2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题05 解答题压轴题（二次函数（一）（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题05 解答题压轴题（二次函数（一）（含解析），共57页。试卷主要包含了二次函数的区间最值问题，动点产生的面积问题，特殊图形存在问题等内容，欢迎下载使用。


通用的解题思路：
一、二次函数的区间最值问题
二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。
若自变量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处 SKIPIF 1 < 0 时，取到最值.
若 SKIPIF 1 < 0 ，如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，如图③，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图④，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .

二、利用二次函数的性质解决线段最值问题
（1）竖直（铅锤）线段的最值问题
= 1 \* GB3 ①求抛物线及支线AC的解析式；
= 2 \* GB3 ②设点，表示出点P、Q的坐标；
= 3 \* GB3 ③表示线段PQ的长度；
= 4 \* GB3 ④利用二次函数的性质求最大值。
（2）斜（垂）线段的最值问题
= 1 \* GB3 ①过点P作x轴垂线；
= 2 \* GB3 ②利用相似得到，把求PH的最大值转化为求kPQ的最大值、
三、动点产生的面积问题
（1）利用铅锤法求三角形面积；
（2）动三角形面积最大值：
= 1 \* GB3 ①利用二次函数的性质求最大值（利用铅锤法把动三角形的面积用含参数的式子表示出来，再利用二次函数的性质求最大值，如图1）；
= 2 \* GB3 ②利用定底平行线法求最大值（平移直线值与抛物线只有一个交点时，动三角形的面积最大，如图2）

四、特殊图形存在问题
（1）等腰三角形
= 1 \* GB3 ①利用几何法或代数法表示出三角形三边对应的函数式；
= 2 \* GB3 ②根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况；
= 3 \* GB3 ③列出方程进行求解，保留可能的值。
（2）直角三角形
= 1 \* GB3 ①按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
= 2 \* GB3 ②计算出相应的边长；
= 3 \* GB3 ③根据边长与己知点的坐标，计算出相应的点的坐标。
（3）等腰直角三角形
既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。
（4）平行四边形
= 1 \* GB3 ①直接计算法根据平行四边形对边平行且相等,按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算(适用于已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴)
= 2 \* GB3 ②构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等,把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等(适用于已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图)
= 3 \* GB3 ③平移坐标法利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。(适用于直接写出答案的题)
（5）菱形
由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法。
（6）矩形
由于矩形是含 90 度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形存在性问题的方法。
（7）正方形
由于正方形即是矩形又是菱形，因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法。
1．（2021·安徽·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【答案】（1）；（2），见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可
（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果
（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论
【详解】解：（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）抛物线对称轴为直线，且
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大．
当时，y1随x1的增大而减小，
时，，时，
同理：时，y2随x2的增大而增大
SKIPIF 1 < 0 时，．
SKIPIF 1 < 0 时，

SKIPIF 1 < 0
（3）令

令

AB与CD的比值为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点
2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)的最大值是，此时的P点坐标是
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵轴， SKIPIF 1 < 0 ，
∴．
在 SKIPIF 1 < 0 中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，，
∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键．
3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出， SKIPIF 1 < 0 时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当 SKIPIF 1 < 0 时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
1．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为
(2)线段EF的最大值为
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两点之间的距离公式．
（1）利用待定系数求函数解析式即可；
（2）先求出的解析式，设 ， 则 ，根据两点之间的距离公式得出关于的绝对值方程，根据m的取值范围分类讨论求出的最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴可设抛物线的函数解析式为．
∵抛物线经过点，则，
解得．
∴抛物线的函数解析式为
（2）当时，
设直线的解析式为，把代入，
得
解得：
∴直线的解析式为
设 ，
则
，
当时， ，
∴当时，有最大值2．
当时，，
当时， 有最大值
2．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B．
(1)求m的值；
(2)求证：；
(3)当时，将抛物线L向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)当时，值最大，为
【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得．
（2）由得，由，，得，故．
（3）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）把代入与中，得
，，
得．
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
又，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴．
（3）如图：

∵，
∴，
∴将抛物线L为，直线为，
∵抛物线L向左平移，
∴抛物线P为，
∵抛物线L的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，
∴，
∵直线与抛物线L的对称轴交于点B，
∴，
∵点M在点B的下方，
∴．
∵抛物线L的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键．
3．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接．
①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标；
②连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）抛物线与轴交于两点，点，用待定系数法即可求解；
（2）①如图，连接交于点，根据折叠的性质，设，用含的式子表示点， 根据点在抛物线上即可求解；②如下图，过点作 SKIPIF 1 < 0 轴，可证，、、三点共线时，取到最小值，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，，
，解得，
，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：已知抛物线与轴交于两点，点，
∴令，则，解得， SKIPIF 1 < 0 ，，
∴，
①如图，连接交于点，
与关于轴对称，
，，
设，则，且，
在中，，
∴，
∴在中，，
，
点在抛物线上，
，解得或（舍去），
；
②如下图，过点作 SKIPIF 1 < 0 轴，使得，作延长线于点，
，
又，，
，
，
SKIPIF 1 < 0 、、三点共线时，取到最小值，
，，，
， SKIPIF 1 < 0 ，
在中，，，
．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，几何图形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键．
4．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点A．
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的对称轴交于点E．
①若点E为抛物线的顶点，求a的值；
②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记的面积为，记的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，，求S与x的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，
(2)①；②；S的最大值为．
【分析】本题考查了二次函数的综合题，数形结合，灵活运用分类讨论的思想是正确解答此类题的关键．
（1）令，解方程，即可求解；
（2）①先求得直线解析式为：，顶点坐标为，根据直线过点，列式计算即可求解；
②根据题意画出示意图，利用三角形面积公式列式得到，，再求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：令，则有：
，
即，
，，
，；
（2）解：直线 SKIPIF 1 < 0 经过，
，
，
直线解析式为：，
抛物线配方得，
其顶点坐标为；
①当E为顶点时：即过，
，
，（舍去），
；
②根据题意可画出示意图，
设直线交y轴于F，交抛物线对称轴于E点，且点E在第四象限并且在抛物线的上方，
则，，，
又，
，
，
．
，
∵，
∴当，S的最大值为．
5．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与轴的负半轴交于点，且，连接BC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线上位于BC下方的一动点，且点P的横坐标为t．
①求的最大面积．
②是否存在一点，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①2；②存在，1或2
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①根据三角形面积公式和二次函数最值进行求解即可；②过点作轴，根据列式，再利用，，求解即可；
本题主要考查二次函数的综合运用，掌握待定系数法和数形结合的方法是解题的关键．
【详解】（1）解： 点 SKIPIF 1 < 0 ，，且点在轴负半轴，
点．
设抛物线的解析式为．
将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，
得解得
抛物线的解析式为．
（2）①点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
．
当时，最大，最大值为2．
②存在．
如图，过点作轴，则，，，
SKIPIF 1 < 0
．
，，
，解得，，
的值为1或2．
6．（2024·安徽合肥·一模）已知二次函数（且为常数），当a取不同的值时，其图象不同．
(1)求二次函数的顶点坐标（用含a的式子表示）；
(2)若抛物线与x轴交于两点，当时，
①求抛物线的解析式；
②若抛物线顶点为C，其对称轴与x轴交于点D，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点E．点M为抛物线对称轴上一动点，过点M作，垂足N在线段上．试问是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等：
（1）把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）①根据题意可得，进而得到，解方程即可得到答案；②先求出，，，则，可得，则；证明是等腰直角三角形，得到；设，如图所示，当点M在x轴下方时，则，，可得方程，解方程即可得到答案；同理求出当点M在x轴上方时的坐标即可．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数顶点坐标为；
（2）解：①∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴抛物线解析式为；
②由（2）①可得，则，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
设，
如图所示，当点M在x轴下方时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（正值舍去），
∴；

同理当点M在x轴上方时，可求得，
综上所述，或．

7．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值；
(3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为， SKIPIF 1 < 0 ，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据已知条件得到直线，把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论；
（3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）二次函数的对称轴为直线，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）∵二次函数的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小
∴二次函数 的最大值是15，即
解得，
∵，
∴，
∴；
（3）∵在抛物线上，
∵，
当 时，m的值最小，最小值是 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键．
8．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）令直线解析式，即可求得点B的坐标，令，即可求得点C的坐标，利用待定系数法直接代入求解即可；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）过点P作轴于点H，交直线于点G，过点E作于点F，设点，则点，，证明是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：时，，，
，
时，，
，
将，代入得：
解得，
；
（2）解：，，
时，
由函数图象可得：；
（3）解：如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点G，过点E作于点F，
设点，
则点，，
，
，
，轴，
是等腰直角三角形，，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵P在直线下方，
，
，对称轴为直线，
当时，，
此时点P坐标为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，图像法解不等式，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
9．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点、两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可；
②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点、代入解析式，得：
，解得：；
∴；
（2）①∵，
∴当时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
设的解析式为，把代入，得：，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设点，则：，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值为；
②∵，
∴对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，，
∴
设点，则：，
∴，
当点为直角顶点时，则：，
∴，
解得：（舍去），或；
∴或
当点为直角顶点时：，
∴，
解得：（舍），（舍），或；
∴或；
综上：或或或．
10．（2024·安徽·一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点，其中点的横坐标为，连接 SKIPIF 1 < 0 交轴于点，连接，设的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点坐标为
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，抛物线与三角形面积综合，以及待定系数法求函数解析式，关键是待定系数法求出函数解析式．
（1）将A、B两点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式；
（2）根据点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，然后用待定系数法求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，从而求出点坐标，再根据三角形的面积公式以及 SKIPIF 1 < 0 ，求出点的横坐标，然后再代入二次函数解析式，从而得出结论．
【详解】（1）解：将、点的坐标代入抛物线中，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，
点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为，
把，坐标代入得：，
解得，
直线 SKIPIF 1 < 0 与轴的交点的坐标为
，
，
的面积为，
，
，
解得，
把代入得，
点坐标为．
11．（2024·安徽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点，与轴交于点，一次函数的图象经过，两点.
(1)求二次函数和一次函数的函数表达式；
(2)若点是二次函数图象的对称轴上的点，且，如图2，求点的坐标；
(3)点是二次函数的图像位于第一象限部分上的一动点，过点作轴的垂线交直线于点，若点的横坐标为.试探免：是否存在常数，使得的长为4？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把点、的坐标代入抛物线和直线表达式，即可求解；
（2）先求出二次函数的对称轴，设，再用两点间距离公式列方程即可求解；
（3）先得点坐标为，，再根据的长为4列出方程求解即可．
【详解】（1）把点，代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 得：
，解得：，
故二次函数的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把，代入一次函数表达式得：
，解得：，
故一次函数的表达式为：；
（2）二次函数的 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线，
由点是二次函数图象的对称轴上的点，可设，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
解得：，
；
（3）第一象限点的模坐标为.
点坐标为，
点坐标为，
的长为4，
或
SKIPIF 1 < 0 ，（舍去），
的值为，
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式是解题的关键．
12．（2024·安徽合肥·一模）如图．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，它的对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N，过点M作轴于点D，连接交对称轴于点E．已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)求与的面积之比；
(3)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，．其中．设此抛物线在点A和点P之间的部分（包含点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为﹐在点A和点Q之间的部分（包含点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为，当时，请求出m的值．
【答案】(1)函数的解析式为：，顶点坐标为；
(2)；
(3)．
【分析】
本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离和分类讨论思想，
（1）根据题意采取待定系数法即可求得解析式；
（2）根据题意求得点B和点D的坐标即可得到直线得解析式，再结合两点之间的距离即可求得面积之比；
（3）采取分类讨论：当时，，可得，；当时，，得， SKIPIF 1 < 0 ，即可求得m．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，
∴，解得，
则函数的解析式为：，
即函数的解析式为：，顶点坐标为；
（2）令，得，解得，，则点，
由（1）得点，则点，
设直线得解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
，解得，
则直线得解析式为，
∵点E为对称轴和直线，
∴，
则；
（3）①当时，，
∵点P，Q在此抛物线上，且其横坐标分别为m，
∴，，
∵，
∴，解得（舍去）；
②当时，，
同理得， SKIPIF 1 < 0 ，
则，解得， SKIPIF 1 < 0 （舍去）；
故．
13．（2024·安徽·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，则 SKIPIF 1 < 0 ，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
（2）由（1）得：，，设点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由得出点的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
（3）由（1）知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，，
，，
将代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，
，
点的横坐标为3，
当时， SKIPIF 1 < 0 ，
，
将代入抛物线解析式得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，
设点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 为的中点，
在轴上，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
在中，当 SKIPIF 1 < 0 时，，
，
将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线解析式得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：；
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，当时，，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
当时，的值最大，此时．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
14．（2024·安徽池州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②若是的中点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①9；②或
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式；
（2）①设点的坐标为，则求出直线的解析式，得到，求出，并根据二次函数的最大值得到答案；
②根据点的坐标得到，根据勾股定理求出长，由①知，，分两种情况：和，建立方程求出m，得到点D的坐标．
【详解】（1）将，代入抛物线，
得，
解得，
该抛物线的解析式为．
（2）①由抛物线的解析式为，得．
设直线的解析式为，将，代入，
得解得
直线的解析式为．
设第一象限内的点的坐标为，则，
，，
．
，
当时，有最大值，为9．
②，，，
，，，，
，，，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
．
轴于点，
，
．
以点，，为顶点的三角形与相似，只需或．
SKIPIF 1 < 0 是的中点，，，
，，．
由①知，，
．
当时，，
解得或（舍去），
．
当时，，
解得或（舍去），
．
综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
15．（2024·安徽·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)已知直线与交于点D，在第二象限与抛物线交于点P，求的值；
(3)平移抛物线，如图2，使新抛物线的顶点E是直线在第一象限部分上的一动点，过E作轴于点F，过原抛物线的顶点M作轴交新抛物线于点N，若，求点E的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)
(3)点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，则轴，可得，根据相似三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，由直线与在第二象限与抛物线交于点得 SKIPIF 1 < 0 ，，可得，即可求解；
（3）设点的坐标为，则 SKIPIF 1 < 0 ，平移后的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，求出点，可得点的坐标为，，由得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程求出的值即可得答案．
【详解】（1）解：将，代入函数解析式得，
，
解得，
此二次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：二次函数 SKIPIF 1 < 0 与轴交于点，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
直线的解析式为，
过点作轴于点，交于点，
∴轴，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
直线与在第二象限与抛物线交于点，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得，（由于点在第二象限，舍去），
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：设点的坐标为，则 SKIPIF 1 < 0 ，
平移后的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
，
点 SKIPIF 1 < 0 ，
把代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
点的坐标为，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得（舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
点的坐标为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移，解题的关键是掌握待定系数法以及二次函数的性质．
16．（2024·安徽合肥·一模）如图1，点A的坐标为（4，0），抛物线过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C为直线下方的抛物线上一动点，过点C作交直线于点D，设点C的横坐标为h，当取最大值时，求h的值；
(3)如图2，点，连接，将抛物线的图象向上平移m个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设交轴于点，由，先求出点的坐标，再求的解析式，把点的解析式代入求出点的坐标，最后把点、的坐标代入抛物线解析式求解；
（2）由点，轴，得点的纵坐标为，把点纵坐标代入直线解析式求出点的横坐标，用参数 SKIPIF 1 < 0 表示出的长，再配方求最大值．
（3）设平移后的抛物线解析式为，求出直线上横坐标为和的两点和点的坐标，当平移后的抛物线过点时有两个公共点，求出的最小值，当平移后的抛物线与直线有唯一公共点时，求出的值，从而求出的取值范围．
【详解】（1）解：设交轴于点，
∵点坐标为，
∴
∵
∴，
∴
∴点的坐标为
设的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴
解得
∴的解析式为，
∵点的纵坐标为，
∴把代入得
∴点的坐标为
∵过点、
∴
解之得
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点C在抛物线上，点C的横坐标为h
∴
∵轴，
∴点的纵坐标为
把代入
得
∴点
∴
∵点C为直线下方的抛物线上一动点
∴
∴当时，的最大值为．
（3）设的解析式为
∵直线过点、
∴
解之得
∴直线的解析式为
当时，，直线对应点为，
当时，，直线对应点为．
设抛物线的图象向上平移m（m>1）个单位得到抛物线为
当抛物线经过点时，抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 有一个公共点，
当抛物线经过点时，有抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 两个公共点．如图
当抛物线与直线有唯一的公共点时
解之得
∴当时，若抛物线与直线AE有两个交点， m的取值范围为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是掌握二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，数形结合，通过构建方程组，利用根的判别式解决问题．
17．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值；
(3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)的最大值为；
(3)点Q的坐标为．
【分析】（1）将点代入，求得，即可得解；
（2）求得点和的坐标，推出，作轴于点，交于点，得到是等腰直角三角形，，设，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）作轴于点，作轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，证明，利用正切函数的定义求得，证明是等腰直角三角形，求得，再求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，；
当时，，
解得或；
∴，，
∴，
∴，
作轴于点，交于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴有最大值，最大值为；
（3）解：作轴于点，作轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵，，，
∴， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为，
联立得，
解得或；
当时，，
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．
18．（2024·山西晋城·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，， SKIPIF 1 < 0
(2)的面积最大值为9，此时点P的坐标为
(3)或或
【分析】
（1）根据二次函数解析式分别求出自变量和函数值为0时自变量或函数值即可求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可；
（2）过点P作轴交于D，设，则，则，根据，可得，则当时，的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为
（3）设，，再分当为对角线时， 当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可。
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴；
在中，当时，解得 SKIPIF 1 < 0 或，
∴；
设直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于D，
设，则，
∴，
∵
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为
（3）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
设，，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ，
解得，
∴点Q的坐标为；
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点Q的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ，
解得，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或．
19．（2024·安徽亳州·一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点和．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．
①求证：是直角三角形；
②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为：
(2)①见详解
②存在，点P坐标为或或或
【分析】
（1）运用待定系数法解方程组即可；
（2）①利用勾股定理的逆定理证明垂直；
②分两种情况：当以及，列出比例式，求出长，再求点P坐标．
【详解】（1）（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点和，
解得
抛物线的函数表达式为；
（2）（2）①时，，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得或，
点A在点左侧，
点A坐标为，点坐标为．
点C坐标为，
，，，
SKIPIF 1 < 0 ，
是直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ；
②存在以A，D，P为顶点的三角形与相似．
分两种情况：
i）当时，，
，解得，
此时点坐标为或；
ii）当时，，
，解得，
此时点P坐标为或；
综上，点P坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理。解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用．
20．（2024·安徽·一模）已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点P是上方抛物线上的一点．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，点Q是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点P的横坐标大1，分别过点P和点Q作轴，轴，与分别与交于点D，E，连接，求的值；
(3)如图2，连接与交于点M，连接，当时，求点M的坐标．
【答案】(1)b和c的值分别为和3
(2)2
(3)点M的坐标为
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出直线的表达式为．设点P的坐标为．则，，．得到点A到的距离为，点C到的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．，．则．
（3）先求出，，则．由（2）设点，则，根据，求出．此时点P的坐标为．再求出直线的表达式为．联立直线，直线的表达式，得，解得，即可得到此时点M的坐标为．
【详解】（1）解：把点，代入，得，解得．
∴b和c的值分别为和3．
（2）由（1）可知抛物线的表达式为．
当时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴．
设直线的表达式为，把点，点代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
∵点P是上方抛物线上的一点，
∴设点P的坐标为．
∵点Q是第二象限抛物线上一点，且横坐标比点P横坐标大1，轴，轴，
∴，，．
∴点A到的距离为，点C到的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴，
．
∴．
（3）解：由抛物线的表达式可知点，则．
∵，
∴．
由（2）设点，
∴．
∴．
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得．
此时点P的坐标为．
设直线的表达式为，把点，点代入，得
，解得．
∴直线的表达式为．
由（2）知直线的表达式为．
联立直线，直线的表达式，得，解得，
∴当时，．
故此时点M的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．