段问题；
2、“角平分线”问题 = 1 \* GB3 ①直接利用角平分线的性质； = 2 \* GB3 ②添加辅助线，构造等腰或全等三角形；
3、中点转化为中线、中位线问题。
4、将军饮马：
= 1 \* GB3 ①和最小，异侧连直线，同侧作对称；
= 2 \* GB3 ②差最大同侧连直线，异侧作对称。
5、隐圆——确定点的运动轨迹（定点定长考虑圆）。
1．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
【答案】A
【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，

延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，

设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则 SKIPIF 1 < 0 最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，

∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，

在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于

∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键．
2．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，， SKIPIF 1 < 0 ，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．
【详解】解：如图，
，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE= SKIPIF 1 < 0
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．
3．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．
1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，，则的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，， SKIPIF 1 < 0 ．E为边上一动点，F为射线上一动点，射线， SKIPIF 1 < 0 相交于点M，且满足．D是的中点，连接，当的长度最小时， SKIPIF 1 < 0 的长是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．
由证明，得出．取的中点T，连接，利用三角形的中位线定理求出的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出，并确定点M的运动轨迹，然后由求出的长再运用平行线分线段成比例即可获得结论．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 中，，， SKIPIF 1 < 0 ，
，，，
，即，
，
，
，
取的中点T，连接，
∵D是的中点，T是的中点，
， SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
∵点F为射线上一动点，，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，为半径的圆，
，
的最小值为1，如下图所示
，
，
，
，
．
故答案为：C．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在直角三角形中，，分别是上两点，以为直径作圆与相切于点，且 ．若 则的长度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，连接，由可得为的直径，即，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到，求出，再利用勾股定理即可得到的长度，正确作出辅助线，推导出是的直径是解题的关键．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
∴为的直径，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．（2024·安徽六安·一模）如图，在等边中，，，分别是，上的点，将沿折叠，使点落在点的位置，连接．若，，则的长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】连接交于，过作 SKIPIF 1 < 0 交于，由折叠得：，，，由勾股定理得，，分别求出线段长，设，由等边三角形的性质及特殊角的三角函数得，由三角形的面积得，再由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接交于，过作 SKIPIF 1 < 0 交于，
由折叠得：，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
，
，
，
设，
是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
解得：，
，
在中，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
的长为；
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，勾股定理，特殊角三角形函数；掌握性质能根据题意作出恰当的辅助线，利用面积法求线段及将已知条件转换到直角三角形中用勾股定理求解是解题的关键．
5．（2024·广西桂林·一模）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，沿折叠菱形，使点A落在边上的点G处，且于点M，交于点N，若 SKIPIF 1 < 0 （取，），则长是（ ）
A．7B．C．17D．18
【答案】D
【分析】连接，在中，求出的长度，进而求出的长度，然后根据，，可得，易证，求出，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，证明，解直角三角形，即可解决问题．
【详解】解：连接，交于点，
∵四边形是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠菱形，使点落在边上的点处，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
，，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的特征，解答此题的关键是掌握翻折性质．
6．（2024·安徽·一模）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解．
【详解】解：如图所示：
当点与点重合时，点在点处，此时，
当点与点重合时，点在点处，此时，
为的中位线，
，且，
点为的中点，
为的中位线，
，，
点在上运动，当时，的值最小，
在中，，，，
，，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为的角平分线，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，即，
的最小值为，
，
，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，正确运用相关知识点是解题关键．
7．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中， SKIPIF 1 < 0 ，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点G，连结，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案．
【详解】解：连接，取的中点G，连结，，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最小值，此时，的值也最小，
，
，
，
，
的最小值为，
此时，的最小值为．
故选C．
8．（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、 SKIPIF 1 < 0 ，交于P点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
本题中先证明 SKIPIF 1 < 0 ，角度推导得，继而确定点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接 SKIPIF 1 < 0 ，利用等边对等角以及四边形内角和定理可求出，后面解含有角的直角三角形即可．
【详解】解：∵等边，
∴，
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接 SKIPIF 1 < 0
∵，，
∴，，
∴，
∴，
由得，，
当O、P、C三点共线，即点P位于点时，取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，由得，
∴，
∴，即最小值为，
故选：A．
9．（2024·安徽池州·二模）在中，，，、是的两条角平分线，分别交、于点、，且、交于点，过点作于点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由P为两条角平分线的交点，得出P为的内心，进而可证出，过作，连， SKIPIF 1 < 0 ，作交于点H，利用圆周角定理和垂径定理可得的值，然后可得A点到的距离最大值是6，进而即可得解．
【详解】∵P为两条角平分线的交点，
∴P为的内心，
∴，
如图，过点作交点M，
∴在中，，
∴，
如图，过作，连， SKIPIF 1 < 0 ，作交于点H，
∵所对的圆周角为，圆心角为，
∴，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴是个定值，
又∵，
∴当三点共线时，A点到的距离最大值是6，
∴的最大值是6，
∴，
∴，即的最大值为2，
故选：B．
【点晴】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内切圆，外接圆，三角函数等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
10．（2024·安徽合肥·一模）在边长为正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，由是同平面内的一动点，，可得点为正方形外接圆上一点，延长至 SKIPIF 1 < 0 ，使，由是中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，利用勾股定理即可求出最小值，进而求解，画出图形，正确找到取最小值时点的位置是解题的关键．
【详解】解：∵是同平面内的一动点，，
∴点为正方形外接圆上一点，
延长至 SKIPIF 1 < 0 ，使，
∵是中点，
∴为的中位线，
∴，
由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，
过点作于，
∵为正方形，边长为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值，
故选：．

11．（2024·安徽六安·一模）如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（ ）
A．B． SKIPIF 1 < 0 C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键．
连接交于O，以， SKIPIF 1 < 0 为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值．
【详解】解：如图所示，
连接交于O，以， SKIPIF 1 < 0 为邻边作平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，，
四边形是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
即的最小值是
故答案为：D．
12．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、角平行线的定义，线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，连接与交于点，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接，，证明，得到，，进而可证明，得到，推导出是线段的垂直平分线，得到，由两点之间线段最短可得，当点与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，的值最小，进而由，求出即可求解，确定出点与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，的值最小是解题的关键．
【详解】解：如图，连接与交于点，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接，，

∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
当点与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，的值最小，
此时，
即的最小值是的长，
∵正方形的边长为，
∴，
∴
∴的最小值为，
故选：．
13．（2024·安徽宿州·一模）如图，在中，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，则以为边长的正方形的面积的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据题意得出四点共圆，为定角，则当圆的直径最小时，最小，当时，最小，圆的直径最小，则取得最小值，则正方形的面积最小，进而求得，根据，求得 SKIPIF 1 < 0 的长，即可求解．
【详解】解：∵于点，于点，
∴，
连接，则四点共圆，为直径，
∵，，
∴为定角，则当圆的直径最小时，最小
∴当时，最小，圆的直径最小，则取得最小值，则正方形的面积最小，
∴，则
∴，
在中，
∵
∴
又∵
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴正方形的最小面积为
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂线段最短，正方形的性质，得出当时最小是解题的关键．
14．（2024·安徽合肥·一模）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形 SKIPIF 1 < 0 拼成的大正方形中，设，若，则正方形与正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的知识，设小直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，分别表示出和，根据，可得，即可求出，，进而求解，根据和的关系得到小直角三角形两直角边的关系是解题的关键．
【详解】解：设小直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴正方形与正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积的比值为，
故选：．
15．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形ABCD中，，，连接，，且，的平分线分别交、于点O、E，则①、② SKIPIF 1 < 0 、③、④．上述结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，将涉及的线段用表示是解题的关键．
①根据题意求得，从而判定①正确；②过点A、O作于F，于G， 证明是等腰直角三角形得到，从而证明，从而得到，从而判定②错误；③求得，继而求出，，从而得出，从而判定③错误；④用等面积法求得，再证明，，从而得到，继而得到，从而判定①正确．
【详解】解：①即，且，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即①正确，
②过点A、O作于F，于G，
∵平分，，，
∴，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，即②错误；
③∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵于F，
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，，
∴，
∴
∵，
∴
∴，即③错误；
④∵，，
∴，即平分，
∴与若以和为底边，高相等；以和作底边，高相同；
∴，(高相等时，三角形面积之比等于底边之比)
∵，，
∴，
∴，
∴，即④正确；
故正确的有：①④，共两个，
故选B．
16．（2024·安徽安庆·一模）如图，已知正方形的边长为，为边上一点，，为边上一点，沿将折叠，使得点的对应点为，连接，，，，有以下结论：①若，则②若，则③的面积最大值是④ 的最小值是，其中正确的有（ ）
A．① ② ③ ④B．① ③ ④C．① ② ④D．① ② ③
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆外一点与到圆上的距离的最值问题；根据，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，得出在上，进而求得长，当在点时，的面积取得最大值，根据得出在为圆心，半径为的圆上运动，进而可得当在上时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：①∵正方形的边长为，，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
在中，，故①正确；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵沿将折叠，使得点的对应点为，
∴是等腰直角三角形，
则
又∵
∴在上，
∴
∵
∴，故②正确
当重合时，的面积最大，最大值为，故③正确
∵
∴在为圆心，半径为的圆上运动，
∴当在上时，取得最小值，最小值为，故④正确
故选：A．
17．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，D，E分别在等边的边，上，且，与交于点F．延长到点P，使，若， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B． SKIPIF 1 < 0 的长度的最小值等于
C．的长度为D．的面积的最大值是的面积的 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质得，，且，可证，由三角形的外角性质可得，可判断A正确；过点B作于点G，则，得到 ，当是中线时，点F在上，，最小，可判断B正确；在上截取，连接交于点H，证明，推出，得到，，，根据，得到，得到，即得；可判断C不正确；当时，点F到的距离最大，此时，得到，可判断D正确．
【详解】A. ．
∵是等边三角形，
∴，，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴A正确；
B. SKIPIF 1 < 0 的长度的最小值等于．
如图1，过点B作于点G，则，
∴，
当是中线时，点F在上， SKIPIF 1 < 0 最小，
此时，；
∴B正确；
C. 的长度为．
如图2，在上截取，连接交于点H，即，
∵， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴C不正确；
D. 的面积的最大值是的面积的 SKIPIF 1 < 0 ．
如图1，当时，F在上，点F到的距离最大，
此时，，
∴．
∴D正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形性质，三角形的外角的性质，三角形三边关系，添加恰当的辅助线构造全等三角形，是解本题的关键．
18．（2024·安徽合肥·一模）如图，P是线段上一动点，四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形，点C，D分别是的中点，若，则下列结论错误的是（ ）
A．为定值B．当时，的值为
C．周长的最小值为D．面积的最大值为2
【答案】C
【分析】求出，得到均为定值，判断A选项，过点作 SKIPIF 1 < 0 ，得到四边形为矩形，利用勾股定理求出的值，判断B选项，设设，则：，分别利用勾股定理求出的值，利用周长公式结合完全平方公式的非负性，判断C选项，分割法得到，转化为二次函数求最值，判断D选项．
【详解】解：∵四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形，
∴，
∵点C，D分别是的中点，
∴，
∴，
∴均为定值，
∴也为定值；故A选项正确；
过点作 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形为矩形，
∴， SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；故选项B正确；
设，则：，
∴，，，
∴，
∴，，
，
∴的周长
，
∵，
∴的周长的最小值为；故选项C错误；
∵
，
整理得：；
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，面积的最大值为2；故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值，二次函数求最值等知识点，综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形．
19．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，已知，以为弦的与相切于点P，直径 SKIPIF 1 < 0 交于点E，连接，C是 上一点，连接交于点D，则下面结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．若为直径，，则
D．若平分，则
【答案】D
【分析】本题为圆的综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等，综合性强，难度较大．由平行线的性质可得，再根据垂径定理及线段垂直平分线的性质判断选项A、B；设，则，列方程求解，再根据中位线的性质判断选项C；证明，得到，得到，由，得到，求解即可判断选项D．
【详解】直线为圆的切线，则，
，
，
，
，
故选项A、B成立，不符合题意；
如图，
为圆的直径，则，
而点是的中点，则为的中位线，
则，
设，
则，
即，
解得：，
SKIPIF 1 < 0
则，
故选项C成立，不符合题意；
如图，
平分，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
设，则，，则，
而①，
， SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
即，
即②，
联立①②，
解得：（不合题意的值已舍去），
则，
故选项D不成立，符合题意；
故选：D
20．（2024·安徽宿州·一模）如图，是正方形的对角线，点是上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，分别过点和点作，，垂足分别为点和点， SKIPIF 1 < 0 与交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点是的中点，，连接 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论错误的是（ ）
A．平分
B．当时，
C．当点是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，点是的中点
D．点和点之间的最短距离为2.5
【答案】D
【分析】
根据正方形的性质先证明，利用其性质结合勾股定理可判断B选项，延长交于，证明，利用其性质可证明为等腰直角三角形，即可判断A选项，当点是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，可知，易知，即可判断C选项；取中点，连接，，，由三角形三边关系可知：，当在线段时取等号，即可判断D选项．
【详解】解： ∵四边形是正方形，点是的中点，
∴，，
∵，，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，，则，故B选项正确；
延长交于，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，即：为等腰直角三角形，
∴平分，故A选项正确；
当点是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即：点为的中点，故C选项正确；
取中点，连接，，，则，，
∵，
∴，
由三角形三边关系可知：，当在线段时取等号，
即：点和点之间的最短距离为，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解决问题的关键．