2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题07 一次函数与反比例函数综合问题（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题07 一次函数与反比例函数综合问题（含解析），共28页。试卷主要包含了三角形面积的解题步骤，两线段和差的最值问题等内容，欢迎下载使用。

通用的解题思路：
1.三角形面积的解题步骤：
类型一：三角形有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高.底边平行于y轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高.
类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式S△=水平宽×铅垂高求解.
2.利用图象法解不等式解集的解题步骤：
①求交点：联立方程求出方程组的解；
②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间；
③比大小：图象谁在上方谁就大；
④：写出对应区间自变量的取值范围.
3.两线段和差的最值问题
利用将军饮马模型：做对称，连定点，求交点.
1．（2024·广东东莞·一模）如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在第一象限内交于点B，点B的横坐标为1，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于点C．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)设点D是x轴上一点，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求点D的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）把点 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数 SKIPIF 1 < 0 中，解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用待定系数法解答即可；
（2）根据坐标求得 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解：把点 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴一次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
把点B的横坐标 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点B为一次函数和反比例函数图象的交点，
∴把点 SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2024·广东珠海·一模）如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集．
(3)设D为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作 SKIPIF 1 < 0 轴交反比例函数图象于点E，当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 最大值为4， SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由点 SKIPIF 1 < 0 坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点 SKIPIF 1 < 0 坐标，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点坐标可得一次函数解析式；
（2）运用数形结合思想，根据 SKIPIF 1 < 0 的两点坐标，即可作答．
（3）根据题意，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据最值解答即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 点在反比例函数图象上，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 反比例函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 一次函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大值为4，
SKIPIF 1 < 0 ．
3．如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)在y轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的值最小，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值．
（1）把点 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，再把点 SKIPIF 1 < 0 坐标代入反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，两个函数解析式联立求得点 SKIPIF 1 < 0 坐标；
（2）作点 SKIPIF 1 < 0 作关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的值最小，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）解：把点 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的表达式 SKIPIF 1 < 0 ,
两个函数解析式联立列方程组得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：作点 SKIPIF 1 < 0 关于y轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的值最小
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
题型一 面积问题
1．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，一次函数图象 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为5，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用直线 SKIPIF 1 < 0 解析式可的点C的坐标，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得a的值，再将点 SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是 SKIPIF 1 < 0 的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式 SKIPIF 1 < 0 ，C点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
【详解】（1）解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴反比例函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴得交点为N，

令 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵直线l是 SKIPIF 1 < 0 的垂线即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
设直线l的解析式是： SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴直线l的解析式是： SKIPIF 1 < 0 ，
设点C的坐标是 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 分别代表点B与点C的横坐标)
解得： SKIPIF 1 < 0 或6，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合 SKIPIF 1 < 0 几何问题，三角形的面积公式，综合性较强，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
2．如图，已知直线 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象于点C．

(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 和反比例函数图象的表达式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1)直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0
(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据 SKIPIF 1 < 0 轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵直线 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：∵直线 SKIPIF 1 < 0 的图象与y轴交于点B，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，直线 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
3．如图在平面直角坐标系中，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数的图象上，横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，代入 SKIPIF 1 < 0 ，求得反比例函数解析式；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，得出关于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴一次函数的关系式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得出 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）∵点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数的图象上，点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数的图象上， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．
题型二 与不等式有关的问题
1．（2024·广东汕头·一模）如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点B，与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
(1)求k与m的值：
(2)观察图象：不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为__________．
(3) SKIPIF 1 < 0 为x轴正半轴上的一动点，当 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 时，求a的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）把点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入一次函数的解析式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，把点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据函数图象得出不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集即可；
（3）根据 SKIPIF 1 < 0 ，构建方程求解即可．
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由图象可知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 的上方，
∴不等 SKIPIF 1 < 0 的解集为： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为x轴上的一动点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
2．（2024·广东惠州·一模）如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 面积为12时，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，一次函数的表达式为： SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法求函数表达式，利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴双曲线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：观察函数图象知，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：设直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，

由直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式知，点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2024·广东中山·一模）如图， 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4．
(1)求反比例函数解析式．
(2)直接写出当 SKIPIF 1 < 0 时，自变量 x 的取值范围．
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3)点P的坐标是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）把点A的横坐标为4代入直线 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即得A点坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值即可；
（2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B的坐标，观察图象即可确定不等式的解集；
（3）由正比例函数与反比例函数的对称性知，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，从而得 SKIPIF 1 < 0 ；设点P的横坐标为m（ SKIPIF 1 < 0 ），得 SKIPIF 1 < 0 ，过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，由反比例函数比例系数的几何意义得 SKIPIF 1 < 0 ；分 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 两种情况进行考虑，利用 SKIPIF 1 < 0 建立方程求得m的值，即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：把点A的横坐标为4代入直线 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即A点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由于正比例函数 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 关于原点的中心对称图形，
则点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
观察图象知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：∵反比例函数图象与正比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ；
设点P的横坐标为m（ SKIPIF 1 < 0 ），得 SKIPIF 1 < 0
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P的坐标是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质，比例系数的几何意义，平行四边形的判定等知识，注意数形结合与分类讨论思想的应用．
4．（2024·广东东莞·一模）如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(3)若动点 SKIPIF 1 < 0 是第二象限内双曲线上的点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 的面积的三分之一，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由反比例函数解析式求出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）根据图象即可求得；
（3）先求得 SKIPIF 1 < 0 的面积，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 的面积，从而列出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解方程即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 一次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）观察图象可知，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）在直线 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 的面积的三分之一，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．
5．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点．
(1)由图像可知，当x 时， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求出a，k的值；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 为x轴上的一动点，当 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 时，求m的值；
(4)在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 或11；
(4) SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ．再将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）根据一次函数解析式可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．结合 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 正轴上的一动点，可求出 SKIPIF 1 < 0 ．最后根据 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角形面积公式，即可列出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，解出 SKIPIF 1 < 0 的值即可．
（4）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可．
【详解】（1）根据图像可以看出 SKIPIF 1 < 0 表示一次函数在双曲线上方部分，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可知点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）对于 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴的一动点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入解析式可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
题型三 两线段的最值问题
1．如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的直角顶点 SKIPIF 1 < 0 ，顶点A、 SKIPIF 1 < 0 恰好落在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线 SKIPIF 1 < 0 所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使 SKIPIF 1 < 0 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)在x轴上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 周长的值最小,最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，证明 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得到点A的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，由A、 SKIPIF 1 < 0 恰好落在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 第一象限的图象上得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，得到点A的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，点B的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交x轴于点P，连接 SKIPIF 1 < 0 ，利用轴对称的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 是定值，此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 最小，利用待定系数法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，
则 SKIPIF 1 < 0 ，

∵点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点A的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
∵A、 SKIPIF 1 < 0 恰好落在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 第一象限的图象上．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点A的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，点B的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式是 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 所对应的一次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，把点A和点B的坐标代入得，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线 SKIPIF 1 < 0 所对应的一次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交x轴于点P，连接 SKIPIF 1 < 0 ，

∴点A与点 SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 的长度，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是定值，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 最小，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点P的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知，在x轴上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 周长的值最小，最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
2．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线第一象限分支上的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值并直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上的动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一个动点，是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似，若存在，求出此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入直线解析式，可求出m，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，再联立 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出答案；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E， SKIPIF 1 < 0 轴于点F，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形性质即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，作点B关于y轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点G，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
（3）根据点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的上一个动点，则设点 SKIPIF 1 < 0 ，在（2）中有： SKIPIF 1 < 0 ， 即有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，利用两点间的距离公式即可求解；当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求解．
【详解】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E， SKIPIF 1 < 0 轴于点F，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵点C在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象上，
SKIPIF 1 < 0 ，
作点B关于y轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点G，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）根据点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的上一个动点，则设点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在（2）中有： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，如图，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，结合图象有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
此时点 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，如图，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，点P在点B右侧，此时 SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形，不可能与 SKIPIF 1 < 0 相似，
故舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 ；
综上：满足条件的点P的坐标为： SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，能用分类讨论的思想解决问题．