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2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题06 解答题压轴题（二次函数（二）（含解析）
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这是一份2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题06 解答题压轴题（二次函数（二）（含解析），共56页。试卷主要包含了实际问题与抛物线等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
一、利用二次函数求几何图形的面积及最值
1、根据已知条件得出抛物线解析式；
2、根据解析式，用公式法或配方法求出最值及取得最值时自变量的值及相应点的坐标、
二、实际问题与抛物线
1、从实际问题中抽象出二次函数模型；
2、数形结合解决实际问题，需要注意自变量的取值范围要使实际情况有意义。
1．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积 SKIPIF 1 < 0 ＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ．若，求m的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)2或4；
【分析】（1）根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案；
（2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；
（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据面积公式列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
SKIPIF 1 < 0 ，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：， SKIPIF 1 < 0 （不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减．
1．（2024·安徽合肥·二模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3．
①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
【答案】(1)
(2)
(3)①，见解析；②
【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可．
（3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为M，计算的长即可得到坐标．
②设点N是抛物线上的一点，且，；过点N作轴，交于点G，过点G作轴于点E，确定，计算得最大值，且最大值为，过点N作于点H，则，
故的最大值为．
【详解】（1）∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．
∴，，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为，
∴平移后的解析式为．
∴抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，，
∴的对称点为，
∵，
∴平移后，
设直线的解析式为，
∴，
解得；
∴；
设直线的解析式为，
∴，
解得；
∴，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴．
（3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为M，直线与轴的交点为S，
∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．
∴，，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵抛物线的解析式为，
设点N是抛物线上的一点，且，；
过点N作轴，交于点G，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
过点G作轴于点E，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，，
∴时，取得最大值，且最大值为，
过点N作于点H，
则，
故的最大值为，
故液体的最大深度为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．
2．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
3．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略）
(1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长；
(2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点．
（ⅰ）求的长；
（ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离 SKIPIF 1 < 0 ，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】
（1）根据抛物线过点，可得a的值，令，解方程从而解决问题；
（2）（ⅰ）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得的长度；
（ⅱ）根据，，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案；
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
令，则，
解得或（舍去），
∴洒水车喷出水的最大射程为；
（2）（ⅰ）对称轴为直线，
∴点对称点为，
∵平移后仍过点，
SKIPIF 1 < 0 是由向左平移得到的，
，点C是由点B向左平移得到的，
∴点C的坐标为，即，
；
（ⅱ），
∴点F的纵坐标为1，
，
解得或（舍去）
，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为
∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，
的取值范围为．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
4．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是 SKIPIF 1 < 0 米，且恰好在点的正上方．
(1)如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．
(2)如图2，若大棚的一边是防风墙 SKIPIF 1 < 0 ，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
(3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，求长度的最大值．
【答案】(1)拋物线与轴正半轴的交点坐标为
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可；
（2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解；
（3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得，
点的坐标为，
抛物线的顶点的坐标为．
设抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
将点代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得，
抛物线的函数表达式为．
令，得，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
拋物线与轴正半轴的交点坐标为．
（2）解：设抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
它经过点，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
当时，．
要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
设抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，把点A坐标代入，求出
（3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
设所在直线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
，解得
SKIPIF 1 < 0 ．
拋物线正好经过墙角，
抛物线的函数表达式为．
设点的横坐标为．
轴，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为．
SKIPIF 1 < 0 ．
，
当时，取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
即长度的最大值为 SKIPIF 1 < 0 米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法，二次函数的性质，线段长度问题等知识，明确题意，运用方程思想与数形结合思想是解题的关键．
5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．
(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出， SKIPIF 1 < 0 时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当 SKIPIF 1 < 0 时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），
如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
6．（2022·河北保定·二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入即可求得解析式；令，即可求得点B的坐标；
（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点时的的值即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
将代入解析式得：
∴抛物线的解析式为
令，则
解得：
∴入水处B点的坐标
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵
∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，
∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点 SKIPIF 1 < 0 时，
由点D在之间可得：
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．
7．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）C距离水池面米，且与的水平距离为2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点B的坐标；
(3)小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为m，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)
【分析】（1）由题意可知过点 SKIPIF 1 < 0 和点，且，代入解析式可求得解析式；
（2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，设的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；
（3）无人机的横坐标为，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：由已知可得：过点 SKIPIF 1 < 0 和点，设其解析式为，
代入两点，由的横坐标为可得，
，解得：，
故的解析式为：；
（2）解：两条抛物线的形状相同，
设的解析式为，
已知经过点 SKIPIF 1 < 0 ，故的解析式为①，
顶点的纵坐标相同，
SKIPIF 1 < 0 的顶点的横坐标为，代入①，
可得：，
解得：，
故的解析式为②或③，
由图可知的终点的横坐标小于0，而②中不合题意，故舍去②，
令将代入，
解得或（舍去），
故点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：由题意可得：，
解得：，
又，
解得：，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
8．（2023·安徽芜湖·二模）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项目之一．如图所示，A→B→C为过山车“冲上云霄”的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
(1)求抛物线A→B→C的函数关系式；
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E （接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线C→E→F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同，求的长度；
(3)现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架、、、，且要求． 如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)
(3)当时用料最少，最少需要材料米
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出，坐标，再求出长度，通过抛物线的形状与抛物线完全相同，平移长度为，可得抛物线解析式，可得结论；
（3）先设出，横坐标，再代入解析式，分别求出， SKIPIF 1 < 0 的纵坐标，然后求出、、、之和的最小值，从而求出最少所需材料．
【详解】（1）解：由图象可设抛物线解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，
抛物线的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，，
SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 ，，
SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线的形状与抛物线完全相同，
抛物线由抛物线右平移个单位，
抛物线为： SKIPIF 1 < 0 ，
当时，，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设，， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
开口向上，
当时，最短，最短为米，
即当时用料最少，最少需要材料米．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用抛物线的性质解决实际问题．
9．（2023·安徽蚌埠·二模）如图，蚌埠花博园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，O恰在水面中心，高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．
(1)如果要求设计成水流在离距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）
(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？
【答案】(1)水池的内部半径至少要3米
(2)米
【分析】（1）设抛物线的解析式为，待定系数法，求出函数解析式，求出时的的值，即可得解；
（2）设抛物线的解析式为，待定系数法求出解析式，将解析式转化为顶点式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵水流在离距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，
∴设抛物线的解析式为，由题意，得：抛物线过点，
∴，解得：，
∴．
当时，
，
解得：（舍去），．
∴水池的内部半径至少要3米；
（2）根据水流喷出的抛物线形状与（1）相同，得到新的抛物线解析式的，
设抛物线的解析式为，由题意，得：抛物线过点，
∴，
解得：，
∴，
∴此时水流达到的最高点与水面的距离应是米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
10．（2023·安徽合肥·二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围，
【答案】(1)；②石块能飞越防御墙；
(2)
【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解；
②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解．
（2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米，
∴抛物线解析式为：，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
∴，
当时，，
∴石块能飞越防御墙；
（2）∵，，
∴
当经过点，时，
，解得：.
当经过点，时，
，解得：
∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
11．（2023·安徽亳州·模拟预测）万达乐园的过山车是其经典项目之一．如图，B→D→C为过山车的—部分轨道，若这部分轨道可以用抛物线来刻画，点B到y轴的水平距离米，点B到工轴（代表地面）的距离米，B，C间的水平距离为12米．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当过山车运动到C处时，平行于地面向前运动了2米至H点，又进入下一段轨道H→F→G．已知轨道H→F→G的形状与轨道B→D→C完全相同，若某名游客从B→D→C轨道滑行至H→F→G轨道，起点和终点距离地面均为8米，则该游客移动的最大水平距离是多少？（结果保留根号）
(3)已知轨道B→M→N→C和轨道B→D→C关于对称，现需要在轨道B→M→N→C下进行安全加固，建造支架，且，支架的价格是元/米，如何设计支架，使得造价最低？最低造价为多少元？
【答案】(1)
(2)米
(3)两个支架相距3.6米时，造假最低为元
【分析】（1）根据题意确定，即可得出抛物线的对称轴，然后将点B代入解析式即可求解；
（2）根据题意分析：当游客最开始实在段上距离地面8米，最后位置是在段上距离地面8米处停下时，水平移动的距离最大，然后确定出抛物线的解析式，再代入求解即可；
（3）根据题意确定抛物线解析式为，设点，则点，将将点P和点Q的横坐标代入解析式，得出的解析式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵B到y轴的水平距离米，点B到工轴（代表地面）的距离米，B，C间的水平距离为12米．
∴，
∴抛物线的对称轴为：，
∴抛物线的解析式为：
将点B代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当游客最开始实在段上距离地面8米，最后位置是在段上距离地面8米处停下时，水平移动的距离最大，
当时，在抛物线段上，，
解得：（不符合题意，舍去），
∵B，C间的水平距离为12米，过山车运动到C处时，平行于地面向前运动了2米至H点，
∴抛物线为抛物线向右平移12+2=14个单位长度后的图象，
∴抛物线的解析式为：，
当时，在抛物线段上，，
解得：（不符合题意，舍去），
∴该游客移动的最大水平距离为：米；
（3）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为，
∴点D到的距离为米，
设点，则点，
∵抛物线与抛物线关于对称，
∴抛物线的顶点坐标为即
∴抛物线解析式为，
将点P和点Q的横坐标代入解析式得：，，
∴，
关于a的方程的对称轴为，
当时，取得最小值，
∴，
∴最低造价为元，
∴两个支架相距3.6米时，造假最低为元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、正确理解题意是解题的关键．
12．（2023·安徽合肥·二模）如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为3，前方有六个台阶（各拐点均为90°），每个台阶的高为2，宽为2，楼梯平台到x轴距离，从y轴上的点C处向右上方弹射出一个小球P（小球视为点），飞行路线为抛物线，当点P落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与L形状相同的抛物线．
(1)通过计算判断小球P第一次会落在哪个台阶上；
(2)若小球P第二次的落点在台阶中点M上，求小球P第二次飞行路线的解析式；
(3)若小球P再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），接收装置最大截面为矩形 SKIPIF 1 < 0 ，点E横坐标为16，，，求出小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值．
【答案】(1)台阶上．
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，第二个台阶的左端点坐标为，右端点坐标为，计算，时的y值，运用夹逼法确定交点位置．
（2）根据（1）得到P的起点坐标为，再次着地左端点横坐标为，纵坐标为，结合台阶宽为2，得到点P的落地点坐标为，设解析式求解即可．
（3）根据（2）得到P的起点坐标为，再次着地近地点坐标为，远地点坐标为，设解析式求解即可．
【详解】（1）∵楼梯平台宽为3，每个台阶的高为2，宽为2，，
∴第二个台阶的左端点坐标为，右端点坐标为，
当时，；
当时，；
故与抛物线交点在， 之间，
当时，，
解得（舍去）
∴小球落在第二个台阶上，此时点．
（2）根据（1）得到P的起点坐标为，再次着地左端点横坐标为，纵坐标为，结合台阶宽为2，得到点P的落地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为．
（3）根据（2）得到P的起点坐标为，近地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为，
此时，函数的最小值为．
根据（2）得到P的起点坐标为，远地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为，
此时，函数的最小值为．
∵，
∴小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数的最值，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值是解题的关键．
13．（2023·河北唐山·一模）为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图 为喷水口喷水的横截面，该喷水口 SKIPIF 1 < 0 离地竖直高度 为 ，可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其中 ，其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点 离喷水口的水平距离为，高出喷水口， 喷水口到绿化带的水平距离 为（单位： SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)通过计算求点的坐标；
(3)绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，米；
(2)
(3)
【分析】本题是二次函数的实际应用，
（1）由题意可知：顶点坐标， SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，令 SKIPIF 1 < 0 即可求出米；
（2）利用 SKIPIF 1 < 0 关于对称轴 SKIPIF 1 < 0 的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为： SKIPIF 1 < 0 ，进一步可求出，即可求解．
（3）当点 SKIPIF 1 < 0 ，d有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，d有最大值，；所以．
【详解】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
将其代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为：，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或，
∵点C在x轴的正半轴，
∴，即喷出水的最大射程米．
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 关于对称轴 SKIPIF 1 < 0 的对称点为：，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，
∴下边缘抛物线为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点B在正半轴上，
∴．
（3）解：绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，
此时
则，
当d有最小值，
当上边缘抛物线过点时，有最大值，
∵，．
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或，
结合图象可知： SKIPIF 1 < 0
∴d的最大值为：；
∴．
14．（2024·浙江杭州·模拟预测）
【答案】任务1：
任务2：的高度为米
任务3：
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，
任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论；
任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解．
任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论．
【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，
∴左侧抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
把 SKIPIF 1 < 0 代入得，
∴即．
任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系
∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．
设的最高高度为．
∴设图3中抛物线解析式为
由（1）可得图2中的抛物线解析式为:
令，得，
解得（舍去），，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 代入
解得：
∴的最高高度为米
任务3：如图．
设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为
∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵抛物线形状相同，
∴抛物线表达式为，
把代入得，
解得或（舍去），
∴，
∵喷出的水柱高度不低于，
∴
∴
又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．
由（2）可得
代入
即
解得：
∴
∴喷水装置高度的变化范围为．
15．（2024·河北石家庄·一模）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点．
(1)求抛物线和的函数表达式；
(2)当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；
(3)点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中 SKIPIF 1 < 0 ）的最大值及此时点M的坐标．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，的函数表达式为
(2)或 SKIPIF 1 < 0
(3)和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出滑道和 的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，则，，整理出 SKIPIF 1 < 0 关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标．
【详解】（1）解：滑道； 的顶点为点，
即，
点到点的水平距离为2，
将 SKIPIF 1 < 0 代入，
SKIPIF 1 < 0
点．
点与点关于直线对称，
点 SKIPIF 1 < 0 ．
滑道 与滑道 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，
可设抛物线 的函数表达式为．
将点， SKIPIF 1 < 0 分别代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
将，代入 SKIPIF 1 < 0 得：
，解得，
直线的函数表达式为．
点为抛物线 的顶点，
抛物线 不存在 SKIPIF 1 < 0 的点．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，．
，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据图像可知 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 时，过山车到出发点的水平距离为：或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则，，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
点为上一点，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的值随的增大而增大，
当时， SKIPIF 1 < 0 ，
当时，和长度之和的最大值为4．
此时的坐标为．
16．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：见解析，；任务2：水流无法喷灌到草坡最远处,理由见解析；任务3：树可以被灌溉到，理由见解析；的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，解直角三角形的应用，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
任务1：根据题意建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为，将点、代入求出、的值，即可得到抛物线的函数表达式；
任务2：设草坡最远处为点，过点作 SKIPIF 1 < 0 轴于点，结合坡度解直角三角形，求出，，得到，再求出当 SKIPIF 1 < 0 时，的值，比较即可得到答案；
任务3：延长交轴于点，结合坡度解直角三角形，得到，再求出当 SKIPIF 1 < 0 时，的值，比较即可得到答案．由题意可知，移动后的解析式为，求出，将点代入解析式求出的值，即可得到的取值范围．
【详解】解：任务1：
如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数表达式为，
由图象可知，抛物线过点、，
则，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
任务2：
水流无法喷灌到草坡最远处,理由如下：
如图，设草坡最远处为点，过点作 SKIPIF 1 < 0 轴于点，
由题意可知，喷灌架置于坡度为 SKIPIF 1 < 0 的坡地底部点处． 草坡的长度为米，
∴，，
设，，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
在抛物线中，当 SKIPIF 1 < 0 时，，
∵，
∴水流无法喷灌到草坡最远处；
任务3：
树能否被灌溉到，理由如下：
由题意可知，延长交轴于点，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，，
∵坡度为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴，，
在抛物线中，当 SKIPIF 1 < 0 时，，
∵，
∴树可以被灌溉到，
由题意可知，将喷灌架向正后方向移动米，则移动后的解析式为，
当 SKIPIF 1 < 0 时，，
若要使树被喷灌到，则，
解得：，（舍），
∴．
17．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留）
(3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度．
【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的解析式为：
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)杯中液体深度为或
【分析】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ，,分别求出 SKIPIF 1 < 0 ，,即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，
将点代入，得，解得．
抛物线的解析式为：．
设抛物线的解析式为：，将点代入，
得，解得．
抛物线FCG的解析式为：．
（2）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为，
由题可知，当男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为时，．
在抛物线中：将代入解析式得，
，
两者液体最上层表面圆面积之差为；
（3）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为，
当时，
即
解得．此时深度为．
当时，，
即．解得．
此时深度为．综上所述：杯中液体深度为或．
18．（2024·河南信阳·二模）安阳市水冶镇附近有一个马氏庄园，庄园中的建筑房顶为悬山顶式构造，独特的屋顶线条设计可以在下雨时保证雨水流下时流到院中地面某处．如图为一栋建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线落到院中地面上点（可视为抛物线顶点）．若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，请根据题意，解决下列问题．
(1)建立合适的坐标系，求出雨水从顶点落到地面点的抛物线表达式；
(2)现计划在院中安放一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，可以对水资源重复利用，为使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心 SKIPIF 1 < 0 点，请按设计计算雨水池的底面中心到墙面的距离的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的应用：
（1）以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系，求得，设抛物线解析式为，运用待定系数法求解即可；
（2）求出点 SKIPIF 1 < 0 与之间的距离即可解决问题．
【详解】（1）解：以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系，
，，，
∴
，.
设抛物线解析式为，
将点代入解析式可得，，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：若想让雨滴正好落在 SKIPIF 1 < 0 点，则点 SKIPIF 1 < 0 需在所在的抛物线上，
，，则与 SKIPIF 1 < 0 的距离为，
可设，，
将代入解析式可得，
，
解得，
19．（2023·河北邯郸·二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）解：根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数的性质，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，解题的关键是求抛物线解析式．
20．（2024·陕西西安·一模）2023年5月28日，C919商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪），如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车从机翼两侧向斜上方喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱恰好在抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 处相遇，此时相遇点 SKIPIF 1 < 0 距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．如图2，以地面两辆消防车所在的直线为轴，过点 SKIPIF 1 < 0 所在的铅直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)写出点B、H的坐标，并求出抛物线的关系式；
(2)两辆消防车同时向后移动相同的距离，此时两个水柱的交点记为，若 SKIPIF 1 < 0 ，请求出两辆消防车移动的距离．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，；
(2)两辆消防车应同时向后移动10米．
【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入求得a的值即可；
（2）由题知，可得 SKIPIF 1 < 0 ． 设平移的后抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ， 将点 SKIPIF 1 < 0 代入求得m的值即可解答．
【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
为抛物线的顶点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，
；
（2）由题知，
．
同时移动后两条水柱形成的抛物线关于轴对称，因此就是平移后任意一条抛物线与轴的交点，设右侧消防车向后移动了米，
则平移的后抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入上式，解得：或-10（舍），
因此要使 SKIPIF 1 < 0 ，两辆消防车应同时向后移动10米．
设计喷水方案
素材1
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米
素材2
如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．
问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2
选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度
若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度．
任务3
选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围
若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围．
素材
如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最大高度米．
素材
现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米．
问题解决
任务
请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务
当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务
草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围．
素材
内容
素材1
如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分：
杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
通用的解题思路：
一、利用二次函数求几何图形的面积及最值
1、根据已知条件得出抛物线解析式；
2、根据解析式，用公式法或配方法求出最值及取得最值时自变量的值及相应点的坐标、
二、实际问题与抛物线
1、从实际问题中抽象出二次函数模型；
2、数形结合解决实际问题，需要注意自变量的取值范围要使实际情况有意义。
1．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积 SKIPIF 1 < 0 ＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ．若，求m的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)2或4；
【分析】（1）根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案；
（2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；
（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据面积公式列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
SKIPIF 1 < 0 ，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：， SKIPIF 1 < 0 （不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减．
1．（2024·安徽合肥·二模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3．
①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
【答案】(1)
(2)
(3)①，见解析；②
【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可．
（3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为M，计算的长即可得到坐标．
②设点N是抛物线上的一点，且，；过点N作轴，交于点G，过点G作轴于点E，确定，计算得最大值，且最大值为，过点N作于点H，则，
故的最大值为．
【详解】（1）∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．
∴，，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为，
∴平移后的解析式为．
∴抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，，
∴的对称点为，
∵，
∴平移后，
设直线的解析式为，
∴，
解得；
∴；
设直线的解析式为，
∴，
解得；
∴，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴．
（3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为M，直线与轴的交点为S，
∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．
∴，，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵抛物线的解析式为，
设点N是抛物线上的一点，且，；
过点N作轴，交于点G，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
过点G作轴于点E，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，，
∴时，取得最大值，且最大值为，
过点N作于点H，
则，
故的最大值为，
故液体的最大深度为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．
2．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
3．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略）
(1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长；
(2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点．
（ⅰ）求的长；
（ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离 SKIPIF 1 < 0 ，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】
（1）根据抛物线过点，可得a的值，令，解方程从而解决问题；
（2）（ⅰ）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得的长度；
（ⅱ）根据，，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案；
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
令，则，
解得或（舍去），
∴洒水车喷出水的最大射程为；
（2）（ⅰ）对称轴为直线，
∴点对称点为，
∵平移后仍过点，
SKIPIF 1 < 0 是由向左平移得到的，
，点C是由点B向左平移得到的，
∴点C的坐标为，即，
；
（ⅱ），
∴点F的纵坐标为1，
，
解得或（舍去）
，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为
∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，
的取值范围为．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
4．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是 SKIPIF 1 < 0 米，且恰好在点的正上方．
(1)如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．
(2)如图2，若大棚的一边是防风墙 SKIPIF 1 < 0 ，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
(3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，求长度的最大值．
【答案】(1)拋物线与轴正半轴的交点坐标为
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可；
（2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解；
（3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得，
点的坐标为，
抛物线的顶点的坐标为．
设抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
将点代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得，
抛物线的函数表达式为．
令，得，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
拋物线与轴正半轴的交点坐标为．
（2）解：设抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
它经过点，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
当时，．
要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
设抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，把点A坐标代入，求出
（3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
设所在直线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
，解得
SKIPIF 1 < 0 ．
拋物线正好经过墙角，
抛物线的函数表达式为．
设点的横坐标为．
轴，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为．
SKIPIF 1 < 0 ．
，
当时，取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
即长度的最大值为 SKIPIF 1 < 0 米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法，二次函数的性质，线段长度问题等知识，明确题意，运用方程思想与数形结合思想是解题的关键．
5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．
(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出， SKIPIF 1 < 0 时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当 SKIPIF 1 < 0 时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），
如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
6．（2022·河北保定·二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入即可求得解析式；令，即可求得点B的坐标；
（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点时的的值即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
将代入解析式得：
∴抛物线的解析式为
令，则
解得：
∴入水处B点的坐标
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵
∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，
∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点 SKIPIF 1 < 0 时，
由点D在之间可得：
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．
7．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）C距离水池面米，且与的水平距离为2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点B的坐标；
(3)小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为m，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)
【分析】（1）由题意可知过点 SKIPIF 1 < 0 和点，且，代入解析式可求得解析式；
（2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，设的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；
（3）无人机的横坐标为，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：由已知可得：过点 SKIPIF 1 < 0 和点，设其解析式为，
代入两点，由的横坐标为可得，
，解得：，
故的解析式为：；
（2）解：两条抛物线的形状相同，
设的解析式为，
已知经过点 SKIPIF 1 < 0 ，故的解析式为①，
顶点的纵坐标相同，
SKIPIF 1 < 0 的顶点的横坐标为，代入①，
可得：，
解得：，
故的解析式为②或③，
由图可知的终点的横坐标小于0，而②中不合题意，故舍去②，
令将代入，
解得或（舍去），
故点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：由题意可得：，
解得：，
又，
解得：，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
8．（2023·安徽芜湖·二模）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项目之一．如图所示，A→B→C为过山车“冲上云霄”的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
(1)求抛物线A→B→C的函数关系式；
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E （接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线C→E→F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同，求的长度；
(3)现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架、、、，且要求． 如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)
(3)当时用料最少，最少需要材料米
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出，坐标，再求出长度，通过抛物线的形状与抛物线完全相同，平移长度为，可得抛物线解析式，可得结论；
（3）先设出，横坐标，再代入解析式，分别求出， SKIPIF 1 < 0 的纵坐标，然后求出、、、之和的最小值，从而求出最少所需材料．
【详解】（1）解：由图象可设抛物线解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，
抛物线的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，，
SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 ，，
SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线的形状与抛物线完全相同，
抛物线由抛物线右平移个单位，
抛物线为： SKIPIF 1 < 0 ，
当时，，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设，， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
开口向上，
当时，最短，最短为米，
即当时用料最少，最少需要材料米．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用抛物线的性质解决实际问题．
9．（2023·安徽蚌埠·二模）如图，蚌埠花博园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，O恰在水面中心，高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．
(1)如果要求设计成水流在离距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）
(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？
【答案】(1)水池的内部半径至少要3米
(2)米
【分析】（1）设抛物线的解析式为，待定系数法，求出函数解析式，求出时的的值，即可得解；
（2）设抛物线的解析式为，待定系数法求出解析式，将解析式转化为顶点式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵水流在离距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，
∴设抛物线的解析式为，由题意，得：抛物线过点，
∴，解得：，
∴．
当时，
，
解得：（舍去），．
∴水池的内部半径至少要3米；
（2）根据水流喷出的抛物线形状与（1）相同，得到新的抛物线解析式的，
设抛物线的解析式为，由题意，得：抛物线过点，
∴，
解得：，
∴，
∴此时水流达到的最高点与水面的距离应是米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
10．（2023·安徽合肥·二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围，
【答案】(1)；②石块能飞越防御墙；
(2)
【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解；
②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解．
（2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米，
∴抛物线解析式为：，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
∴，
当时，，
∴石块能飞越防御墙；
（2）∵，，
∴
当经过点，时，
，解得：.
当经过点，时，
，解得：
∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
11．（2023·安徽亳州·模拟预测）万达乐园的过山车是其经典项目之一．如图，B→D→C为过山车的—部分轨道，若这部分轨道可以用抛物线来刻画，点B到y轴的水平距离米，点B到工轴（代表地面）的距离米，B，C间的水平距离为12米．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当过山车运动到C处时，平行于地面向前运动了2米至H点，又进入下一段轨道H→F→G．已知轨道H→F→G的形状与轨道B→D→C完全相同，若某名游客从B→D→C轨道滑行至H→F→G轨道，起点和终点距离地面均为8米，则该游客移动的最大水平距离是多少？（结果保留根号）
(3)已知轨道B→M→N→C和轨道B→D→C关于对称，现需要在轨道B→M→N→C下进行安全加固，建造支架，且，支架的价格是元/米，如何设计支架，使得造价最低？最低造价为多少元？
【答案】(1)
(2)米
(3)两个支架相距3.6米时，造假最低为元
【分析】（1）根据题意确定，即可得出抛物线的对称轴，然后将点B代入解析式即可求解；
（2）根据题意分析：当游客最开始实在段上距离地面8米，最后位置是在段上距离地面8米处停下时，水平移动的距离最大，然后确定出抛物线的解析式，再代入求解即可；
（3）根据题意确定抛物线解析式为，设点，则点，将将点P和点Q的横坐标代入解析式，得出的解析式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵B到y轴的水平距离米，点B到工轴（代表地面）的距离米，B，C间的水平距离为12米．
∴，
∴抛物线的对称轴为：，
∴抛物线的解析式为：
将点B代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当游客最开始实在段上距离地面8米，最后位置是在段上距离地面8米处停下时，水平移动的距离最大，
当时，在抛物线段上，，
解得：（不符合题意，舍去），
∵B，C间的水平距离为12米，过山车运动到C处时，平行于地面向前运动了2米至H点，
∴抛物线为抛物线向右平移12+2=14个单位长度后的图象，
∴抛物线的解析式为：，
当时，在抛物线段上，，
解得：（不符合题意，舍去），
∴该游客移动的最大水平距离为：米；
（3）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为，
∴点D到的距离为米，
设点，则点，
∵抛物线与抛物线关于对称，
∴抛物线的顶点坐标为即
∴抛物线解析式为，
将点P和点Q的横坐标代入解析式得：，，
∴，
关于a的方程的对称轴为，
当时，取得最小值，
∴，
∴最低造价为元，
∴两个支架相距3.6米时，造假最低为元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、正确理解题意是解题的关键．
12．（2023·安徽合肥·二模）如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为3，前方有六个台阶（各拐点均为90°），每个台阶的高为2，宽为2，楼梯平台到x轴距离，从y轴上的点C处向右上方弹射出一个小球P（小球视为点），飞行路线为抛物线，当点P落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与L形状相同的抛物线．
(1)通过计算判断小球P第一次会落在哪个台阶上；
(2)若小球P第二次的落点在台阶中点M上，求小球P第二次飞行路线的解析式；
(3)若小球P再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），接收装置最大截面为矩形 SKIPIF 1 < 0 ，点E横坐标为16，，，求出小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值．
【答案】(1)台阶上．
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，第二个台阶的左端点坐标为，右端点坐标为，计算，时的y值，运用夹逼法确定交点位置．
（2）根据（1）得到P的起点坐标为，再次着地左端点横坐标为，纵坐标为，结合台阶宽为2，得到点P的落地点坐标为，设解析式求解即可．
（3）根据（2）得到P的起点坐标为，再次着地近地点坐标为，远地点坐标为，设解析式求解即可．
【详解】（1）∵楼梯平台宽为3，每个台阶的高为2，宽为2，，
∴第二个台阶的左端点坐标为，右端点坐标为，
当时，；
当时，；
故与抛物线交点在， 之间，
当时，，
解得（舍去）
∴小球落在第二个台阶上，此时点．
（2）根据（1）得到P的起点坐标为，再次着地左端点横坐标为，纵坐标为，结合台阶宽为2，得到点P的落地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为．
（3）根据（2）得到P的起点坐标为，近地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为，
此时，函数的最小值为．
根据（2）得到P的起点坐标为，远地点坐标为，
设解析式，
得，
解得．
故解析式为，
此时，函数的最小值为．
∵，
∴小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数的最值，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值是解题的关键．
13．（2023·河北唐山·一模）为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图 为喷水口喷水的横截面，该喷水口 SKIPIF 1 < 0 离地竖直高度 为 ，可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其中 ，其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点 离喷水口的水平距离为，高出喷水口， 喷水口到绿化带的水平距离 为（单位： SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)通过计算求点的坐标；
(3)绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，米；
(2)
(3)
【分析】本题是二次函数的实际应用，
（1）由题意可知：顶点坐标， SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，令 SKIPIF 1 < 0 即可求出米；
（2）利用 SKIPIF 1 < 0 关于对称轴 SKIPIF 1 < 0 的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为： SKIPIF 1 < 0 ，进一步可求出，即可求解．
（3）当点 SKIPIF 1 < 0 ，d有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，d有最大值，；所以．
【详解】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
将其代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为：，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或，
∵点C在x轴的正半轴，
∴，即喷出水的最大射程米．
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 关于对称轴 SKIPIF 1 < 0 的对称点为：，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，
∴下边缘抛物线为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点B在正半轴上，
∴．
（3）解：绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，
此时
则，
当d有最小值，
当上边缘抛物线过点时，有最大值，
∵，．
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或，
结合图象可知： SKIPIF 1 < 0
∴d的最大值为：；
∴．
14．（2024·浙江杭州·模拟预测）
【答案】任务1：
任务2：的高度为米
任务3：
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，
任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论；
任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解．
任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论．
【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，
∴左侧抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
把 SKIPIF 1 < 0 代入得，
∴即．
任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系
∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．
设的最高高度为．
∴设图3中抛物线解析式为
由（1）可得图2中的抛物线解析式为:
令，得，
解得（舍去），，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 代入
解得：
∴的最高高度为米
任务3：如图．
设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为
∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵抛物线形状相同，
∴抛物线表达式为，
把代入得，
解得或（舍去），
∴，
∵喷出的水柱高度不低于，
∴
∴
又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．
由（2）可得
代入
即
解得：
∴
∴喷水装置高度的变化范围为．
15．（2024·河北石家庄·一模）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点．
(1)求抛物线和的函数表达式；
(2)当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；
(3)点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中 SKIPIF 1 < 0 ）的最大值及此时点M的坐标．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，的函数表达式为
(2)或 SKIPIF 1 < 0
(3)和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出滑道和 的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，则，，整理出 SKIPIF 1 < 0 关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标．
【详解】（1）解：滑道； 的顶点为点，
即，
点到点的水平距离为2，
将 SKIPIF 1 < 0 代入，
SKIPIF 1 < 0
点．
点与点关于直线对称，
点 SKIPIF 1 < 0 ．
滑道 与滑道 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，
可设抛物线 的函数表达式为．
将点， SKIPIF 1 < 0 分别代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
将，代入 SKIPIF 1 < 0 得：
，解得，
直线的函数表达式为．
点为抛物线 的顶点，
抛物线 不存在 SKIPIF 1 < 0 的点．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，．
，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据图像可知 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 时，过山车到出发点的水平距离为：或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则，，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
点为上一点，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的值随的增大而增大，
当时， SKIPIF 1 < 0 ，
当时，和长度之和的最大值为4．
此时的坐标为．
16．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：见解析，；任务2：水流无法喷灌到草坡最远处,理由见解析；任务3：树可以被灌溉到，理由见解析；的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，解直角三角形的应用，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
任务1：根据题意建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为，将点、代入求出、的值，即可得到抛物线的函数表达式；
任务2：设草坡最远处为点，过点作 SKIPIF 1 < 0 轴于点，结合坡度解直角三角形，求出，，得到，再求出当 SKIPIF 1 < 0 时，的值，比较即可得到答案；
任务3：延长交轴于点，结合坡度解直角三角形，得到，再求出当 SKIPIF 1 < 0 时，的值，比较即可得到答案．由题意可知，移动后的解析式为，求出，将点代入解析式求出的值，即可得到的取值范围．
【详解】解：任务1：
如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数表达式为，
由图象可知，抛物线过点、，
则，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
任务2：
水流无法喷灌到草坡最远处,理由如下：
如图，设草坡最远处为点，过点作 SKIPIF 1 < 0 轴于点，
由题意可知，喷灌架置于坡度为 SKIPIF 1 < 0 的坡地底部点处． 草坡的长度为米，
∴，，
设，，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
在抛物线中，当 SKIPIF 1 < 0 时，，
∵，
∴水流无法喷灌到草坡最远处；
任务3：
树能否被灌溉到，理由如下：
由题意可知，延长交轴于点，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，，
∵坡度为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴，，
在抛物线中，当 SKIPIF 1 < 0 时，，
∵，
∴树可以被灌溉到，
由题意可知，将喷灌架向正后方向移动米，则移动后的解析式为，
当 SKIPIF 1 < 0 时，，
若要使树被喷灌到，则，
解得：，（舍），
∴．
17．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留）
(3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度．
【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的解析式为：
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)杯中液体深度为或
【分析】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ，,分别求出 SKIPIF 1 < 0 ，,即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，
将点代入，得，解得．
抛物线的解析式为：．
设抛物线的解析式为：，将点代入，
得，解得．
抛物线FCG的解析式为：．
（2）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为，
由题可知，当男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为时，．
在抛物线中：将代入解析式得，
，
两者液体最上层表面圆面积之差为；
（3）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为，
当时，
即
解得．此时深度为．
当时，，
即．解得．
此时深度为．综上所述：杯中液体深度为或．
18．（2024·河南信阳·二模）安阳市水冶镇附近有一个马氏庄园，庄园中的建筑房顶为悬山顶式构造，独特的屋顶线条设计可以在下雨时保证雨水流下时流到院中地面某处．如图为一栋建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线落到院中地面上点（可视为抛物线顶点）．若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，请根据题意，解决下列问题．
(1)建立合适的坐标系，求出雨水从顶点落到地面点的抛物线表达式；
(2)现计划在院中安放一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，可以对水资源重复利用，为使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心 SKIPIF 1 < 0 点，请按设计计算雨水池的底面中心到墙面的距离的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的应用：
（1）以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系，求得，设抛物线解析式为，运用待定系数法求解即可；
（2）求出点 SKIPIF 1 < 0 与之间的距离即可解决问题．
【详解】（1）解：以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系，
，，，
∴
，.
设抛物线解析式为，
将点代入解析式可得，，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：若想让雨滴正好落在 SKIPIF 1 < 0 点，则点 SKIPIF 1 < 0 需在所在的抛物线上，
，，则与 SKIPIF 1 < 0 的距离为，
可设，，
将代入解析式可得，
，
解得，
19．（2023·河北邯郸·二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）解：根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数的性质，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，解题的关键是求抛物线解析式．
20．（2024·陕西西安·一模）2023年5月28日，C919商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪），如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车从机翼两侧向斜上方喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱恰好在抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 处相遇，此时相遇点 SKIPIF 1 < 0 距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．如图2，以地面两辆消防车所在的直线为轴，过点 SKIPIF 1 < 0 所在的铅直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)写出点B、H的坐标，并求出抛物线的关系式；
(2)两辆消防车同时向后移动相同的距离，此时两个水柱的交点记为，若 SKIPIF 1 < 0 ，请求出两辆消防车移动的距离．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，；
(2)两辆消防车应同时向后移动10米．
【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入求得a的值即可；
（2）由题知，可得 SKIPIF 1 < 0 ． 设平移的后抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ， 将点 SKIPIF 1 < 0 代入求得m的值即可解答．
【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
为抛物线的顶点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，
；
（2）由题知，
．
同时移动后两条水柱形成的抛物线关于轴对称，因此就是平移后任意一条抛物线与轴的交点，设右侧消防车向后移动了米，
则平移的后抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入上式，解得：或-10（舍），
因此要使 SKIPIF 1 < 0 ，两辆消防车应同时向后移动10米．
设计喷水方案
素材1
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米
素材2
如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．
问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2
选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度
若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度．
任务3
选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围
若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围．
素材
如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最大高度米．
素材
现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米．
问题解决
任务
请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务
当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务
草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围．
素材
内容
素材1
如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分：
杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
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