2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题01 实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题01 实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）（含解析），共27页。试卷主要包含了一次函数的实际问题，反比例函数的实际问题，二次函数的实际问题等内容，欢迎下载使用。

通用的解题思路：
1.一次函数的实际问题
关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范围是关键；
一般答题思路：①根据题意列方程；②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量；
③根据题意求自变量的取值范围；④根据题意列出符合题意的方案；⑤选择最优方案.
2.反比例函数的实际问题
普通几何问题一般答题思路：①根据未知量，正确的设未知数；②通过图形获得定量和变量的等量关系；②根据题意列方程求值即可；
动点几何问题一般答题思路：①用含未知数x的式子表示出已移动的量和关联的量；②根据面积、周长或移动距离等关系列方程（构建函数模型）；③根据点的位置进行分类讨论.
3.二次函数的实际问题
二次函数（方程）实际应用的一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求出自变量的取值范围；③化为顶点式，根据二次项系数“a”的正负性和对称轴判定最值.
1．（2022·广东·中考真题）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（ SKIPIF 1 < 0 ）与所挂物体质量x（ SKIPIF 1 < 0 ）满足函数关系 SKIPIF 1 < 0 ．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20 SKIPIF 1 < 0 时，求所挂物体的质量．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)所挂物体的质量为2.5kg
【分析】（1）由表格可代入x=2，y=19进行求解函数解析式；
（2）由（1）可把y=20代入函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴y与x的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：把y=20代入（1）中函数解析式得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即所挂物体的质量为2.5kg．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是得出一次函数解析式．
2．（2022·广东广州·中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度 SKIPIF 1 < 0 （单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度 SKIPIF 1 < 0 需要满足16≤ SKIPIF 1 < 0 ≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)当16≤ SKIPIF 1 < 0 ≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用反比例函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：由图知：当深度 SKIPIF 1 < 0 =20米时，底面积S=500米2，
∴ SKIPIF 1 < 0 =500米2×20米=10000米3；
（2）由（1）得：
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），S随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，
当 SKIPIF 1 < 0 时，S=625； 当 SKIPIF 1 < 0 时，S=400；
∴当16≤ SKIPIF 1 < 0 ≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键．
3．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 SKIPIF 1 < 0 和抛物线 SKIPIF 1 < 0 构成，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点O，过点O作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点E，若以O点为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴， SKIPIF 1 < 0 为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求两个正方形装置的间距 SKIPIF 1 < 0 的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．

【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 时对应的自变量的值，得到 SKIPIF 1 < 0 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，进而设出过点 SKIPIF 1 < 0 的光线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，利用光线与抛物线相切，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，即可得出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中垂线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵四边形 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 均为矩形，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵太阳光为平行光，
设过点 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 的光线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，得： SKIPIF 1 < 0 与抛物线相切，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
题型一 一次函数的实际问题
1．（2024·广东深圳·二模）晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元．
(1)求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价；
(2)该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的 SKIPIF 1 < 0 ，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？
【答案】(1)鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；
(2)当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元．
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数解决实际问题．
（1）设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件，根据“购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元”即可列出二元一次方程组，求解即可解答；
（2）设购买鸟尊工艺品m件，费用为w元．则 SKIPIF 1 < 0 ，根据“鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的 SKIPIF 1 < 0 ”可列出不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件．根据题意，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
答：鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；
（2）解：设购买鸟尊工艺品m件．费用为w元．则
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴w随m的增大而增大，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，w最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 （元），
答：当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元．
2．（2024·广东深圳·二模）2024年4月18日上午10时08分，华为 SKIPIF 1 < 0 系列正式开售，华为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“ SKIPIF 1 < 0 改变生活， SKIPIF 1 < 0 改变社会”，不一样的 SKIPIF 1 < 0 手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的 SKIPIF 1 < 0 手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．
(1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；
(2)某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的 SKIPIF 1 < 0 ，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】(1)A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元．
(2)营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一次函数的应用，一元一次不等式的应用：
（1）设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，由售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元，再建立方程组即可；
（2）设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机 SKIPIF 1 < 0 部，获得的利润为w元， SKIPIF 1 < 0 ，再利用一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，
由题意得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
（2）解：设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机 SKIPIF 1 < 0 部，获得的利润为w元，
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴w随x的增大而减小，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，w取得最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
3．（2024·广东深圳·一模）研究发现课堂上进行当堂检测效果很好，每节课40分钟，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益 SKIPIF 1 < 0 的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益 SKIPIF 1 < 0 的关系如图2所示（其中 SKIPIF 1 < 0 是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．
(1)老师精讲时的学生学习收益 SKIPIF 1 < 0 与用于精讲的时间x之间的函数关系式为________；
(2)求学生当堂检测的学习收益 SKIPIF 1 < 0 与用于当堂检测的时间x的函数关系式；
(3)问“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量W最大？（ SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)精讲33分钟，当堂检测7分钟
【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
（1）由图设该函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，即可依题意求出y与x 的函数关系式．
（2）本题涉及分段函数的知识，需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即可．
（3）设学生当堂检测的时间为x分钟 SKIPIF 1 < 0 ，学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为 SKIPIF 1 < 0 分钟，用配方法的知识解答该题即可．
【详解】（1）解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
自变量的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
解：当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）
设学生当堂检测的时间为x分钟 SKIPIF 1 < 0 ，学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为 SKIPIF 1 < 0 分钟．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∵W随x的增大而减小，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综合所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
即老师在课堂用于精讲的时间为33分钟，学生当堂检测的时间为7分钟时，学习收益总量最大．
4．（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位： SKIPIF 1 < 0 ）、滑行距离y（单位： SKIPIF 1 < 0 ）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方 SKIPIF 1 < 0 处有一辆电动小车，以2 SKIPIF 1 < 0 的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．
【答案】
（1）作图见详解
（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离 SKIPIF 1 < 0
（4） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，求得小球停下来的时间，再将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式解答即可；
（4）假定经过 SKIPIF 1 < 0 秒小球追上小电动车得到关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，令 SKIPIF 1 < 0 ，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数图象如下：
（2）由（b）中图象可知： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系为一次函数关系，
SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系为 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）假定经过 SKIPIF 1 < 0 秒小球追上小电动车，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 若黑球不能撞上小车，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
题型二 反比例函数的实际问题
1．（2024·广东中山·一模）在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式 SKIPIF 1 < 0 电流 SKIPIF 1 < 0 与电阻 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系如图．
(1)写出Ⅰ 与R的函数解析式；
(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过 12 A时，电路中电阻 R的取值范围是什么?
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，结合图形求出函数解析式是解题的关键；
（1）由图知，把点A的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 中，可求得U的值，从而确定函数解析式；
（2）求出当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．结合反比例函数的图象与性质即可确定电路中电阻 R的取值范围．
【详解】（1）解：电源电压U保持不变，由图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，
I与R的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
把点A的坐标代入上式中得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由（1）可知，函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵电源电压U保持不变，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∵函数图象在第一象限内，I随R的增大而减小，
∴当电路中的电流不超过 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量 SKIPIF 1 < 0 （毫克/百毫升）与时间 SKIPIF 1 < 0 （时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
【实践探究】（1）求部分双曲线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式；
【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上 SKIPIF 1 < 0 喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上 SKIPIF 1 < 0 能否驾车出行？请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）第二天早上 SKIPIF 1 < 0 不能驾车出行，见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析．
（1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出反比例函数解析式即可；
（2）求出当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，然后进行判断即可．
【详解】解：（1）依题意，设 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设双曲线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
从晚上 SKIPIF 1 < 0 到第二天早上 SKIPIF 1 < 0 时间间距为13小时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 第二天早上 SKIPIF 1 < 0 不能驾车出行．
3．（2023·山东青岛·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
(2)求p与x之间满足的函数关系式；
(3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 为正整数
(3)第15场和第35场
(4)第21场获得的利润最大，最大利润为145万元
【分析】（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答；
（2）根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可；
（3）把 SKIPIF 1 < 0 分别代入（2）中两个解析式中即可求解；
（4）分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少．
【详解】（1）解：∵第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：设基本价为 SKIPIF 1 < 0 ，
①第1场～第20场， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为正整数，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
第21场～第40场，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为正整数时，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 为正整数；
（3）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场
（4）解：设每场获得的利润为 SKIPIF 1 < 0 （万元）．
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为正整数时，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵在对称轴的左侧， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，最大利润为 SKIPIF 1 < 0 （万元）．
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为正整数时， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，最大利润为 SKIPIF 1 < 0 （万元），
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数，是函数的综合运用，解题的关键是：理解题意，会求出各函数的解析式，在根据函数的图象及性质解答，题目较难．
题型三 二次函数的实际问题
1．（2024·广东中山·一模）某商家销售某种商品，每件进价为40元．经市场调查发现，该商品一周的销售量 SKIPIF 1 < 0 （大于0的整数）件与销售单价 SKIPIF 1 < 0 （不低于50的整数）满足一次函数关系，部分调查数据如表：
(1)直接写出销售量 SKIPIF 1 < 0 关于销售单价 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若一周的销售利润为2750元，则销售单价是多少元/件？
(3)现商家决定将商品一周的销售利润作为捐款寄往贫困地区，则捐款能达到的最大值是 元．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)销售单价是95元/件
(3)9000
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，列出方程和函数关系式是解此题的关键．
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得出 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可得出答案；
（3）设商品一周的销售利润为 SKIPIF 1 < 0 元，得出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴销售量 SKIPIF 1 < 0 关于销售单价 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴销售单价是95元/件；
（3）解：设商品一周的销售利润为 SKIPIF 1 < 0 元，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值为9000元，
故答案为：9000．
2．（2024·广东东莞·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡 SKIPIF 1 < 0 上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里 SKIPIF 1 < 0 表示起跳点A到地面 SKIPIF 1 < 0 的距离， SKIPIF 1 < 0 表示着陆坡 SKIPIF 1 < 0 的高度， SKIPIF 1 < 0 表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位： SKIPIF 1 < 0 ）与水平距离x（单位： SKIPIF 1 < 0 ）近似满足函数关系： SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，落点P的水平距离是 SKIPIF 1 < 0 ，竖直高度是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)点A的坐标是___________，点P的坐标是 ___________；
(2)求满足的函数关系 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)运动员再次起跳，运动员的竖直高度y（单位： SKIPIF 1 < 0 ）与水平距离x（单位： SKIPIF 1 < 0 ）近似满足函数关系 SKIPIF 1 < 0 ，问：运动员这次起跳着陆点的水平距离 ___________第一次着陆点的水平距离（填“大于”、“小于”或“等于”）．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)小于
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1） SKIPIF 1 < 0 ，落点 SKIPIF 1 < 0 的水平距离是 SKIPIF 1 < 0 ，竖直高度是 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ，先求出直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再解方程求出直线和抛物线交点的横坐标与40比较即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ，落点P的水平距离是 SKIPIF 1 < 0 ，竖直高度是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去负值），
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴运动员这次起跳着陆点的水平距离小于第一次着陆点的水平距离，
故答案为：小于
3．（2024·广东深圳·一模）综合与应用
为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的部分图象，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为 SKIPIF 1 < 0 米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离 SKIPIF 1 < 0 米处，绳子刚好经过她的头顶．

【阅读理解】
（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）
【问题解决】
（2）体育龙老师身高 SKIPIF 1 < 0 米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；
（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）他不适合参加本次运动，理由见解析；（3）最多可供 SKIPIF 1 < 0 人齐跳
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）求出函数的最大值，进行判定即可；
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得出最多可供 SKIPIF 1 < 0 人齐跳．
【详解】解：（1）依题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可列方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线开口向下，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴他不适合参加本次运动；
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴最多可供 SKIPIF 1 < 0 人齐跳．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析，求函数的最值，求自变量的值，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式．
4．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度 SKIPIF 1 < 0 ，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬
的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．
方案1：直角形遮阳篷
如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷 SKIPIF 1 < 0 ，点 C 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则支撑杆 SKIPIF 1 < 0 m．
(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 SKIPIF 1 < 0 平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与 SKIPIF 1 < 0 平行)．请求出图2中 SKIPIF 1 < 0 的长度．
方案2：抛物线形遮阳篷
(3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将 SKIPIF 1 < 0 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点， SKIPIF 1 < 0 段可伸缩)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长保持不变．若以C 为原点， SKIPIF 1 < 0 方向为x 轴， SKIPIF 1 < 0 方向为y 轴．
①求该二次函数的表达式．
②若某时刻太阳光与水平地面夹角 SKIPIF 1 < 0 的正切值 SKIPIF 1 < 0 使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离)
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用勾股定理求 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）由题意得到 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用正切定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用正切定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的长度可求．
（ 3）①由题意， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，设二次函数为： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数关系式即可；
② SKIPIF 1 < 0 光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 求出x即可．
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）①由F为抛物线顶点，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
由二次函数对称性可知， SKIPIF 1 < 0
设二次函数为： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴y关于x的关系式为： SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，
过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 (答案不合理，舍去）
∴D′E= SKIPIF 1 < 0 ，
∴遮阳蓬点D上升的高度最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．（2024·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何探测弹射飞机的轨道设计
素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集发现飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位： SKIPIF 1 < 0 ）随飞行时间t（单位： SKIPIF 1 < 0 ）的变化满足一次函数关系；飞行高度y（单位： SKIPIF 1 < 0 ）随飞行时间t（单位： SKIPIF 1 < 0 ）的变化满足二次函数关系．数据如下表所示．
素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台 SKIPIF 1 < 0 ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段 SKIPIF 1 < 0 为飞机回收区域，已知 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
问题解决：
任务1：确定函数表达式．
①直接写出x关于t的函数表达式：_______．
②求出y关于t的函数表达式．
任务2：探究飞行距离．当飞机落地（高度为 SKIPIF 1 < 0 ）时，求飞行的水平距离．
任务3：确定弹射口高度h．当飞机落到回收区域 SKIPIF 1 < 0 内（不包括端点A，B）时，请写出发射台 SKIPIF 1 < 0 弹射口高度h的变化范围：________．
【答案】任务1：① SKIPIF 1 < 0 ；②y关于t的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；任务2：飞机落地时，飞行的水平距离为 SKIPIF 1 < 0 ；任务3： SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
任务1：根据表格数据，利用待定系数法求两函数的表达式即可；
任务2：令 SKIPIF 1 < 0 ，解方程 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
任务3：设发射台弹射口高度为h，则此时抛物线的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，分别求得落地A点和点B时的h值，进而可得h的取值范围．
【详解】解：任务1：①设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴x关于t的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
②设y关于t的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故y关于t的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
任务2：当飞机落地时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故飞机落地时，飞行的水平距离为 SKIPIF 1 < 0 ；
任务3：由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
设发射台弹射口高度为h，则此时抛物线的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
x
0
2
5
y
15
19
25
运动时间 SKIPIF 1 < 0
0
2
4
6
8
10
SKIPIF 1 < 0
运动速度 SKIPIF 1 < 0
10
9
8
7
6
5
SKIPIF 1 < 0
滑行距离 SKIPIF 1 < 0
0
19
36
51
64
75
SKIPIF 1 < 0
x（场）
3
10
25
p（万元）
10.6
12
14.2
销售单价 SKIPIF 1 < 0 （元/件）
50
55
60
70
75
…
一周的销售量 SKIPIF 1 < 0 （件）
500
450
400
300
250
…
飞行时间 SKIPIF 1 < 0
0
2
4
6
8
…
飞行的水平距离 SKIPIF 1 < 0
0
8
16
24
32
…
飞行高度 SKIPIF 1 < 0
0
18
32
42
48
…