2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题04 填空压轴题（几何类）（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题04 填空压轴题（几何类）（含解析），共48页。试卷主要包含了十字架模型，动态问题中的线段长度最值，奔驰模型，线段长度等内容，欢迎下载使用。


通用的解题思路：
解决矩形翻折问题：
利用折叠和矩形性质找出对应线段关系；
在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解。
2、十字架模型：

3、动态问题中的线段长度最值
通常利用三点共线解决，关键在于找到与这条线段两个端点之间恒为定长的点。
4、奔驰模型：
解题方法是旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证全等，结合勾股定理的逆定理得到结论。
5、线段长度、比值及最值问题：
（1）特殊图形、全等、相似、勾股定理；
（2）圆中垂径定理。
1．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则 SKIPIF 1 < 0 ．当，时， ．

【答案】
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
2．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1） °；
（2）若，，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 45 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数．
（2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD
∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如图，作FH⊥CD于H，
∴∠FHD=90°
又∵∠G=∠GDH=90°，
∴四边形DGFH是矩形，
又∵DG=FG，
∴四边形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴
∴，
∴DM= SKIPIF 1 < 0 ，MH=，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP=，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，
∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF,
∴，即，
∴NH=，
∴MN=MH+NH=+= SKIPIF 1 < 0 ．
故填： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键．
3．（2020·安徽·中考真题）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点 SKIPIF 1 < 0 处．请完成下列探究：
的大小为 ；
当四边形是平行四边形时的值为 ．
【答案】 30 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据折叠得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，进而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折叠，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可；
（2）根据题意得到DC∥AP，从而证明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，结合（1）中结论，设QR=a，则AP=2a，由勾股定理表达出AB=AQ=即可解答．
【详解】解：（1）由题意可知，∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR，
∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°，
∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°，
由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°，
故答案为：30；
（2）若四边形APCD为平行四边形，则DC∥AP，
∴∠CQP=∠APQ，
由折叠可知：∠CQP=∠PQR，
∴∠APQ=∠PQR，
∴QR=PR，
同理可得：QR=AR，即R为AP的中点，
由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ，
设QR=a，则AP=2a，
∴QP=，
∴AB=AQ=，
∴，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是读懂题意，熟悉折叠的性质．
1．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四边形中，，连接交于点F，O在上，，．
（1）若，则 °
（2）若，则
【答案】 65
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，可得，由可得；
（2）过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点M，于点N，于点R，于S，得得由勾股定理求出求出证明得，，从而可得答案
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴，
∵
∴；
（2）过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点M，于点N，于点R，于S，如图，

则
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理得，
∴
∵，
∴，
∴
又
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，，
∴
∴
故答案为：65；
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质在，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理以及求角的正切值，正确作出辅助线构造全等三角形以及相似三角形是解答本题的关键
2．（2024·安徽·一模）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和 SKIPIF 1 < 0 都是的切线，点和点是切点， SKIPIF 1 < 0 交于点，交于点，．若，则的长为 .
【答案】/
【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出，再根据直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出，即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
是的切线，点是切点，
SKIPIF 1 < 0 ，
即，
，
在中，，，
，
在 SKIPIF 1 < 0 中，， SKIPIF 1 < 0 ，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键．
3．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D．
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当线段最短时，的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）根据，得到，结合，得到，继而得到，计算即可．
（2）根据，，得到点P在以为直径的圆上，设圆心为点O，则当点三点共线时，线段最短，利用三角形的面积特点计算即可，
本题考查了直角三角形的性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）∵，，得到点P在以为直径的圆上，设圆心为点O，则当点三点共线时，线段最短，
∴，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4．（2024·安徽滁州·一模）如图，在矩形纸片中，对角线和交于点，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点．
（1）若，，则的长为 ；
（2）若，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）勾股定理得出，设，则，根据勾股定理即可求解；
（2）同（1）求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵依题意，在矩形纸片中，，，
∴
∴
∵折叠，
∴，，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：．
（2）∵，
设，，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴
∵折叠，
∴，，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：，
即，
∵，
∴
∴
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了勾股定理与矩形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2024·安徽合肥·一模）在矩形中，，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在点处．
（1）当点落在矩形对角线上时，则 SKIPIF 1 < 0 的长为
（2）当是以为腰的等腰三角形时，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
【答案】 3 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据勾股定理，得到，，继而得到，设 SKIPIF 1 < 0 ，则，利用勾股定理解答即可．
（2）分和，两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可．
【详解】（1）矩形中，，，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则，
∴
解得．
故答案为：3．
（2）当时，
过点F作于点M，于点G，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，过点F作于点M，延长交于点N，
∴，
∴直线是矩形的对称轴，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则，
∴
解得．
故答案为：或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．
6．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点的运动轨迹是解题的关键．
如图所示，连接，先证明，，进而证明得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，故当三等共线， SKIPIF 1 < 0 最大，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当三等共线时， SKIPIF 1 < 0 最大，
∴的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：， SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，点是边上一点，， SKIPIF 1 < 0 ，，且，过边上一点作，若，则的长度为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，过点作于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明，根据相似三角形的性质得到，结合已知条件可得，进而可得，根据等腰三角形的性质求得，根据勾股定理得到，由，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图，过点作于点 SKIPIF 1 < 0 ，
，，
∴，
，
，
解得或（舍去）
，
，
，
， SKIPIF 1 < 0 ，
，
解得或者（舍去），
，
, SKIPIF 1 < 0 ，
，
在中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2024·河北邯郸·二模）如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．

（1）若，则 °；
（2）若，且三点共线，则 ．
【答案】
【分析】（1）由直角三角形的性质及折叠性质得的度数，再由矩形的性质及角平分线的条件即可求解；
（2）由面积相等可求得，从而得，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，则可表示，在中由勾股定理建立方程即可求得．
【详解】解：（1）矩形中，，
∴，；
由折叠知：，
∴，；
∵平分，
∴；
故答案为：55；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
由折叠知，，；
∵E为中点，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：,
即，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识，灵活运用这些知识是关键．
9．（2024·黑龙江绥化·一模）如图在 中， 为直径， 为弦，点为弧 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点．若 则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理的推理，平行线分线段成比例，勾股定理的综合，掌握圆的基础知识是解题的关键．
根据垂径定理的推理可得，根据切线的性质可得，由此证得，根据平行线分线段成比例可得，设，可用含的式子表示出的长，在直角中根据勾股定理可求出，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为： ．
10．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，是边上的一点，，，分别是，上的点，且，．
(1)设，则 (用含的式子表示)；
(2)若，，则的长为 ．
【答案】 /
【分析】（1）依题意得，设，则，，，然后根据得，即，则，据此可得的度数；
（2）过点作交的延长线于，设则，证和全等得，则，再证得，然后在中由勾股定理构造关于的方程，解方程求出即可得的长．
【详解】解：（1），
，
设，
，
，
，
为的一个外角，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）过点作交的延长线于，如下图所示：
则，
，
由（1）可知：当时，，，
，
设则
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形．
11．（2024·安徽合肥·一模）如图1，在矩形纸片中，，，点是中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点与点重合，如图，折痕为，连接、；第二次折叠纸片使点与点重合，如图，点落到处，折痕为，连接．完成下面的探究：
（1）线段的长是 ；
（2） ．
【答案】 /
【分析】如图中，作于．设，则，利用勾股定理求出，再利用，得，求出，，求出，再证明即可解决问题．
【详解】解：如图中，作于．
设，则，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
在中，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得，
，，
，，
，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
如图中，
，，
，
，
，，
，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为:；．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明是关键．
12．（2024·安徽芜湖·一模）如图，在中，，， SKIPIF 1 < 0 ，点D为上一点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．
（1）当点D是的中点时，的最小值为 ；
（2）当，且点Q在直线上时，的长为 ．

【答案】 或
【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理得到长，当点Q在上时，最小，计算即可；
（2）现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
【详解】（1）解：当点D是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆C，交于点Q，则为最小值，
∵，， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
又∵D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；

（2）如图：

∵，
∴
，
∴，
∴点在同一条直线上，由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上,
在 中，，
；
当点在的延长线上，在 中,

综上所述：当时, 的长为或 ，
故答案为：或 ．
13．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，点E是四边形外一点，连接交于点F，O在上，连接

（1）若，则 °
（2）若，则
【答案】 65
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，可得,由可得；
（2）过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点M，于点N，于点R，于S，得得由勾股定理求出求出证明得，，从而可得答案
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴
∴,
∵
∴；
（2）过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点M，于点N，于点R，于S，如图，

则
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理得，
∴
∵，
∴,
∴
又
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，，
∴
∴
故答案为：65；
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质在，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理以及求角的正切值，正确作出辅助线构造全等三角形以及相似三角形是解答本题的关键
14．（2024·安徽芜湖·一模）如图，已知菱形的面积等于24，，则
（1） ；
（2）点，，， SKIPIF 1 < 0 分别是此菱形的，，，边上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．

【答案】 6 6
【分析】本题考查菱形的性质，涉及菱形面积公式、菱形性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据菱形的面积公式得出解答．
（1）根据菱形的面积公式列方程求解得出即可；
（2）根据菱形的面积得出，由平行线的判定与性质结合相似三角形的判定和性质得出比例解答．
【详解】解：（1）菱形的面积等于24，，
；
（2）四边形是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ，，
菱形的面积等于24，，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理，由可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即，
，
故答案为：（1）6；（2）6．
15．（2023·安徽合肥·三模）如图，，均为等腰直角三角形，，，点，，在同一直线，与相交于点，为的中点，连接，完成以下问题：

（1）的度数为 ；（2）若为的中点，则的长为 ．
【答案】 /90度
【分析】（1）先证得再由即可得解；
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，再证得，即可得解．
【详解】解：（1）∵，均为等腰直角三角形，，，
∴ SKIPIF 1 < 0 即
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
故答案为；
（）∵为的中点，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵在中，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵为的中点，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵
∴
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵， SKIPIF 1 < 0 ，
∴
∴
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴，
故答案为
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
16．（2023·安徽·一模）如图，点E是正方形的边上一点，以所在直线为对称轴折叠，得到，点H为 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点，以所在直线为对称轴折叠，恰好与 SKIPIF 1 < 0 重合．
（1）的度数为 ．
（2）若，则点H到的距离最大为 ．
【答案】
【分析】（1）由折叠得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，从而，，进而可求的度数；
（2）作的外接圆，圆心为点O，连接、、 SKIPIF 1 < 0 ，则，则，作于点I，于点K，则，，由，进而可求点H到的距离最大值．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
由折叠得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵点F与点B关于直线对称，
∴垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）作的外接圆，圆心为点O，连接、、 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
作于点I，于点K，则，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴的最大值为，
∴点H到的距离最大值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．（2021·安徽合肥·一模）如图，中，，，点D为上一个动点，过A作交于E，垂足为F．
（1）当时，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ；
（2）当时，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】
【分析】（1）假定AB=AC=1，则BC=．∠BAC=90°，DE⊥BC时，A，B，E，D四点在同一个圆上，可得∠BAE=∠BDE，利用同角的余角相等，可得∠BEF=∠BDE，从而可得△ABE为等腰三角形，BE=AE=1，EC=BCBE=．结论可得；
（2）当DE⊥AC时，∠BAC=90°，可得DE∥AB，设DE=x，通过说明△EDA∽△DAB，分别计算线段BE，CE，结论可得．
【详解】解：假定AB=AC=1，则BC=．
（1）当DE⊥BC时，如图：
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°．
∵∠BAC=90°，
如图，取的中点 连接

∴A，B，E，D四点在以为圆心，为半径的同一个圆上．
∴∠BAE=∠BDE．
∵DE⊥BC，
∴∠BEF+∠DEF=90°．
∵AE⊥BD，
∴∠FDE+∠FED=90°．
∴∠BEF=∠BDE
∴∠BAE=∠BEA．
∴AB=BE=1．
∴EC=BCBE=．
∴．
故答案为：．
（2）如图：
∵DE⊥AC，∠BAC=90°，
∴DE∥AB．
∴∠BAE=∠AED．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°．
∵AE⊥BD，
∴∠EAD+∠ADB=90°．
∴∠BAE=∠ADB．
∴∠ADB=∠AED．
∵∠BAD=∠ADE=90°，
∴△ABD∽△DAE．
∴．
∵DE⊥AC，∠C=45°，
∴DE=DC．
设DE=DC=x，则AD=1x，EC=．
∴BE=BCEC=．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得：x1＝ SKIPIF 1 < 0 (大于1，舍去)，x2＝．
经检验：是原方程的根且符合题意，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，给出恰当的参数，利用相似三角形的性质得出比例式，求出线段BE，CE的长度是解题的关键．
18．（2023·安徽·模拟预测）如图，E为正方形内一点，，于点F，O点为正方形的中心，连接，连接交于点G．请完成下列问题：
(1) ；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若，， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
【答案】(1)45
(2)
【分析】（1）连接，，，通过同角的余角相等得到，又，，可证，从而 SKIPIF 1 < 0 ，由点O为正方形ABCD的中心可得，，又根据与互余，与互余，得到，再 SKIPIF 1 < 0 ，可证，得到，由于，，，证明，从而得到，即是等腰直角三角形，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设OA与DF交于点H，分别连接GH，OC，易证，得到
，利用勾股定理在中，求得，利用锐角三角函数在中，求得．利用正方形的边长，可得，从而利用勾股定理，在中，求得．
【详解】（1）如图1，分别连接，，．
∵
∴
∵
∴
∴
又∵，，
∴
∴ SKIPIF 1 < 0
∵O为正方形ABCD的中心
∴，
∴，
∴
∵ SKIPIF 1 < 0
∴
∴，
∵，，
∴
∴
∵
∴
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为：45
（2）如图2，设OA与DF交于点H，分别连接GH，OC，
由（1）可知：，，
∴
∴
∵，
∴在中，，
∴在中，．
∵
∴，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的证明与性质，利用勾股定理和锐角三角函数解解直角三角形，正确作出辅助线，找到边之间的关系是解题的关键．
19．（2023·安徽池州·二模）如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题：

（1） ．
（2）若，则 ．
【答案】 /度
【分析】（1）根据折叠得出，证明，得出，根据，求出结果即可；
（2）过点H作于点M，证明，得出 SKIPIF 1 < 0 ，，证明，得出，设，则，得出，得出，根据，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠可知，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）过点H作于点M，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判断，作出辅助线构造全等三角形，证明．
20．（2023·安徽黄山·二模）如图，点D是等边三角形边上一动点（与点B、点C不重合），连接．把绕点A逆时针方向旋转到，连接交于点F，．设，．
（1）请写出y是x的函数解析式，并写出自变量的取值范围： ；
（2）如图2，点G是中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长度最小值是 ．
【答案】 ，的范围是.
【分析】（1）证明，，由旋转可得：，，可得为等边三角形，证明，可得，则，而，．可得，从而可得答案；
（2）如图，作射线，证明，可得，再证明，可得，则在射线上运动，可得当时， SKIPIF 1 < 0 最短，从而可得答案.
【详解】解：（1）∵等边三角形，
∴，，
由旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，．
∴，
∴，
而的范围是.
故答案为：，的范围是.
（2）如图，作射线，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在射线上运动，
当时， SKIPIF 1 < 0 最短，
∵为中点，,
∴，
∴；即线段 SKIPIF 1 < 0 的长度最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，证明在射线上运动是解本题的关键.