2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题10 解答题压轴题（几何探究）（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题10 解答题压轴题（几何探究）（含解析），共69页。试卷主要包含了十字架模型，动态问题中的线段长度最值，奔驰模型，线段长度等内容，欢迎下载使用。


通用的解题思路：
解决矩形翻折问题：
利用折叠和矩形性质找出对应线段关系；
在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解。
2、十字架模型：

3、动态问题中的线段长度最值
通常利用三点共线解决，关键在于找到与这条线段两个端点之间恒为定长的点。
4、奔驰模型：
解题方法是旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证全等，结合勾股定理的逆定理得到结论。
5、线段长度、比值及最值问题：
（1）特殊图形、全等、相似、勾股定理；
（2）圆中垂径定理。
1．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】
（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交于点Q，点P在边的延长线上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接 SKIPIF 1 < 0 ，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出；
（3），作 SKIPIF 1 < 0 于点N，证明，得出．证明，得出，求出．
【详解】（1）证明：在正方形中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图1，作 SKIPIF 1 < 0 于点N，如图所示：

∵， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
如图2，作 SKIPIF 1 < 0 于点N，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
2．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上， SKIPIF 1 < 0 （为常数）．

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空：______；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求的值．
【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②根据正方形的性质可得，，，利用证明即可；
（2）过点作交于，利用平行线的性质及正方形的性质易证得，，可证明，利用相似三角形性质即可得出答案；
（3）过点作交于，作于 SKIPIF 1 < 0 ，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：，
∵将的直角顶点与点重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1；
②证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（2），理由如下：
过点作交于，

∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）过点作交于，作于 SKIPIF 1 < 0 ，作于，

则，
∴，
即，
∴，
由（2）和已知条件可得：， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令，则，，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
3．（2023·江苏盐城·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】
（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.
【深入探究】
（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析
【分析】（1）由折叠可得： SKIPIF 1 < 0 ，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，， SKIPIF 1 < 0 ，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得： SKIPIF 1 < 0 ，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；
（4）过点作于，设交于 SKIPIF 1 < 0 ，设，，利用解直角三角形可得， SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形．
理由：设与交于点，如图，
由折叠得： SKIPIF 1 < 0 ，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
（2）证明：四边形是矩形，，，，
，，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，，
，
SKIPIF 1 < 0 ，即，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
， SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
点，，在同一条直线上．
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，
则，
由折叠得：，，
，，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
；
（4） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
如图，过点作于，设交于 SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠得： SKIPIF 1 < 0 ，，，
设，，
由（3）得： SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
即．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
1．（2023·安徽合肥·一模）通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．
【答案】(1)1，详见解析
(2)，详见解析
(3)，详见解析
【分析】（1）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，在正方形中，，证明，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，利用在长方形中，，证明，再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点C作于点M．设交 SKIPIF 1 < 0 于点O，证明，推出，可得结论．
【详解】（1），理由如下：
如图1，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：1；
（2）如图2，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，

∴，
在长方形中，，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，过点C作于点M，设交 SKIPIF 1 < 0 于点O，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
2．（2024·安徽阜阳·一模）【数学模型】
（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，求证：．
【模型迁移】
（2）如图2，在矩形中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点在边上，点，分别在边， 上，且，求的值．
【模型应用】
（3）如图3，在四边形中，， SKIPIF 1 < 0 ，，，点，分别在边，上，且，垂足为，求的值．
【答案】（1）见详解（2）（3）
【分析】（1）证明，即可证明结论；
（2）过点作于点 SKIPIF 1 < 0 ，首先证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质即可获得答案；
（3）过作 SKIPIF 1 < 0 于点，交的延长线于点，连接，首先证明四边形为矩形，易得 SKIPIF 1 < 0 ，，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得，易知 SKIPIF 1 < 0 ，结合，易得，即可证明，由相似三角形的性质可得，设 SKIPIF 1 < 0 ，则，设，则，结合勾股定理可解得，然后证明，结合相似三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，
∴， SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如下图，过点作于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形为矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过作 SKIPIF 1 < 0 于点，交的延长线于点，连接，如下图，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则，设，则，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2022·安徽滁州·二模）【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点在线段上，，求证：平分；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连接交于点．若，
求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分， SKIPIF 1 < 0 ，点在上，，若 SKIPIF 1 < 0 ，，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）证即可；
（2）证即可；
（3）在上取一点，使得，连接．证可推出，可证，进一步可证，即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴
∴平分
（2）证明：∵
∴
∵
∴
∴，
由（1）可知：
∴
∴
（3）解：如图，在上取一点，使得，连接

∵平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵,
∴
∴
∵
∴
解得：
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．掌握相关内容进行几何推导是解题关键．
4．（2024·广东惠州·一模）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形，E为对角线上一点．
【感知】（1）如图1，连接 SKIPIF 1 < 0 ，．求证：；
【探究】（2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G．
①求证：；
②若G为的中点，且，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【应用】（3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，．求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解；②；（3）证明见解析
【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）①先判断出，进而判断出即可得出结论；
②过点F作于H，先求出，进而求出，进而求出，最后用勾股定理即可求出答案；
（3）在中，由勾股定理得，由（1）知，，由（2）知，，可证明，则．
【详解】解：（1）∵是正方形的对角线，
∴，
∵
∴，
∴
（2）①∵四边形是正方形，
∴
∴
由（1）知，
∴
∴，
∵
∴，
∴
∵
∴
②如图，过点F作于H，
∵四边形为正方形，点G为的中点，
∴
由（2）①知，
∴
∴
在与中，∵
∴，
∴，
∴
在中，由勾股定理得；
（3）∵，
∴，
在中，，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知，，
由（2）知，，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键．
5．（2024·甘肃平凉·模拟预测）问题情境】已知等腰三角形中，点D在底边上．将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于180°），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】
（1）如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为______．
（2）如图3，探究与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，当，且B，E，F三点共线时，若，，则的长为______．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】(1)可证明, 从而，进而得出结果；
(2)过点作于点 SKIPIF 1 < 0 , 可推出 ，进而证得，从而；
(3)作于点, 过点作, 交BF延长线于点H, 设. 则由得从而进而表示出在 中，由勾股定理列出方程从而 进一步得出结果.
【详解】解：当 时, 和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图,，理由如下：

过点作于点 SKIPIF 1 < 0 ,
，
，，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
；
（3）如图,作于点, 过点作，交延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，
，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
∴,
∵°,
∴,
∴,
设, 则,
∵,
，
∴,
∴,
∵,
∴.
，
在中, 由勾股定理得,
，
，
∴,
∴,由（2）得: ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
6．（2023·广东东莞·一模）（1）问题发现：如图1，在和中，，，，连接交于点M，填空： ； ；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，连接交的延长线于点M，请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，若， ，填空： ．
【答案】（1）1，；（2），，理由见解析；（3）或
【分析】（1）如图1中，设交于J．证明，推出 SKIPIF 1 < 0 ，可得结论．
（2）设交于J．证明，推出 SKIPIF 1 < 0 ，可得结论．
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得，则，，可得的长．
【详解】解：（1）如图1中，设交于J．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：1，．
（2）如图2中，结论：，，
理由：在中，
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
同理可得：，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，，
在中，
；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图（3），同（2）得：，
∴，，
在中， SKIPIF 1 < 0
；
∵，，
∴，
∴，
设，则，
中，，
∴，
∴，
中，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴；
②点C与点M重合时，如图（4），同理得：，，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
整理得，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 （舍去），，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程、相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是能得出，根据相似三角形的性质解决问题．
7．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，则 ______；（填“”“”或“”）
【问题探究】
（2）如图2，在中，，点是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，求证：与互补．
【答案】【问题提出】=；【问题探究】见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质．【问题提出】根据题意可以用两边夹角证明即可；【问题探究】将分成，而，再用三角形内角和定理即可．
【详解】解：【问题提出】 SKIPIF 1 < 0 是正方形
，
在和中
(SAS)
SKIPIF 1 < 0 ；
【问题探究】绕点顺时针旋转得到
与互补．
8．（2024·江西抚州·一模）课本再现
（1）如图1，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点是等腰直角三角形，，若，求证：是等腰直角三角形．
类比探究
（2）①如图2，是等腰直角的斜边，G为边的中点，E是的延长线上一动点，过点E分别作与的垂线，垂足分别为，顺次连接，得到，求证：是等腰直角三角形．
②如图3，当点E在边上，且①中其他条件不变时，是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．
拓展应用
（3）如图4，在四边形中，平分，当时，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②是，理由见解析；（3）
【分析】（1）分别证明，即可得到结论；
（2）①如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，结合（1）可得：为等腰直角三角形；证明，结合全等三角形的性质可得结论；②如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： ，可得，，进一步可得为等腰直角三角形；
（3）如图，将绕逆时针旋转得到，过作于，可得，，证明三点共线，在等腰直角三角形中，结合勾股定理求解，再进一步可得答案．
【详解】证明（1）∵为等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）①如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵是等腰直角的斜边，G为边的中点，
∴，，，

∴，
∵，，
∴，
结合（1）可得：为等腰直角三角形；
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
②为等腰直角三角形成立；理由如下：
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，

同理可得：，，，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴为等腰直角三角形；
（3）如图，将绕逆时针旋转得到，过作于，

∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴在等腰直角三角形中，
，
∴， SKIPIF 1 < 0 ，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
9．（2024·山东青岛·一模）【探究1】
如图1， 的平分线与 的平分线交于点E，， ，，则 ；
【探究2】
如图2， 的三等分线与 的三等分线交于点E，，，，，则 ；
【探究3】
如图3， 的n等分线与 的n等分线交于点E，，，，，则 (用含x，y，n的式子表示) ．

【答案】探究1：；探究2：；探究3：
【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差关系．探究1：过点E作，根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义求出，，再利用平行线的性质得出， SKIPIF 1 < 0 ，最后根据即可求解；探究2、3参照上述方法求解．
【详解】解：探究1：如图1，过点E作，
，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
；
探究2：如图2，过点E作，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
探究3：如图3，过点E作，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：探究1：；探究2：；探究3：．
10．（2024·山东临沂·二模）用四根一样长的木棍搭成菱形，点P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使．
【操作探究一】
（1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______；
【操作探究二】
（2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
（3）在菱形中，，．若点P在直线上，点M在射线上，且当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或．
【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
（2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，点和点重合，再分两种情况：当点在线段的延长线时，过点作于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
故答案为：，；
（2），理由如下：
四边形是菱形，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
如图2，作交于，则，，
在中，，，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，点和点重合，
如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点，
设，
， SKIPIF 1 < 0 ，
为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
四边形是菱形，，，，
，，
由菱形的对称性及 SKIPIF 1 < 0 可得，
在中，，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
；
如图4，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，
设，同①可得：，，
，
，
，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的长度为或．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
11．（23-24九年级上·广东茂名·期末）问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，， SKIPIF 1 < 0 交于点G，探究与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当 SKIPIF 1 < 0 ，，且时，求的值．
【答案】问题探究（1）；（2）；问题拓展：
【分析】
问题探究（1）在上截取，使得，证明得到，进一步证明，，即可求出；
（2）在上截取，使，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明得到，求出得到，进而得到；
问题拓展：过点A作的垂线交的延长线于点P，先计算出，．在中，，，再求出，进而证明，得到，即可求出．
【详解】
解：问题探究（1）如图2中，在上截取，使得．
∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
∵，，
，
∵，
，
，
∵，，
∴，
，
，
；
（2）结论：；
理由：如图1中，在上截取，使，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
∵，，
SKIPIF 1 < 0 ．
∵，
，
SKIPIF 1 < 0 ．
∵，，
．
∵，
，
∴，
；
问题拓展：如图3中，过点A作的垂线交的延长线于点P．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，，
，．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴在中，，
，，
∴．
∵，
∴由（2）知，，
∴，
又∵，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，综合性强，理解题意，根据题意添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题关键．
12．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】华师版教材九年级上册 ₇页题．已知：如图①，在中，，点、、分别为、、的中点．求证：四边形是菱形．
【拓展延伸】
（1）如图②，在中，是的角平分线，交延长线于点，点为的中点，连结．若，，则_______．
（2）如图③，在和中，，，连结，点、、 SKIPIF 1 < 0 分别为、、的中点．若 SKIPIF 1 < 0 ，，，则的最小值为_______．
【答案】【教材呈现】见解析，（）；（）
【分析】教材呈现：根据中点定义和中位线的性质得从而得根据菱形的判定即可得证；
拓展延伸：（）延长交的延长线于点，证明，，，利用中位线的性质得，从而即可得解；
（）连接、，由等腰三角形的三角形的性质，，又解直角三角形得，根据三角形的两边差小于第三边得，即，再证明当、、重合时，点、、重合，即时，，进而利用中位线的性质即可得解．
【详解】教材呈现：证明：∵，点、、分别为、、的中点．
∴
∴
∴四边形是菱形；
拓展延伸：解：（）延长交的延长线于点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）连接、，
∵，是的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∵，
∴根据三角形的两边差小于第三边得，即，
如下图，当、、三点共线且在线段上时，，
∵，，，
∴，
∴，
∴当、、重合时，点、、重合，即时，，
∵点、、 SKIPIF 1 < 0 分别为、、的中点，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，全等三角形的判定及性质，三角形三边关系的应用，解直角三角形以及等腰三角形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
13．（2024·山西太原·一模）综合与实践
问题情境：综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系．如图1，已知四边形是正方形，点在线段上 SKIPIF 1 < 0 ，以为边作正方形，使点在线段上．延长至点 SKIPIF 1 < 0 ，使，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

数学思考：（1）拼搏小组提出如下问题，请你解答：
①求证：；
②猜想线段与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，直接写出结论；
深入探究：（2）奋进小组将正方形从图1中位置开始，绕点逆时针旋转（设点的对应点为），提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点恰好落到线段上时，连接．猜想此时线段与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；
②若，在正方形旋转过程中，直接写出三点在同一直线上时线段的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）①，理由见解析；②
【分析】（1）①先由正方形的性质得出再根据证明即可得出结论；②延长交于点，证明是等腰直角三角形即可得出结论；
（2）①连接分别证明，是等腰直角三角形，可得三点共线，进一步可得出结论；②分点三点共线和点三点共线两种情况结合相似三角形的判定与性质可得结论
【详解】解：（1）①∵四边形是正方形，
∴，
∴即
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
②如图，延长交于点，

∴，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
（2）①如图，连接

由（1）①得，
∴
又
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
即：；
②如图，连接点三点共线时，

∵是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
如图，当三点共线时，

∵是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
综上，的长为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．
14．（2023·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在中，若将绕点O逆时针旋转得到，连接；求 ；
（2）【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转，点P的对应点为点Q．
①求证：；
②求的最小值；
（3）【实际应用】如图③，在矩形中，，是矩形内一动点为内任意一点，是否存在点P和点Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①见解析；②12；（3）存在，
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出结果即可；
（2）①根据等边三角形的性质证明全等即可；
②连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到是等边三角形，由两点之间线段最短得，求出即可得解；
（3）过点P作交于点E，交于点F，将绕点A逆时针旋转得，连接，设交于点G，由可得，进而求得，当时，有最小值，运用勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵将绕点O逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）①证明：∵是等边三角形，
∴，，
由旋转得，，
∴，
在 SKIPIF 1 < 0 和中，
，
∴；
②连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
由两点之间线段最短得，
∴，
∴当点A、P、Q、D在同一条直线上时，取最小值，为的值，
延长，作，交的延长线于点E，
∵是边长为的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即取最小值为12．
（3）存在一点P和一点Q，使得有最小值，理由如下：
过点P作交于点E，交于点F，将绕点A逆时针旋转得，连接，设交于点G，如图所示：
由（2）知，当在同一直线上时，有最小值，最小值为，
在矩形中，，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点P在上，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是结合旋转的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理．
15．（2021·湖北襄阳·一模）在矩形中，（k为常数），点P是对角线上一动点（不与B，D重合），，将射线绕点P逆时针旋转90°与射线交于点E，连接．

(1)特例发现：如图1，当时，将点P移动到对角线交点处，则______， ______；当点P移动到其它位置时，的大小______（填“改变”或“不变”）；
(2)类比探究：如图2，若时，当k的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由；
(3)拓展应用：当时，如图2，连接，求的长．
【答案】(1)4，45°，不变；
(2)的大小不变，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）当时，四边形是正方形，当点与正方形的对角线交点重合时，由正方形的性质可得，；当点移动到其它位置时，作于点，于点，通过证明，可得，，可知的大小不变；
（2）过点作于点，于点，证明，得，可得的大小不变；
（3）由，，推导出及，则，得，可证明，，可得，，再根据勾股定理求出的长．
【详解】（1）解：如图1（甲，设矩形的对角线、交于点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，，且 SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
点与点重合，，
SKIPIF 1 < 0 与重合，
，，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
当点移动到其他位置时，如图1（乙，作于点，于点，
，，，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
，，
∴，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
的大小不变，
故答案为：1，，不变．
（2）解：的大小不变．
理由如下：如图2（甲，过点作于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形．
， SKIPIF 1 < 0 ，
，
，，
．
，
∴，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
为定值，
的大小不变．
（3）解：如图2（乙，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，，
垂直平分，
，；
∵，
，
，，
∴，
，，
，，
∴，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
设，则，
，
或（不符合题意，舍去），
，
．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
16．（2024·山东枣庄·一模）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上， SKIPIF 1 < 0 ，延长到点 SKIPIF 1 < 0 ，使，连接．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【分析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）证，得，再证，得 SKIPIF 1 < 0 ，然后由平行线的性质得，即可得出结论；
（3）延长至点，使，连接，，得，，再证是等边三角形，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 在的延长线上，
SKIPIF 1 < 0 ，
又，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如图3，延长至点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即的长为3．